函数的周期性与图象对称性

关于函数的周期性与图象对称性1．函数的周期性对于函数f(x)，如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的

时，有

都成立，那么就把函数y＝f(x)叫周期函数，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，把这个最小的正数叫

．若T是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z)也是f(x)的

．任意一个值f(x＋T)＝f(x)最小正周期周期注意：定义域两头都是无界

第2页,共13页，2024年2月25日，星期天若函数

满足如下关系，证明这些函数是否是周期函数，研究它们的周期.探讨：第3页,共13页，2024年2月25日，星期天【例1】求函数图像的对称中心.

小结：一般地，函数的对称中心为:__________.

2.函数图像的中心对称：

若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)的图象关于点

对称

第4页,共13页，2024年2月25日，星期天3.函数图像的轴对称：若f(a+x)=f(a-x)，则f(x)的图象关于直线

对称。【例2】已知是函数的对称轴,求a的值.

【练习1】若函数y=log2|ax-1|的图象关于直线x=2对称,求非零实数a的值.

【练习2】已知对一切x都有f(x)=f(2-x)且方程f(x)=0有2011个不同的根，求这2011个根的和.

第5页,共13页，2024年2月25日，星期天【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，恒有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)．第6页,共13页，2024年2月25日，星期天【证明】

(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)由f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2004)＋f(2005)＋f(2006)＋f(2007)．第7页,共13页，2024年2月25日，星期天又x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，且f(3)＝f(－1)．∵f(x)是奇函数，∴f(3)＝－f(1)＝－1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，又f(2008)＝f(0)＝0，f(2009)＝f(1)＝1，f(2010)＝f(2)＝0.因此f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝1.第8页,共13页，2024年2月25日，星期天4.对称性与周期性的关系

①一般地:若x=a,x=b(a≠b)是函数f(x)的两条对称轴,则f(x)为周期函数且2|a-b|为它的一个周期.②一般地:若(a,0),(b,0)(a≠b)是函数f(x)的两个对称中心,则f(x)为周期函数且2|a-b|为它的一个周期.

③一般地:若x=a和(b,0)(a≠b)分别是函数f(x)的一条对称轴和一个对称中心,则f(x)为周期函数且4|a-b|为它的一个周期.

(结论不需记，以三角函数y=sinx为模型加以理解)第9页,共13页，2024年2月25日，星期天【例4】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2008)＋f(2009)的值为(

)A．－2B．－1

C．1D．2第10页,共13页，2024年2月25日，星期天【解】∵f(x)是偶函数，∴f(－2008)＝f(2008)，当x≥0时，f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为2，则f(2009)＝f(1)．又x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)因此f(－2008)＋f(2009)＝f(2008)＋f(1)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1.【答案】

C思维启迪紧紧抓住题目的条件关系——奇偶性与周期性，这是解题的关键，并注意体会本题中转化化归思想的运用。

点拨当x∈[0,2)时，f(x)已知，欲求f(－2008)＋f(2009)的值，只需转化到已知的区间[0,2)上，利用函数的周期性和奇偶性，问题可解．第11页,共13页，2024年2月25日，星期天【练习】设奇函数f(x)的定义域为R且f(x+2)=f(-x),当x∈[4,6]时