苏科版七年级数学下册《高分突破 培优新方法》 专题05 平行线中三角尺综合运用（含答案）

专题05平行线中三角尺综合运用真题再现真题再现 1．(2023秋•天山区校级期末）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝38°，则∠2的度数是（）A．128° B．138° C．142° D．152°2．(2023秋•和平区校级期末）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（）A．60° B．40° C．80° D．70°3．(2023秋•通川区期末）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．45° B．35° C．30° D．25°4．(2023秋•长清区期末）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．25°5．(2023秋•丹东期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE6．(2023•定远县模拟）将一副三角板按如图所示放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有（）A．①③ B．①②④ C．③④ D．①②③④7．(2023春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（）A．38° B．45° C．52° D．58°8．(2023春•龙岗区校级期中）一副直角三角板如图放置（∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°），如果点C在FD的延长线上，点B在DE上，且AB∥CF，则∠DBC的度数为（）A．10° B．15° C．18° D．30°9．(2023春•宁阳县期末）将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2等于（）A．80° B．100° C．110° D．120°10．(2023春•罗庄区期末）将直角三角板按照如图方式摆放，直线a∥b，∠1＝136°，则∠2的度数为（）A．44° B．45° C．46° D．56°11．(2023春•盐田区校级期中）如图，m∥n∥l，一块三角板按图所示摆放，则下列结论正确的有（）①∠1+∠2＝90°；②∠3+∠4＝∠5；③∠5+∠6−∠1＝90°；④∠5+∠6＝∠2+2∠4．A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④12．(2023春•蜀山区期末）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE，则∠BCE的度数为（）A．65° B．70° C．75° D．80°13．(2023•深圳）一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（）A．5° B．10° C．15° D．20°14．(2023春•玄武区期末）将两个形状相同，大小不同的三角板按如图所示方式放置，C是公共顶点，且∠ACB＝∠A'CB'＝90°，∠B＝∠B'＝60°．对于下列三个结论，其中正确的结论有（）①∠1+∠ACB'＝180°；②∠B'DA﹣∠1＝90°；③如果∠1＝30°，那么AB∥CB'．A．①② B．②③ C．①③ D．①②③15．(2023•南召县模拟）将一块含30°角的直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°16．(2023秋•城关区校级期末）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图2，∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，求∠FQG的大小．17．(2023秋•渝中区校级期末）已知，AB∥CD，直线FE交AB于点E，交CD于点F，点M在线段EF上，过M作射线MR、MP分别交射线AB、CD于点N、Q．（1）如图1，当MR⊥MP时，求∠MNB+∠MQD的度数；（2）如图2，若∠DQP和∠MNB的角平分线交于点G，求∠NMQ和∠NGQ的数量关系；（3）如图3，当MR⊥MP，且∠EFD＝60°，∠EMR＝20°时，作∠MNB的角平分线NG．把一三角板OKI的直角顶点O置于点M处，两直角边分别与MR和MP重合，将其绕点O点顺时针旋转，速度为5°每秒，当OI落在MF上时，三角板改为以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时∠BNG绕点N以3°每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的∠BNG为∠B'NG'，当NG'和NA重合时，整个运动停止．设运动时间为t秒，当∠B'NG'的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出t的值．18．(2023秋•景德镇期末）含30度角的直角三角板和直尺按如图所示方式放置，直尺与三角板的外围边缘分别交于A，B，C，D四点．（1）若∠3＝95°，试求∠2的大小．（2）∠1与∠2的和是否的定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．19．(2023春•顺德区校级月考）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．（1）填空：∠1＝°，∠2＝°（2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，①请直接写出∠1＝°，∠2＝°（结果用含n的代数式表示）；②若∠2恰好是∠1的倍，求n的值．（3）如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t（s）．①在旋转过程中，若射线BM与射线QN相交，设交点为P．当t＝20（s）时，则∠QPB＝°②在旋转过程中，是否存在BM∥QN．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．20．(2023•南谯区校级开学）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）将图①中的三角板OMN沿BA方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON＝30°，如图③，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（3）将图①中的三角尺COD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，MN恰好与CD平行；第几秒时，MN恰好与直线CD垂直．21．(2023春•新罗区期中）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒20°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？并说明理由；（2）在旋转的过程中，若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．①当边AB与射线OE相交时（如图3），则∠AOC﹣∠BOE的值为；②当边AB所在的直线与OC平行时，求t的值．22．(2023春•岳阳期末）如图，已知∠DCF和∠ECF互为邻补角，∠DCF＝α（0＜α＜90°），将一个三角板的直角顶点放在点C处（注：∠ACB＝90°，∠ABC＝60°）．（1）如图1，使三角板的短直角边BC与射线CD重合，若α＝40°，则∠ACF＝．（2）如图2，将图1中的三角板ABC绕点C顺时针旋转60°，试判断此时AB与DE的位置关系，并说明理由．（3）如图3，将图1中的三角板ABC绕点C顺时针旋转β（0＜β＜90°），使得∠ACE＝∠BCF，此时α和β满足什么关系？请说明理由．（4）将图1中的三角板绕点C以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，AC恰好与直线CF重合，求t的值（用含α的式子表示）．23．(2023春•平南县期末）如图已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），有一块三角板ABC，其中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，现将该三角板如图所示放置，使顶点B始终落在ON上，过点A作DA∥ON交OM于点E．（1）如图1，若BC∥OM，∠CAD＝40°，请求出α的大小；（2）若∠BAE的平分线AP交ON于点P；①如图2，当AP∥OM，且α＝60°时，请说明：BC∥OM；②如图3，将三角板ABC沿直线ON从左往右平移，且在平移的过程中，始终保持BC∥OM不变，请探究∠OPA与α之间的数量关系，并直接写出你的结论．24．(2023春•莆田期末）李想是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一块含有60°的直角三角板摆放在一组平行线上展开探究．已知直线EF∥GH，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点C为直线EF上一定点．将直角三角板ABC绕点C转动，当点A在直线GH上时，点B也恰好在直线GH上．（1）如图1，求∠ECB的度数；（2）如图2，若点A在直线EF上方，点B在GH下方，BC与GH交于点Q，作∠ACE的角平分线并反向延长与∠CQH的角平分线交于点O．在直角三角板ABC绕点C转动的过程中，∠O的度数是否保持不变？若不变，求出∠O的度数；否则，请说明理由；（3）如图3，直角三角板ABC绕点C转动，若点A在直线EF，GH之间（不含EF，GH上），点B在GH下方，AB，BC分别与GH交于点P，Q．设∠FCB＝n°，是否存在正整数m和n，使得∠APH＝m∠FCB，若存在，请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．25．(2023春•岳池县期中）已知在三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，在长方形DEFG中，DE‖GF．如图①，若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，AB⊥DE于点N，BC与DE相交于点M，则∠EMC的度数是多少呢？若过点C作CH‖GF，则CH‖DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．（1）请你直接写出：∠CAF＝°，∠EMC＝°；（2）若将三角板ABC按图②所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系，并证明你的猜想；（3）请在图②中探究∠BAG与∠BMD有何数量关系？并说明理由．26．(2023秋•南岗区校级期末）已知：直线AB∥CD，一块三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求证：PQ∥FH．27．(2023秋•王益区期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．（1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝°；（2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F，①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA；②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系．28．(2023春•睢阳区期末）问题情境：我们知道，“如果两条平行被第三条直线所截，所截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性度量中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．问题初探：如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N．则∠EMC的度数是多少呢？若过点C作CH∥GF，则CH∥DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数为…．（1）请你直接写出：∠CAF＝°，∠EMC＝°．类比再探：（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．方法迁移：（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．29．(2023春•南开区校级月考）如图1，点B，点C分别在线段AD、线段MN上，且∠NCE+∠CEB﹣∠ABE＝180°．（1）求证：AD∥MN；（2）如图2，把一个三角板的直角顶点放在点C处，三角板直角边在射线CI，CG上，其中CG平分∠ECM，BF平分∠DBE，交CI于点F，当∠CEB＝80°时，求∠CFB的度数，写出推导过程；（3）在（2）的条件下，如图3，过点E作EH∥BF，交CG于点H，当∠CHE＝α，∠BFI＝β，请直接写出α和β的关系式．30．(2023春•海陵区校级期末）如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．（1）填空：∠OBC+∠ODC＝；（2）如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：（3）如图2：若BF、DG分别平分∠CBM、∠NDC，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．专题05平行线中三角尺综合运用真题再现真题再现 1．(2023秋•天山区校级期末）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝38°，则∠2的度数是（）A．128° B．138° C．142° D．152°答案:A【解答】解：∵∠1＝38°，∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣38°＝52°，∵直尺的两边互相平行，∴∠3＝∠4＝52°∴∠2＝180°﹣52°＝128°，故选：A．2．(2023秋•和平区校级期末）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（）A．60° B．40° C．80° D．70°答案:C【解答】解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，∵a∥b，∴∠1＝∠CDA＝40°，∵∠B＝30°，∴∠CDA＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝∠CDA﹣∠B＝10°，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣10°＝80°，故选：C．3．(2023秋•通川区期末）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．45° B．35° C．30° D．25°答案:D【解答】解：∵m∥n∴∠3＝∠1＝35°，∵∠2+∠3＝60°，∴∠2＝60°﹣35°＝25°．故选：D．4．(2023秋•长清区期末）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．25°答案:A【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，∴∠3＝∠1＝55°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣55°＝35°．故选：A．5．(2023秋•丹东期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE答案:B【解答】解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠1＝∠3，故A错误．∵∠2＝30°，∴∠1＝∠3＝60°∴∠CAE＝90°+60°＝150°，∴∠E+∠CAE＝180°，∴AC∥DE，故B正确，∵∠2＝45°，∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，∵∠E+∠3＝∠B+∠4，∴∠4＝30°，∵∠D＝60°，∴∠4≠∠D，故C错误，∵∠2＝50°，∴∠3＝40°，∴∠B≠∠3，∴BC不平行AE，故D错误．故选：B．6．(2023•定远县模拟）将一副三角板按如图所示放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有（）A．①③ B．①②④ C．③④ D．①②③④答案:B【解答】解：∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，∴∠1＝∠3．∴①符合题意．∵∠2＝30°，∴∠1＝90°﹣30°＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE．∴②符合题意．∵∠2＝30°，∴∠3＝90°﹣30°＝60°，∵∠B＝45°，∴BC不平行于AD．∴③不符合题意．由②得AC∥DE．∴∠4＝∠C．∴④符合题意．故选：B．7．(2023春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（）A．38° B．45° C．52° D．58°答案:C【解答】解：如图：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故选：C．8．(2023春•龙岗区校级期中）一副直角三角板如图放置（∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°），如果点C在FD的延长线上，点B在DE上，且AB∥CF，则∠DBC的度数为（）A．10° B．15° C．18° D．30°答案:B【解答】解：∵AB∥CF，∴∠ABD＝∠EDF＝45°，∵∠ABC＝30°，∴∠DBC＝∠ABD﹣∠ABC＝15°，故选：B．9．(2023春•宁阳县期末）将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2等于（）A．80° B．100° C．110° D．120°答案:C【解答】解：如图所示，由题意得∠E＝90°﹣30°＝60°，∵AB∥CD∴∠ABE＝∠1＝50°，又∵∠2是△ABE的外角，∴∠2＝∠ABE+∠E＝50°+60°＝110°，故选：C．10．(2023春•罗庄区期末）将直角三角板按照如图方式摆放，直线a∥b，∠1＝136°，则∠2的度数为（）A．44° B．45° C．46° D．56°答案:C【解答】解：延长AB交直线b于点M，如图，由题意得：∠CBM＝90°，∵a∥b，∠1＝136°，∴∠AMD＝∠1＝136°，∵∠AMD是△BCM的外角，∴∠AMD＝∠2+∠CBM，∴∠2＝∠AMD﹣∠CBM＝46°．故选：C．11．(2023春•盐田区校级期中）如图，m∥n∥l，一块三角板按图所示摆放，则下列结论正确的有（）①∠1+∠2＝90°；②∠3+∠4＝∠5；③∠5+∠6−∠1＝90°；④∠5+∠6＝∠2+2∠4．A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④答案:D【解答】解：如图，由题意可知：∠3＝30°，∠6＝60°，∠4+∠7＝90°，∵m∥n，∴∠1＝∠4，∵l∥n，∴∠2＝∠7，∵∠4+∠7＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故①正确；∵l∥n，∴∠5＝∠8，∵∠8＝∠3+∠4，∴∠5＝∠3+∠4，故②正确；∵∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝180°﹣∠2，∴∠5+∠6﹣∠1＝90°，故③正确；∵∠2＝∠7，∠4+∠7＝90°，∴∠2+∠4＝90°，∴2（∠2+∠4）＝180°，∵∠5+∠6＝180°﹣∠2，∴∠5+∠6＝2（∠2+∠4）﹣∠2，即∠5+∠6＝∠2+2∠4，故④正确．所以正确的结论有：①②③④．故选：D．12．(2023春•蜀山区期末）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE，则∠BCE的度数为（）A．65° B．70° C．75° D．80°答案:C【解答】解：∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠D＝30°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°，∴∠BCE＝∠DCE﹣∠BCD＝90°﹣15°＝75°，即C选项正确，故选：C．13．(2023•深圳）一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（）A．5° B．10° C．15° D．20°答案:C【解答】解：如图，∠ACB＝45°，∠F＝30°，∵BC∥EF，∴∠DCB＝∠F＝30°，∴∠1＝45°﹣30°＝15°，故选：C．14．(2023春•玄武区期末）将两个形状相同，大小不同的三角板按如图所示方式放置，C是公共顶点，且∠ACB＝∠A'CB'＝90°，∠B＝∠B'＝60°．对于下列三个结论，其中正确的结论有（）①∠1+∠ACB'＝180°；②∠B'DA﹣∠1＝90°；③如果∠1＝30°，那么AB∥CB'．A．①② B．②③ C．①③ D．①②③答案:D【解答】解：如图，延长AC到点F，根据邻补角的定义得：∠FCB′+∠ACB'＝108°．根据同角的余角相等得：∠FCB＝∠1，所以有∠1+∠ACB'＝180°，故①正确．由“8”字形可得：∠A′DA+∠A′＝∠A+∠A′CA，∴180°﹣∠B'DA+30°＝90°﹣∠1+30°，∴∠B'DA﹣∠1＝90°，故②正确．如果∠1＝30°，则∠BCB′＝60°＝∠B．∴AB∥CB'．故③正确．故选：D．15．(2023•南召县模拟）将一块含30°角的直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°答案:A【解答】解：如图，∵AC∥OB，∠2＝40°，∴∠AOB＝∠2＝40°，又∠AOC＝30°，∴∠1＝∠AOB﹣∠AOC＝40°﹣30°＝10°．故选：A．16．(2023秋•城关区校级期末）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图2，∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，求∠FQG的大小．【解答】解：（1）如图1，延长AM交EG于M．∠β+∠α＝90°，理由如下：由题意知：DF∥EG，∠ACB＝90°．∴∠α＝∠GMC，∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．∵∠EGB和∠CGM是对顶角，∴∠β＝∠CGM．∴∠β+∠α＝90°．（2）如图2，延长AC交EG于N．由题意知：DF∥EN，∠ACB＝90°．∴∠1＝∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°．∴∠1+∠CGN＝90°．∵QF平分∠DFC，∴∠QFC＝∠DFC＝（180°﹣∠1）＝90°﹣∠1，∠GQC＝90°﹣∠CGN同理可得：∠GQC＝90°﹣∠CGN，∵四边形QFCG的内角和等于360°．∴∠FQG＝360°﹣∠QFC﹣∠QGC﹣∠ACB＝360°﹣（90°﹣∠1）﹣（90°﹣∠CGN）﹣90°．∴∠FQG＝135°．17．(2023秋•渝中区校级期末）已知，AB∥CD，直线FE交AB于点E，交CD于点F，点M在线段EF上，过M作射线MR、MP分别交射线AB、CD于点N、Q．（1）如图1，当MR⊥MP时，求∠MNB+∠MQD的度数；（2）如图2，若∠DQP和∠MNB的角平分线交于点G，求∠NMQ和∠NGQ的数量关系；（3）如图3，当MR⊥MP，且∠EFD＝60°，∠EMR＝20°时，作∠MNB的角平分线NG．把一三角板OKI的直角顶点O置于点M处，两直角边分别与MR和MP重合，将其绕点O点顺时针旋转，速度为5°每秒，当OI落在MF上时，三角板改为以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时∠BNG绕点N以3°每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的∠BNG为∠B'NG'，当NG'和NA重合时，整个运动停止．设运动时间为t秒，当∠B'NG'的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出t的值．【解答】解：（1）过点M作MH∥AB，如图：∴∠BMN+∠NMH＝180°，∵AB∥CD，∴MH∥CD，∴∠HMQ+∠MQD＝180°，∴∠BMN+∠NMH+∠HMQ+∠MQD＝360°，∵MR⊥MP，∴∠NMQ＝90°，∴∠MNB+∠MQD＝270°；（2）过点M作MH∥AB，过点G作GL∥AB，如图：设∠BNG＝x，则∠BNM＝2x，∵MH∥AB，∴∠NMH＝180°﹣2x，设∠DQG＝y，则∠DQP＝2y，∵AB∥CD，∴GL∥CD，∴∠QGL＝x，∴∠NGQ＝∠NGL﹣∠QGL＝x﹣y，∠HMQ＝∠DQP＝2y，∴∠NMQ＝∠NMH+∠HMQ＝180°﹣2x+2y＝180°﹣2（x﹣y），∴∠NMQ＝180°﹣2∠NGQ；（3）①若OI∥NG'，则∠ION+∠ONG'＝180°，OI到达MF前，如图，∵∠ION＝5°t+90°，∠ONG'＝∠ONG﹣∠GNG'＝140°﹣70°﹣3°t，∴5°t+90°+（140°﹣70°﹣3°t）＝180°，解得t＝10；OI返回时，如图：∵∠ION＝∠FON﹣∠FOI＝160°﹣5°（t﹣14），∠ONG'＝140°﹣70°﹣3°t，∴160°﹣5°（t﹣14）+（140°﹣70°﹣3°t）＝180°，解得t＝15；②当OI∥NB'时，如图：∵∠ION+∠ONB'＝180°，∴160°﹣5°（t﹣14）+140°﹣3°t＝180°，解得t＝；③当OK∥NG'时，如图：同理可得160°﹣90°﹣5°（t﹣14）＝3°t﹣70°，解得：；④当OK∥NB'时，如图：∴140°﹣3°t＝90°﹣[160°﹣5°（t﹣14）]，解得t＝35，综上所述，t的值为10或15或或或35．18．(2023秋•景德镇期末）含30度角的直角三角板和直尺按如图所示方式放置，直尺与三角板的外围边缘分别交于A，B，C，D四点．（1）若∠3＝95°，试求∠2的大小．（2）∠1与∠2的和是否的定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．【解答】解：（1）根据三角板形状可知，∠E＝30°，∠F＝60°，∵AD∥BC，∴∠4＝∠3＝95°，∴∠5＝∠4＝95°，∴∠2＝180°﹣∠5﹣∠F＝25°．（2）∠1与∠2的和是定值．∵∠3为△ADE的外角，∴∠3＝∠E+∠1，∴∠1＝∠3﹣∠E＝∠3﹣30°，∵∠5＝∠4＝∠3，∴∠2＝180°﹣∠5﹣∠F＝180°﹣∠3﹣60°＝120°﹣∠3，∴∠1+∠2＝∠3﹣30°+120°﹣∠3＝90°．19．(2023春•顺德区校级月考）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．（1）填空：∠1＝°，∠2＝°（2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，①请直接写出∠1＝°，∠2＝°（结果用含n的代数式表示）；②若∠2恰好是∠1的倍，求n的值．（3）如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t（s）．①在旋转过程中，若射线BM与射线QN相交，设交点为P．当t＝20（s）时，则∠QPB＝°②在旋转过程中，是否存在BM∥QN．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∠1＝180°﹣60°＝120°，∠2＝90°；故答案为：120，90；（2）①如图2，∵DG∥EF，∴∠DCB＝∠CBF＝n°，∴∠ACD＝90°﹣n°，∴∠1＝∠A+∠ACD＝（120﹣n）°，∵DG∥EF，∴∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣n°，∵∠ACB+∠BCG+∠2＝360°，∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG＝360°﹣90°﹣（180°﹣n°）＝（90+n）°；故答案为：（120﹣n），（90+n）；②当∠2＝∠1时，90+n＝（120﹣n），解得n＝30，∴n的值是30；（3）①如图：根据题意得：∠FBP＝20×2°＝40°，∠AQP＝20×3°＝60°，∴∠AQP＝∠ABC，∴PQ∥BC，∴∠QPB＝∠FBP＝40°；故答案为：40；②存在BM∥QN，理由如下：如图：∵QN∥BM，∴∠AQN＝∠ABM，∴3°t＝60°﹣2°t，解得t＝12，∴t的值为12．20．(2023•南谯区校级开学）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）将图①中的三角板OMN沿BA方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON＝30°，如图③，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（3）将图①中的三角尺COD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，MN恰好与CD平行；第几秒时，MN恰好与直线CD垂直．【解答】解：（1）在△CEN中，∠CEN＝180°﹣∠DCN﹣∠MNO＝180°﹣45°﹣30°＝105°；（2）∵∠BON＝∠N＝30°，∴MN∥CB，∴∠CEN＝180°﹣∠DCO＝180°﹣45°＝135°；（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F，∵CD∥MN，∴∠OFD＝∠M＝60°，在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴旋转角为75°，t＝75°÷15°＝5（秒）；CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，∵CD∥MN，∴∠DFO＝∠M＝60°，在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴旋转角为75°+180°＝255°，t＝255°÷15°＝17（秒）；综上所述，第5或17秒时，边CD恰好与边MN平行；如图2，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，∵CD⊥MN，∴∠NGC＝90°﹣∠MNO＝90°﹣30°＝60°，∴∠CON＝∠NGC﹣∠OCD＝60°﹣45°＝15°，∴旋转角为180°﹣∠CON＝180°﹣15°＝165°，t＝165°÷15°＝11（秒），CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，∵CD⊥MN，∴∠NGD＝90°﹣∠MNO＝90°﹣30°＝60°，∴∠AOC＝∠NGD﹣∠C＝60°﹣45°＝15°，∴旋转角为360°﹣∠AOC＝360°﹣15°＝345°，t＝345°÷15°＝23（秒），综上所述，第11或23秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．21．(2023春•新罗区期中）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒20°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？并说明理由；（2）在旋转的过程中，若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．①当边AB与射线OE相交时（如图3），则∠AOC﹣∠BOE的值为；②当边AB所在的直线与OC平行时，求t的值．【解答】解：（1）∠BOC＝∠BOE，理由如下：∵∠AOB＝90°，∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∵OA平分∠COD，∴∠AOD＝∠AOC，∴∠BOC＝∠BOE；（2）①∵∠COE＝140°，∴∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝140°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，∴∠AOC﹣∠BOE＝（140°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝50°，∴∠AOC﹣∠BOE的值为50°．故答案为：50°；②∵∠COE＝140°，∴∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，（I）如图3﹣1，当AB在直线DE上方时，∵AB∥OC，∴∠AOC＝∠A＝30°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝70°，∵直角三角板绕点O按每秒20°的速度旋转，∴t＝70°÷20°＝3.5；（Ⅱ）解法一：如图3﹣2，当AB在直线DE下方时，∵AB∥OC，∴∠COB＝∠B＝60°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝20°，∠AOD＝90°+20°＝110°，∴直角三角板AOB绕点O旋转的角度为360°﹣∠AOD＝250°，∵直角三角板AOB绕点O按每秒20°的速度逆时针旋转，∴t＝（360°﹣110°）÷20°＝12.5，解法二：如图3﹣3，在②（Ⅰ）的基础上，继续将直角三角板A1OB1绕点O按每秒20°的速度逆时针旋转180°，得到直角三角板AOB，此时，AB∥OC，∴直角三角板AOB绕点O旋转的角度为180°+70°＝250°，∵直角三角板AOB绕点O按每秒20°的速度逆时针旋转，∴t＝250°÷20°＝12.5，综合（Ⅰ）（Ⅱ）得：t＝3.5或t＝12.5．22．(2023春•岳阳期末）如图，已知∠DCF和∠ECF互为邻补角，∠DCF＝α（0＜α＜90°），将一个三角板的直角顶点放在点C处（注：∠ACB＝90°，∠ABC＝60°）．（1）如图1，使三角板的短直角边BC与射线CD重合，若α＝40°，则∠ACF＝．（2）如图2，将图1中的三角板ABC绕点C顺时针旋转60°，试判断此时AB与DE的位置关系，并说明理由．（3）如图3，将图1中的三角板ABC绕点C顺时针旋转β（0＜β＜90°），使得∠ACE＝∠BCF，此时α和β满足什么关系？请说明理由．（4）将图1中的三角板绕点C以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，AC恰好与直线CF重合，求t的值（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）∵∠ACF+α＝90°，α＝40°，∴∠ACF＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50；（2）∵∠ABC＝∠DCB＝60°，∴AB∥DE；（3）∵∠DCB＝β，∴∠BCF＝β﹣α，∵∠ACE＝∠BCF，∴∠ACE＝，∵∠ACE+∠DCB＝90°，∴+β＝90°，∴3β﹣α＝180°；（4）第t秒时，AC恰好与直线CF重合，则5°t＝270°+α，解得t＝54+．23．(2023春•平南县期末）如图已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），有一块三角板ABC，其中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，现将该三角板如图所示放置，使顶点B始终落在ON上，过点A作DA∥ON交OM于点E．（1）如图1，若BC∥OM，∠CAD＝40°，请求出α的大小；（2）若∠BAE的平分线AP交ON于点P；①如图2，当AP∥OM，且α＝60°时，请说明：BC∥OM；②如图3，将三角板ABC沿直线ON从左往右平移，且在平移的过程中，始终保持BC∥OM不变，请探究∠OPA与α之间的数量关系，并直接写出你的结论．【解答】解：（1）如图1，∵∠CAD＝40°，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°∴∠BAD＝40°+30°＝70°，∠ABC＝60°，∵AD∥ON，∴∠ABN＝180°﹣70°＝110°，∵BC∥OM，∴∠MON＝∠CBN＝α＝110°﹣60°＝50°，即α＝50°；（2）①如图2，∵AP∥OM，α＝60°＝∠MON，∴∠APB＝∠MON＝60°，又∵AD∥ON，∴∠PAE＝∠APB＝60°，∵AP是∠BAE的平分线，∴∠PAE＝∠BAB＝60°，∴∠ABN＝∠BAE＝2∠PAB＝120°，又∵∠ABC＝60°，∴∠CBN＝120°﹣60°＝60°＝∠MON，∴BC∥OM；②如图3，∠OPA＝150°﹣α，理由如下：∵BC∥OM，∴∠CBN＝∠MON＝α，∴∠ABN＝α+60°＝∠BAE，∵AP是∠BAE的平分线，∴∠PAE＝∠PAB＝∠BAE＝α+30°，∠ABP＝180°﹣∠ABN＝120°﹣α，∴∠OPA＝∠PAB+∠ABP＝α+30°+120°﹣α＝150°﹣α．24．(2023春•莆田期末）李想是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一块含有60°的直角三角板摆放在一组平行线上展开探究．已知直线EF∥GH，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点C为直线EF上一定点．将直角三角板ABC绕点C转动，当点A在直线GH上时，点B也恰好在直线GH上．（1）如图1，求∠ECB的度数；（2）如图2，若点A在直线EF上方，点B在GH下方，BC与GH交于点Q，作∠ACE的角平分线并反向延长与∠CQH的角平分线交于点O．在直角三角板ABC绕点C转动的过程中，∠O的度数是否保持不变？若不变，求出∠O的度数；否则，请说明理由；（3）如图3，直角三角板ABC绕点C转动，若点A在直线EF，GH之间（不含EF，GH上），点B在GH下方，AB，BC分别与GH交于点P，Q．设∠FCB＝n°，是否存在正整数m和n，使得∠APH＝m∠FCB，若存在，请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵EF∥GH，∴∠ECA＝∠CAB＝60°，∴∠ECB＝∠ACB+∠ECA＝90°+60°＝150°．（2）∠O的度数保持不变．理由如下：过点O作OP∥EF，∵EF∥GH，∴EF∥OP∥GH，∴∠COP＝∠FCO，∠POQ＝∠OQH，∠ECQ＝∠CQH，∵CD平分∠ACE，OQ平分∠CQH，∴∠DCE＝∠ACE，∠OQH＝∠CQH＝∠ECB，∴∠POQ＝∠ECB，∵∠DCE＝∠FCO，∴∠COP＝∠DCE＝∠ACE，∴∠COQ＝∠COP+∠POQ＝∠ACE+∠ECB＝（∠ACE+∠ECB）＝∠ACB＝×90°＝45°．∴∠O的度数保持不变，始终是45°．（3）存在．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠APQ+∠CQP＝360°﹣∠ACB﹣∠A＝360°﹣90°﹣60°＝210°，∵EF∥GH，∴∠FCB＝∠CQP＝n°，∴∠APQ+∠CQP＝∠APQ+n°＝210°，∵∠APH＝m∠FCB，∴∠APH＝mn°，∴mn°+n°＝210°，由此得出，n＝，∵点A在直线EF，GH之间（不含EF，GH上），点B在GH下方，∴30°＜n°＜90°，即mn°＜180°，m，n是正整数，∴当m＝1时，n＝＝105，不符合题意，舍去；当m＝2时，n＝＝70，符合题意；当m＝3时，n＝不是正整数，舍去；当m＝4时，n＝＝42，符合题意；当m＝5时，n＝35，符合题意；当m＝6时，n＝＝30，不符合题意，舍去．综上所得，m＝2，n＝70，或m＝4，n＝42，或m＝5，n＝35．25．(2023春•岳池县期中）已知在三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，在长方形DEFG中，DE‖GF．如图①，若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，AB⊥DE于点N，BC与DE相交于点M，则∠EMC的度数是多少呢？若过点C作CH‖GF，则CH‖DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．（1）请你直接写出：∠CAF＝°，∠EMC＝°；（2）若将三角板ABC按图②所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系，并证明你的猜想；（3）请在图②中探究∠BAG与∠BMD有何数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；故答案为：30，60；（2）∠EMC+∠CAF＝90°，证明：如图②，过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，∵DE∥GF，CH∥GF，∴CH∥DE，∴∠EMC＝∠HCM，∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，证明：如图②，过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，∵BK∥GF，DE∥GF，∴BK∥DE，∴∠BMD＝∠KBM，∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．26．(2023秋•南岗区校级期末）已知：直线AB∥CD，一块三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求证：PQ∥FH．【解答】（1）解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠CHG．∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠CHG．∵∠CHG+∠EHF+∠2＝180°，∴3∠CHG+60°＝180°．∴∠CHG＝40°．∴∠1＝40°．（2）解：∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系为：∠AFE＝∠E+∠MHE，理由：∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠CME．∵∠CME＝∠E+∠MHE，∴∠AFE＝∠E+∠MHE．（3）证明：设∠AFE＝x，则∠BFH＝90°﹣x，∠EFB＝180°﹣x．∵AB∥CD，∴∠BFT＝∠ETF．∵∠EFT＝∠ETF，∴∠EFT＝∠BFT＝∠EFB＝90°﹣x．∴∠HFT＝∠BFT﹣∠BFH＝x．∵∠Q﹣∠HFT＝15°，∴∠Q＝15°+x．∵AB∥CD，∴∠AFE+∠CEF＝180°．∴∠CEF＝180°﹣x．∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH＝180°﹣x+30°＝210°﹣x．∵EQ平分∠CEH，∴∠QEH＝∠CEH＝105°﹣x．∵∠Q+∠QEH+∠QPE＝180°，∴15°+x+105°﹣x+∠QPE＝180°．∴∠QPE＝60°．∵∠H＝60°，∴∠QPE＝∠H．∴PQ∥FH．27．(2023秋•王益区期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．（1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝45°；（2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F，①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA；②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系．【解答】解：（1）如图，过点E作EF∥MN，∴∠DEF＝∠NDE＝45°，∵∠CED＝90°，∴∠FEC＝45°，∵MN∥OB，∴EF∥OB，∴∠BCE＝∠FCE＝45°，∵AO∥CE，∴∠AOB＝∠ECB＝45°，则α＝45°，故答案为：45；（2）①∵DF∥OA，∴∠DFC＝∠AOB＝α＝60°，∵MN∥OB，∴∠MDF＝∠DFC，∵DF平分∠MDC，∴∠CDF＝∠MDF＝60°，在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°，∴∠CDF＝∠DCE，∴CE∥DF，∵DF∥OA，∴CE∥OA；②∵当CE∥OA保持不变时，总有∠ECB＝α，在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°，∴∠DCB＝60°+α，∵MN∥OB，∴∠MDC＝∠DCB＝60°+α，且∠DFC＝∠MDF，∵DF平分∠MDC，∴，∴．28．(2023春•睢阳区期末）问题情境：我们知道，“如果两条平行被第三条直线