2021-2023年全国高考数学典例真题汇编（新高考模式训练）36

试卷第1页，共SECTIONPAGES1页2021-2023年全国高考数学典例真题汇编（新高考模式训练）36姓名：___________班级：___________一．单选题1．【2021-新高考Ⅰ卷】已知，则（）A. B. C. D.2．【2023-全国数学乙卷（文）高考真题】如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A.24 B.26 C.28 D.303．【2021-全国新高II卷】设集合，则（）A. B. C. D.4．【2023-新课标全国Ⅰ卷真题】设椭圆的离心率分别为．若，则（）A. B. C. D.5．【2021-全国新高II卷】正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A. B. C. D.6．【2022-全国甲卷数学高考真题】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（）

A. B. C. D.7．【2023-新课标全国Ⅰ卷真题】记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．【2021-全国甲卷（理）】已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）A. B. C. D.二．多选题9．【2021-新高考Ⅰ卷】有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同10．【2021-全国新高II卷】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切11．【2021-新高考Ⅰ卷】已知点在圆上，点、，则（）A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于C.当最小时，D.当最大时，三．填空题12．【2021-全国甲卷（理）】曲线在点处的切线方程为__________．13．【2021-浙江卷】在中，，M是的中点，，则___________，___________.14．【2022-天津数学高考真题】设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数取值范围为______.四．解答题15．【2021-北京数学高考真题】已知在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上中线的长度．①；②周长为；③面积为；16．【2022-全国甲卷数学高考真题】在四棱锥中，底面．（1）证明：；（2）求PD与平面所成的角的正弦值．17．【2021-全国新高II卷】记是公差不为0等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．18．【2022-浙江卷数学高考真题】如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．（1）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（2）求的最小值．19．【2021-新高考Ⅰ卷】在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.答案第1页，共SECTIONPAGES1页2021-2023年全国高考数学典例真题汇编（新高考模式训练）36【参考答案】1．答案:C解析：因为，故，故故选：C.2．答案:D解析：如图所示，在长方体中，，，点为所在棱上靠近点的三等分点，为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体去掉长方体之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：.故选：D.3．答案:B解析：由题设可得，故，故选：B.4．答案:A解析：由，得，因此，而，所以.故选：A5．答案:D解析：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.故选：D.6．答案:B解析：解：如图，连接，因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以.故选：B.7．答案:C解析：方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C8．答案:A解析：，为等腰直角三角形，，则外接圆的半径为，又球的半径为1，设到平面的距离为，则，所以.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.9．答案:CD解析：A：且，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；C：，故方差相同，正确；D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；故选：CD10．答案:ABD解析：圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.11．答案:ACD解析：圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线与半径为圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.12．答案:解析：由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．13．答案:(1).(2).解析：由题意作出图形，如图，在中，由余弦定理得，即，解得（负值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案为：；.14．答案:解析：设，，由可得.要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，解得或.①当时，，作出函数、的图象如下图所示：此时函数只有两个零点，不合乎题意；②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，，解得；③当时，，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

15．答案:（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．解析：（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.（1），则由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择③：由（1）可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.16．答案:（1）证明见解析；（2）.解析：（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【小问1详解】证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以；【小问2详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，设平面的法向量，

则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为.17．答案:(1)；(2)7.解析：(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.18．答案:（1）；（2）．解析：（2）设直线与椭圆方程联立可得，再将直线方程与的方程分别联立，可解得点的坐标，再根据两点间的距离公式求出，最后代入化简可得，由柯西不等式即可求出最小值．【小问1详解】设是椭圆上任意一点,,则，当且仅当时取等号，故的最大值是.【小问2详解】设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以，因为直线与直线交于,则,同理可得,.则，当且仅当时取等号，故的最小值为.【点睛】本题主要考查最值计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．19．答案:（1）；（2）.解析：（2）设点，设直线的方程为，设点、，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，求出的表达式，设直线的斜率为，同理可得出的表达式，由化简可得的值.因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双