2023-2024学年人教版数学九年级下册章节真题汇：相似（中等卷）教师版

2023-2024学年人教版数学九年级下册章节真题汇编检测卷（中等）

第27章相似

考试时间：120分钟试卷满分：100分难度：中等

一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（本题2分）（2023•重庆沙坪坝•重庆一中校考二模）如图，..ABC与，DEF是位似图形，点。为位似

中心，位似比为2:3.若ABC的面积为8,贝匸DEF的面积是（）

【答案】D

【分析】根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质一面积之比等于相似比的平方计算即可.

【详解】解：解：：ABC与，。印位似，点。为位似中心，相似比为2:3,

:.ABC马.DEF的面积之比为4:9,

•/的面积为8,

二,DEF的面积是18,

故选：D.

【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键.

2.（本题2分）（2023•河南驻马店•驻马店市第二初级中学校考二模）如图，矩形A3CD的顶点48分

别在x轴、y轴上，03=4,OA=3,AD=10,将矩形ABCD绕点。顺时针旋转，每次旋转90。，则第2023

次旋转结束时，点，的坐标为（)

C.(—6,—5)D.(-5,-6)

【答案】C

【分析】过点。作OT丄X轴于点T.首先证明△ATTJsABCM,利用相似三角形的性质求出点。的坐标，再

探究规律，利用规律解决问题即可.

【详解】解：如图，过点。作DT丄x轴于点T.

:.AB=S尺+OB?=,32+42=5,

ZATD=ZAOB=ZBAD=90°,

.\ZDAT+ZBAO=90°,ZBAO-^-ZABO=90°,

:.ZDAT=ZABO,

..AATD^ABOA,

.ADATDT

.10_ATDT

,,=一，

543

:.AT=8,DT=6,

:.OT=AT-OA=8-3=5,

.'.£>(-5,6),

矩形ABCD绕点。顺时针旋转，每次旋转90。,

则第1次旋转结束时，点。的坐标为(6,5)；

则第2次旋转结束时，点D的坐标为(5,-6)；

则第3次旋转结束时，点D的坐标为(-6,-5)；

则第4次旋转结束时，点。的坐标为(-5,6)；

发现规律：旋转4次一个循环,

.•.2023+4=505…3,

则第2021次旋转结束时，点D的坐标为（-6,-5）.

故选：C.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转、规律型一点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规

律，总结规律.

3.（本题2分）（2021春•福建龙岩•九年级校考阶段练习）如图,ABC中，DE//BC,BE与CD相交

于点尸.如果Db:bC=l:3,那么SA°E：SMC等于（）

A.1:9B.1:3C.2:3D.1:8

【答案】A

DFDF1

【分析】根据。E〃3C,。尸：/C=l：3得到岩===：,乙ADEs乙ABC,结合面积比等于相似比平

BCCF3

方即可得到答案；

【详解】解：；DE〃3C，DF:FC=1:3,

AADEsAABC,

BCCF3

•••SME：5ABe=（1:3）2=1:9,

故选：A.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形面积比等

于相似比的平方.

4.（本题2分）（2020秋•安徽蚌埠•九年级统考期中）如图，各正方形的边长均为1,则四个阴影三角形

中，一定相似的一对是:

①

③④

A.①②B.①③C.②③D.②④

【答案】A

【分析】分别求出4个图形中的每个三角形的边长，通过三角形三边的比是否相等就可以判断出结论，从

而得出正确答案.

【详解】解：①三边长为：1,0,5

②三边长为：0,2,V10；

③三边长为：1,有，2拒；

④三边长为：2,非,岳;

则可得①和②三边成比例，故一定相似的是①和②.

故选：A.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题需要我们熟练运用勾股定理，掌握相似三角形的判定定

理，难度一般.

5.（本题2分）（2023秋•全国•九年级专题练习）如图，ABC和，DEF是位似三角形，点。是位似中心，

且AC=9,DF=3,OA=6,则OD=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】根据位似图象的性质得出位似比，进而得出的长.

【详解】解：AC=9,DF=3,

AC:DF=3:1,

ABC与位似，点。是它们的位似中心，

:.OA:OD=3A,

OA=6,

二。尸的长为2,

故选：A.

【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键.

6.（本题2分）（2023•海南儈州•海南华侨中学校联考模拟预测）如图，在2ABe中，AC=9,BC=6,

以点方为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点0,交BC于点£,分别以点〃£为圆心，大于的长为

半径画弧，两弧交于点凡连接所并延长交AC于点只若AP=BP,则线段CP的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】先判断出3P为，ABC的角平分线，再证明△BPCs/vwc,问题即可得解.

【详解】由图可知为，ABC的角平分线，

:.ZCBP=ZABP.

;AP=BP,

：.ZA=ZABP.

：.ZA=ZCBP,

又zc=zc,

:.^BPC^AABC.

.BC_CP

**AC-BC'

设CP=x,

VAC=9,BC=6,

6_x

•u•.

96

解得x=4,即：CP=4.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图以及相似三角形的判定与性质等知识，证明△BPCs/vmc是

解答本题的关键.

7.（本题2分）（2023春•天津和平•九年级校考阶段练习）如图，在aABC中，D、E、尸分别是边AB、

AC.3C上的点，连接石下，8相交于点G,若四边形BDE户是平行四边形，则下列说法不正确的是

)

ADEGADBFADDE

C.

DBCGDB-GFDBBCDB-FC

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质得出。石=3尸，EF//AB,DE//BCff根据相似三角形的判定得出

DGES.CGF，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质逐个判断即可.

【详解】解：A..四边形5。石厂是平行四边形,

:.DE=BF,EF〃AB,DE〃BC,

ADAEBF

DGEsCGF,

DB~EC~~FC

.DGDEBF

*CG-CF-CF

ADDG

故本选项错误;

CG

B.四边形BD£尸是平行四边形,

:.DE=BF,EF//AB,DE//BC,

ADAEBF八

——，DGEs一CGF,

DB-~EC~FC

EGDE_BF

~GF~~CF~~CFf

ADEG

故本选项错误；

DB~GF

C.DE//BC,DE=BF,

ADDE_BFAD

花一拓一拓DB,故本选项正确;

D.QEF〃AB,DE〃BCDE=BF,

ADAEBFDE

故本选项错误;

DB~EC~FC~FC

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，能

灵活运用定理进行推理是解此题的关键.

8.（本题2分）（2023秋•重庆•九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，

k

及△ABC的顶点/在函数y=—（k/0,x>0）,ZACB=90°,边CB在y轴上，，为AB的中点，连接DC并

x

延长交X轴于点£,连接防，若SBEC=3,则"的值为（）

【答案】C

【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质得到8D=DC,再根据等腰三角形的性质和对顶角相等得到

ZECO=ZABC,证明得到BCxOE-COxAC,再根据三角形的面积公式和反比例函数的

系数"的几何意义得到BCxOE=6=COxAC=\k\,进而可求解.

【详解】解：为Rt^ABC的斜边AB上的中线，

ABD=DC,则〃CB=/ABC,

又ZDCB=NECO,

：.ZECO=ZABC,

又Z.COE=ZBCA=90°,

，ACOEsABCA,

COOE

---=---,即anBCxOE=COxAC.

BCAC

又,S^BEC=3,

：.-BCE0=3,

2

即3cxOE=6=COxAC=|札

•.•反比例函数图象在第一象限，k>0.

：.k=6.

故选：C.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数系数4的几何意义、直角三角形斜边上的中线性

质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识与运用，利用相似三角形的判定与性质得到线段间的关系是

解答的关键.

9.（本题2分）（2023•河南洛阳•统考二模）如图，RtA4BC中，ZACB=90°,顶点A在第一象限，点C,

8分别在x,y轴上，OC=3,03=4,AC=10.将一ABC绕点。顺时针旋转，每次旋转90。，若旋转后

点A的对应点的坐标是（5,6）,则旋转的次数可能是（）

【答案】C

【分析】过点A作AT丄x轴于点T.首先利用相似三角形的性质求出点A的坐标，再探究规律，利用规律

解决问题即可.

【详解】解：如图，过点A作AT丄x轴于点7,连接Q4.

OC=3,OB=4,ZAOB=90°,

BC=5,

ZATC=ZACB=90°,

:.ZCAT+ZACT=90°,ZACT+ZBCO=90°,

:.ZCAT=ZBCO,

:.ATCs-COB,

:.AT:OC=CT:OB=AC:BC,即AT:3=CT:4=10:5,

:.AT=6,CT=8,

:.OT=CT-OC=8-3=5,

A(5,6),

.矩形ABCD绕点。逆时针旋转，每次旋转90。，

则第1次旋转结束时，点A的坐标为(6,-5)；

则第2次旋转结束时，点A的坐标为(-5,-6)；

则第3次旋转结束时，点A的坐标为(-6,5)；

则第4次旋转结束时，点A的坐标为(5,6)；

发现规律：旋转4次一个循环，

.12024+4=56,

则第2024次旋转结束时，点A的对应点4的坐标是(5,6),

故选：C.

方法二：.点4的坐标是(5,6),

.••点4在第一象限，

每次旋转90。，

，旋转4次一个循环，

二点A的坐标是(5,6),

二.2024+4=56,

则第2024次旋转结束时，点A的对应点A的坐标是(5,6),

故选：C.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转、规律型一点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规

律，总结规律.

10.(本题2分)(2022•河北石家庄•校考模拟预测)如图，矩形A3CD中，BC=2AB,对角线相交于。，

过C点作CE丄8Z）交BO于E点，H为BC中点，连接A“交3。于G点，交EC的延长线于尸点，下列5个

结论：①EH=AB；②ZABG=NHEC；③^ABG纟AHEC；④SGAD=S四边形GHCE;®CF=BD.正确的有

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】解：根据斜边的中线等于斜边的一半即可判断①正确；结合①以及角度互余的关系可判断②正确；

③连接先证明N54G=45。，同理：NDHC=45。,可得NEHC>NDHC=45。=NBAG,根据对应角

不相等可判断③错误；④设AB=CD=1,gpAD=BC=2,证明-ADGs_HGB,可得型=些=处=2,

BGGHBH

224119

分别求出SAG°=4SBS=TSmHCE=SBCE-SBGH可判断④错误；⑤利用角的和差关系

证明/F=NH4C,结合矩形的性质即有CF=AC=5。，可判断⑤正确.

【详解】解：①在aBCE中，

•:CE丄BD,〃为BC中点，

：.-BC=EH=BH^HC,

2

又：BC=2AB,

：.EH=AB,①正确；

②由①可知，BH=HE,

：.NEBH=NBEH,

又：ZABG+NEBH=NBEH+NHEC=90°,

/.ZABG=ZHEC,②正确；

③连接DH,

VAB=BH,ZABH=90°,

：.ZBAG=45°,

同理：ZDHC=45°,

:.ZEHC>ZDHC=45°=/BAG,

・•・根据对应角不相等可知一ABG纟一HEC不成立，③错误;

④设AB=CD=1,即AD=BC=2,

1c一

,,BD=VAS2+AD2=，S=S=—x2xl=l,

ABDBCD2

・.•AD〃BC,

:・jADGsHGB,

.DGAGAD0

一=——

BGGHBH

2

——2c1_1

SAGO=]SBCD3'°BGH0AG。=一,

26

,•q=—xBCxCD=—xBDxCE,

,2.BCD22

BCxCD2

：.CE=

BD一百

・・.BE=yjBC2-CE2=^=,

244

/.S=—xBExCE=—x

BCE225

4119

•q—v—v

•,。四边形GHCE——BCE°BGH56-30,

艮卩SGADWS四边形GHCE，

・••④错误;

@ZECH=ZCHF+ZF=45°+ZF,

又ZECH=NCDE=NBAO,NBAO=NBAH+ZHAC=45°+AHAC,

：.ZF^ZHAC,

：.CF=AC=BD,⑤正确.

正确的有3个.

故选：C.

【点睛】考查了等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的

判定.解答该题的关键是证明等腰三角形，全等三角形.

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（本题2分）（2020秋•福建漳州•九年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，在一ABC中，点〃为

CD1

ZC上一点，且K=7过点〃作。石〃交A5于点区连接CE,过点〃作正〃。石交AS于点反若AB=15,

AD2

贝L=..

【分析】根据平行线分线段成比例即可求解.

【详解】解：石〃5C

.ADAE

**AC-

•AD~2

・AD_2-E

**AC-3-AB

'：AB=15

AAE=1O

DF//CE

.AFADAF_2

••瓦一五'五一§

解得：AF=—

：.EF=AE-AF=—

3

故答案为：—

【点睛】本题考查平行线分线段成比例.找准比例是解题关键.

12.（本题2分）（2020秋•上海嘉定•九年级统考期中）如图，在，ABC中，点以少分别在边A3、AC上,

且NAED=NABC,如果AT>=4,BD=AE=6,那么AC的长.

E

【分析】根据相似三角形的判定和性质求解即可.

【详解】解：：厶ED=N/RC，NA=/4,

:.AAED^AABC,

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

13.（本题2分）（2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，点A

S

£分别是,ABC边AB、AC上的点，且。石〃3C,BD=2AD,那么三巫=_________.

DARC

【答案】I

【分析】根据6D=2AD推出4黑D=：1,根据。石〃5C推出最后根据相似三角形面积比等

AB3

于相似比的平方，即可解答.

【详解】解：：BD=24),

.AD_AD_AD1

"AB~AD+BD~3AD-3

DE//BC,

：.ZADE=ZB,ZAED=ZC,

AADEsAABC,

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方.

14.（本题2分）（2023春•陕西榆林•九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以原点。为位

似中心，将ABC放大后得到已知点A（2,O）,B（6,。），贝/ABC与的面积比是

【分析】根据题意求得位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解.

【详解】解：•••将，ASC放大后得到aBDE.点A（2Q）,B（6,O'）,

21

・・...ABC与，瓦织的相似比为:二彳,

63

则_ABC与BDE的面积比是=

故答案为：—.

【点睛】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键.

15.（本题2分）（2023秋•陕西榆林•九年级校考期末）已知,AD与HD是它们的对

应中线，如果，ABC与,的面积比是1：9,那么为

【答案】|/1：3

【分析】根据相似三角形的性质求解即可.

【详解】•.•△ABCS2XAEC',ABC与‘AB'C'的面积比是1：9,AD与477是它们的对应中线，

••/段丄

丿1=9

.AD1

**^F-3>

故答案为：;.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键.

16.（本题2分）（2023•安徽滁州•校考一模）在等边三角形ABC中，AB=6,D、E是BC上的动点，F

是A3上的动点，且BF=BD=EC=2,连接FE,手典=；

【分析】证明&%犷S&3C4,利用相似三角形的面积等于相似比的平方求解即可.

【详解】解：ABC是等边三角形，AB=6,

.-.AB=BC=AC=6,ZB=ZC=ZA=60°,

BD=BF=2,2B=60°,

BDE是等边三角形，ZBDF=ZBFD=60°,

\/jBDF=C=60?,

DF//AC,

BDFsBCA,

\SBDF=（些了=丄

SBCABC9'

BD=EC=2,DE=BC-BD-EC=6-2-2=2,

:.BD=DE=2,

…•2QBDF-=2QDEF，

qi

\uDEF_

故答案为：—.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键.

17.（本题2分）（2023春•江苏苏州•八年级校考阶段练习）如图，8和石厂是两等高的路灯，相距27m,

身高1.5m的小明（M）站在两路灯之间（小氏尸共线）,被两路灯同时照射留在地面的影长BQ=4m,BP=5mf

则路灯高度为.

【答案】6机/6米

【分析】证得那么可得票=黑，同理可得笑=写，根据CD=E尸，可求出3D,再

3QDEFPF

代入相关数值，计算可得路灯高度.

【详解】解：设£>5=xni,

■:AB//CD,

：.ZQBA=ZQDC,ZQAB=ZQCD,

4QABS.QCD,

.AB_BQ

••五一9'

・.・CD=EF,

.BQBP

・,瓦一而，

4_5

'x+厂5+(27-力

:.x=n,

即BD=12m,

ABBQ1.54

由xCL>-QDe面-4+12，

，8=6,

即路灯高6m.

故答案为：6m.

【点睛】本题考查相似三角形的应用；利用线段相等得到相关比例式是解决本题的突破点.

18.（本题2分）（2020秋•上海青浦•九年级校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD,E是C£）的中点,

BE,AE相交于点O,若,COE的面积为1,则平行四边形A3。的面积为

【分析】根据平行四边形性质可证明&COEs厶AOB,根据相似三角形面积比等于相似比的平方可求得AOB

的面积，又由相似三角形的对应边成比例，求得O太P=1根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可

OB2

求得出OC的面积，继而求得答案.

【详解】解：四边形ABCD为平行四边形，

..AB〃CD且AB=CD,

:.一COES-AOB,

,SC0EJEC^OE=EC

"SAOBIAB丿'OBAB'

E是CO的中点，

,ECEC1OE_1

,CD-AB-2'~OB~2'

S.COE=1,

,••0qAOB-—4，

OP1

Q?C和.COE为等高三角形，—

OB2

…•0qBOC--厶?'

SABC=SAOB+SBOC=4+2=6,

SABCD=2S诋=2x6=12,

故答案为：12.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答

本题的关键.

19.（本题2分）（2023秋•四川成都•八年级统考期末）如图，AE和AO分别为.ABC的角平分线和高线,

已知AD=3,且=BD=4DE,则AC的长为

【分析】在">上截取AG,使AG=EG,则=设AG=EG=m,DE=a,则3D=4a,

DG^AD-AG=3-m.在Rt-EGD中，由勾股定理，得EG2=DE?+DG。即”=4+(3)？，得

2

证明—即G'可得薪学’哈",即有病=9-3%联立a—6m—9

4a2=9-3m'

5

m=-_________

解得彳3,即可得DE=1,BD=4,BE=BD—DE=3.在RtAAB。中，AB=^AD2+BD2=5-设点£到

a2=1

直线A3的距离为力，则5働郎=:8£-4。=(48丿7,可得/?=.根据AE是，ABC的角平

22AB55

g

分线，可得点£到直线AC的距离为彳.设CO=〃，则*=dAD?+5=7^7.利用

S&AEC=^EC-AD=^AC-h,可得(l+〃)x3=59+〃Y，问题随之得解.

【详解】如图，在上截取AG,使AG=EG,则NA£G=NZM石,

・・・/EGD=ZAEG+/DAE=2/DAE.

9：ZB=2ZDAE,

：.ZB=ZEGD.

^AG=EG=m,DE=a,贝1」亜=4，，DG=AD-AG=3-m.

在Rt_£GQ中，由勾股定理，得EG?=DE?+DG?,

IPm2=a2+（3—m）2,

化简，得/=69.

由AO是,ABC的高线，即有NAZM=90o=/EDG,

有•；ZB=NEGD,

；..ADBsEDG,

***4a2=9-3m・

联立丿,

〔44=9-3m

一5

,,m=—

解得3,

a2=1

・・Q=1,

ADE=1,BD=4,

/.BE=BD-DE=3.

在RtZXABD中，AB=y/AD2+BD2=5-

设点£到直线AB的距离为h,则S^E=^BEAD=^ABh,

7BEAD3x39

n=---------=------=—.

AB55

・・・A石是二ABC的角平分线，

9

・・・点£到直线AC的距离为:.

设8=九，则AC=，4£）2+0。2=，9+〃2.

*,^AAEC=2EC.AD=—AC-h,

（l+n）x3=79+n2x-|,解得或〃=—4（舍去），

58

【点睛】本题是一道三角形的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，

一元二次方程的应用等知识，构造合理的辅助线，灵活利用三角形的面积，是解答本题的关键.

20.（本题2分）（2023•山西忻州•校联考模拟预测）如图，AC为矩形ABCD的对角线，AE平分/3AC

交BC于点、E,尸为8边的中点，连接8尸分别交AE,AC于点G,H.若AB=6,BC=8,则线段GH的

长为.

57

【分析】根据矩形的性质由勾股定理求出AC,即的长，证明，CFF/S,ABH,求出A8,BH,过点G作

GQ1AB,GW丄4/于点Q,W,根据角平分线的性质可得GQ=GW,然后利用三角形的面积即可解决问

题.

【详解】解：四边形ABCD是矩形，

:.CD=AB=6,AD=BC=8,ZABC=ZBCD^90°,AB1/CD,

:.AC=y/AB2+BC2=10-

尸为CO边的中点，

:.CF=DF=3,

BF=A/BC2+CF2=A/82+32=773，

AB//CD,

CFHsABH,

.CH_FH_CF_1

:.CH=-AH,FH=-BH,

22

亦1,773

CH=-AC=—,rn=—tO5Er=-----,

3333

20_2A/73

AH=-AC=BH=-BF=

333

如图，过点G作GQ丄AB,GW丄47于点。，W,

AE平分/BAC,

.-.GQ=GW,

_9

AH10

SAHG-AHGW-'

23

SABG=BG

S.一GH'

,BG_9

''GH=ld'

9

/.BG=—GH,

10

:.BH=BG+GH=—GH+GH=^^~,

103

,20月

..VJL1一,

57

线段GH的长为辿亘.

57

故答案为：型运.

57

【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到

CFHs,ABH.

三.解答题（共8小题，满分60分）

21.（本题6分）（2022秋•福建莆田•九年级校考开学考试）如图，在网格图中，每格是边长为1的正方

形，四边形A3C。的顶点均在格点上.

⑴请以点。为位似中心，在网格图中作出四边形A'B'C'D',使四边形AB'C'D与四边形ABCD位似，且

OCc

---二2；

OC

（2）填空：线段82的长为」一ADO的面积为一.

【答案】（1）见解析；

⑵BB'=672;A'D'O的面积为10.

【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出4B、C、。的对应点A'、B'、C'、D即可;

（2）利用勾股定理求得8?的长，用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可.

【详解】（1）解：如图，四边形AB'C'D'即为所求,

（2）线段班'的长=&2+6?=6亚；

【点睛】本题考查了位似变换（作图），勾股定理以及三角形面积的求解，解题的关键是掌握位似变换的性

质，正确作出图形.

22.（本题6分）（2022•陕西西安•校考模拟预测）如图1,在边长为1的正方形网格中，四边形ABCD的

四个顶点都落在格点上，小明发现：两条分割线DE,CE将四边形A3CD分割成的三个三角形都彼此相似（

含全等）.请在图2和图3中，各画一个四边形，满足有两条分割线且将四边形分割成三个彼此相似的三角形

（含全等），并在图中画出分割线的位置（所画的两个四边形不全等）.

「—―〒—―丁—―F——r——r——r—f——丁—―丁—-"r——"r——r「――T——"r——丁—--r-

IIIIIIIIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIIIIIIIII

r--t--t----r---r-------1—1r--t-----r----1-----r--1--ir--t---t--r--------------r-

i）'>'"（?'

-------■，）1,1r-----十----十------1----1-----►------1I------+-----+----+.....-t-

\111----------------------------------------------------------------------

\।।।〜..............................................................................................

-二+-+IH++-+——-»H卜——+——+1--+-

\'IIIII..........................................................

。一一U_一-L——，——-L——-1_一一——JL——亠一—_L——_L——_L_

AEEBgE

图1图2图3

【答案】见解析

【分析】根据相似三角形的定义作图即可.

【详解】解：如图2、3所示.

【点睛】本题主要考查作图-相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的概念，注意全等三角形是相似三角

形的特殊情形.

23.（本题8分）（2023秋•陕西西安•九年级校考开学考试）尺规作图：如图，已知」IBC,NBAC=2/B,

请用尺规作图的方法在BC上确定一点。，使得△ABCS4D4c.（保留作图痕迹，不写作法）.

【答案】作图见详解

【分析】根据相似三角形的判定方法，作/54C的角平分线即可.

【详解】解：如图所示，作N54C的角平分线交8C于点£）,

A

①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交A2,AC于点M,N,连接MN；

②分别以点〃，N为圆心，以大于为半径画弧交于点尸，连接AP交BC于点。，则AO即为/BAC的

角平分线；

,；NBAC=2/B,AD平分/3AC,

；./BAD=NDAC=/B,且NC=NC,

/.△ADCs^BAC,即△ABCs^DAC.

【点睛】本题主要考查角平分线的作图方法，相似三角形的判定方法，掌握以上知识是解题的关键.

24.(本题8分)(2022秋•福建福州•九年级校考期末)如图，已知A(T,2),8(-2,6),C(0,4)是直角坐标

系平面上三点.

⑴以原点。为位似中心，在第四象限内画出将ABC缩小为原来的一半后的与G；

Z

(2)画出ABC绕点C顺时针旋转90。后的△4BC2,并求出线段8C所扫过的图形面积.

【答案】(1)见解析

(2)见解析，线段BC所扫过的面积为2万

【分析】（1）根据位似的性质，得到Me各点在第四象限内的对应点A、耳、G,依次连接即可得到44用G；

（2）根据旋转的性质，得到ABC各点的对应点&、邑、c2；依次连接即可得到△4鸟q,根据坐标两点

的距离公式，求得BC=2虚，由旋转的性质可知，ZBCB2=90°,再利用扇形面积公式，即可求出线段BC

所扫过的图形面积.

【详解】（1）解：如图所示，△A4G即为所求；

（2）解：如图所示，△人da即为所求，

B（-2,6）,C（0,4）,

BC=J（-2-Op+（6-4）2=2屈,

由旋转的性质可知，/BCB?=90°,BC=B2C2=2y/2,

则线段BC所扫过的图形是圆心角为90°,半径为2灰的扇形，

所以，线段3c所扫过的面积为：905•生21=2兀，

360

即线段BC所扫过的面积为2%.

【点睛】本题考查了作图一一位似变换以及旋转的变换，坐标两点的距离公式，旋转的性质，扇形面积公

式，灵活运用相关知识解决问题是解题关键.

25.（本题8分）（2022秋•福建莆田•九年级校考开学考试）若ABC绕点A逆时针旋转。后，与VADE构

成位似图形，则我们称ABC与7ADE互为“旋转位似图形”.

如图①，ABC与VADE互为“旋转位似图形”.

①若a=25°,ZD=100°,NC=28°,则NBAE=_；

②若A£>=6,DE=1,AB=4,贝|3C=_；

(2)知识运用:

如图②，在四边形ABCD中，ZADC=90°,AE丄BD于点E,NDAC=NDBC,求证：ACD与二ABE互

为“旋转位似图形”；

(3)拓展提高：

如图③，ABC为等边三角形，点G为AC的中点，点尸是A3边上的一点，点。为GF延长线上的一点，

np

点E在线段GF上，AE1DG,且与“AGE互为“旋转位似图形”.若AB=6,4)=4,求一.

GE

【答案】(1)①27°；②?14

(2)见解析

⑶並

5

【分析】(1)①依据ABC和VADE互为''旋转位似图形”，可得依据相似三角形的对应

角相等，即可得到ZBAE=180°-100°-28°-25°=27°；

AD

②依据△ABCs^ADE,可得一=一,根据AD=6,DE=1,AB=4,即可得出BC=：

DEAD3

(2)依据.AO£)s_3oc,即可得到需=鬻，进而得到△AOBSAQOC,再根据NOC4=NEBA,

ZADC=ZAEB,即可得到△ABESA4CD,进而得出AC。和亠相“互为“旋转位似图形”;

(3)利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可.

【详解】(1)①；ABC和V4)E互为“旋转位似图形”，

-,^ABC^AADE,

.•.ZD=ZB=100°,

又二a=25。，ZC=ZE=28°,

/.ZBAE=180°-100°-25°-28°=27°；

②QVABCsVADE,

BCAB

DEAD

AD=6,DE=7,AB=4,

BC4

~T~6"

(2)ZDOA=ZCOBfZDAC=NDBC,

,DOA^COB,

AODOAOBO

——=——，即nn——=——，

BOCODOCO

又•.NDOC=ZAOB,

：.AAOB^ADOC,

：.ZDCA=ZEBA,

又•.ZADC=90°,AE1,BD,

:.ZADC=ZAEB=90。,

ABEs,ACD,

:"DAC=NEAB,

绕点A逆时针旋转，AAE的度数后与△ADC构成位似图形,

.、ACD和，ABE互为“旋转位似图形”；

(3)「点G为A