2022年中考数学备考复习：阅读理解问题（含解析）

2022年中考备考专题复习：阅读理解问题

一、单选题

1、(2016•岳阳)对于实数a,b,我们定义符号max{a,b}的意义为：当aeb时，max{a,b}=a；当aVb

时，max{a,b]=b,如：max{4,-2}=4,max{3,3}=3,若关于x的函数为y=max{x+3,-x+1},则该函数

的最小值是()

A、0

B、2

C、3

D、4

2、(2016•梅州)对于实数a、b,定义一种新运算“媪为：a®b=­这里等式右边是实数运算.例

a-b"

如：103=工、=一1•则方程x®(-2)=/-1的解是()

A、x=4

B、x=5

C、x=6

D、x=7

3、(2016•杭州)设a,b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=(a+b)2-(a-b)2,则下列结论：

①若a@b=0,则a=0或b=0

②a@(b+c)=a@b+a@c

③不存在实数a,b,满足a@b=a，5b2

④设a,b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大.

其中正确的是()

A、②③④

B、①③④

C、①②④

D、①②③

4、(2016•济南)定义：点A(x,y)为平面直角坐标系内的点，若满足x=y,则把点A叫做“平衡点”.例

如：M(1,1),N(-2,-2)都是“平衡点”.当-1WXW3时，直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的

取值范围是()

A、OWmWl

B、-3WmWl

C、-3WmW3

D、-IWmWO

二、填空题

5、(2016•黔西南州)阅读材料并解决问题：

求l+2+22+23+—+22014的值，令S=l+2+22+23+—+22014

等式两边同时乘以2,则2s=2+炉+23+…+2.4+2犯5

两式相减：得2S-S=22015-1

所以,S=22015-1

依据以上计算方法，计算1+3+32+33+-+32015=.

三、解答题

6、（2015•绥化）自学下面材料后，解答问题.

分母中含有未知数的不等式叫分式不等式.如：等.那么如何求出它们的解集呢？

<o

根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负.其字母表达式为：

（1）若a>0,b>0,则且>0；若aVO,b<0,则包>0；

bb

（2）若a>0,b<0,则口<0；若a<0,b>0,则R<0.

bb

反之：（1）若g>0,则或|°<0

•fe>0tfe<0

（2）&<0,则.

h

根据上述规律，求不等式1二>0的解集.

7、（2015•山西）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务.

斐波那契（约1170-1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按

照一定顺序排列着的一列数称为数列）.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实

际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有

很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.

斐波那契数列中的第n个数可以用/「（Xf）n-（里力表示（其中，n2l）.这是用无理数表示有理

数的一个范例.

任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.

8、先阅读下列材料，然后解答问题：

材料1从3张不同的卡片中选取2张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同元

2

素中选取2个元素的排列，排列数记为A3=3X2=6.

一般地，从n个不同元素中选取m个元素的排列数记作A1r,

m

An=n（n—1）（n—2）-"（n—m+1）（m^n）.

例：从5个不同元素中选3个元素排成一列的排列数为：A/=5X4X3=60.

材料2从3张不同的卡片中选取2张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个

元素的组合，组合数记为C-=M=3・

一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作C1r,

…I,、

&"=----~~(mWn).

例：从6个不同元素中选3个元素的组合数为：

C3=-6-“-5-47=20.

61

问：(1)从7个人中选取4人排成一排，有多少种不同的排法？

(2)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？

9、(2016•巴中)定义新运算：对于任意实数m、n都有nn^rnum'n+n,等式右边是常用的加法、减法、乘

法及乘方运算.例如：-3☆2=(-3)2X2+2=20.根据以上知识解决问题：若2号的值小于0,请判断

方程：2x2-bx+a=0的根的情况.

四、综合题

10、(2015•济宁)阅读材料：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，一叼=±==7，利用上述结论可以求解如下题

目：

在AABC中，/A、NB、/C的对边分别为a,b,c.若NA=45°,ZB=30°,a=6,求b.

解：在AABC中，11r-=3「.

cm月stnA「V-

理解应用：

如图，甲船以每小时30行海里的速度向正北方向航行，当甲船位于4处时，乙船位于甲船的北偏西105°

方向的&处，且乙船从氏处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达4时，乙船航行到

甲船的北偏西120。方向的氏处，此时两船相距10,海里.

(1)判断△AAB?的形状，并给出证明

(2)求乙船每小时航行多少海里？

11、(2015•北京)阅读下列材料：

2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低,

但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次.其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物

园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、

北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、

20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高.

2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量

比2013年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，2013年清明小长假增加了4.6万

人次；北京动物园游客接待量为22万人次.

2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9

万人次.

根据以上材料解答下列问题：(1)2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为万人次⑵选

择统计表或统计图，将2013-2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出

来.

12、(2015•遂宁)阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题.

x++

计算：(1---4x(44+44)--4-4-4444)-

令十+」+!=t,则

原式二(1-t)(t+[)-t

=t+4-t2-4t-4t+t2

q

问题：

(1)计算

(i一m…一/)x@+gqT+…+4+强)---•--3SL-

会)x(-L^4+'"+^0U)；

⑵解方程(X2+5X+1)(X2+5X+7)=7.

13、(2015•张家界)阅读下列材料，并解决相关的问题.

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为为,依此类推，排在第n位

的数称为第n项，记为an.

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(qWO).如：数列1,3,9,27,…为等比数歹U，

其中a『l,公比为q=3.(1)等比数列3,6,12,…的公比q为,第4项是⑵如果一

个数列为,a,a,a,…是等比数列，且公比为q,那么根据定义可得到：&=q,7=q,幻,…

234a,

YOn-Q.

223

e

所以：a^a/q,a3=a2q=(ajq)•q=a1>q,a4=a3*q=(a/q)•q=a1*q,…

由此可得：a;（用为和q的代数式表示）.（3）若一等比数列的公比q=2,第2项是10,请求它

的第1项与第4项.

14、（2015•珠海）阅读材料：善于思考的小军在解方程组,_时，采用了一种“整体代换”的

[4x+ll产5②

解法：

解：将方程②变形：4x+10y+y=5即2（2x+5y）+y=5③

把方程①带入③得：2*3+y=5,y=-1

把y=-l代入①得x=4,...方程组的解为।.

IVs-1

请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组一；（2）已知x,y满足方程组

3x-2y=5①

9x-4y=19②

3x2-2xy+l2y2=47①

,2x2+xy+8y2=36（2）

（i）求x'+dy"的值；

（ii）求；+]的值.

15、（2015•凉山州）阅读理解

材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两

边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.梯形的中位线具有以下性质：

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

如图（1）：在梯形ABCD中：AD〃BC

VE>F是AB、CD的中点

；.EF〃AD〃BC

EF=4（AD+BC）

材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边

如图（2）：在AABC中：

是AB的中点,EF〃BC

；.F是AC的中点

如图（3）在梯形ABCD中，AD/7BC,AC_LBD于0,E、F分别为AB、CD的中点，ZDBC=30°

请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题.

⑴求证:EF=AC；

⑵若（©=汇，0C=5,求MN的长.

16、（2016•德州）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

⑴如图1,四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.

求证：中点四边形EFGH是平行四边形；

⑵如图2,点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,/APB=/CPD,点E,F,G,H分别为边AB,

BC,CD,DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

⑶若改变（2）中的条件，使/APB=/CPD=90°,其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状.（不

必证明）

17、（2016•济宁）已知点P（x。，y。）和直线y=kx+b,则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d=..，「.一"

r"•■,二

山十

计算.

例如：求点P（-L2）到直线y=3x+7的距离.

解：因为直线y=3x+7,其中k=3,b=7.

所以点P（-1,2）到直线y-3x+7的距禺为：d-,,==2=,

根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P（1,-1）到直线y=x-1的距离；（2）已知。Q的圆心Q坐标为

（0,5）,半径r为2,判断。Q与直线y=x+9的位置关系并说明理由；（3）已知直线y=-2x+4与y=

-2x-6平行，求这两条直线之间的距离.

18、（2016•台州）定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形.

⑴三等角四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC,求NA的取值范围；

（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF,使顶点E,F分别落在边BE,BF上的点A,C处，折痕分别为DG,

DH.求证：四边形ABCD是三等角四边形.

（3）三等角四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC,若CB=CD=4,则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是

多少？并求此时对角线AC的长.

19、（2016•舟山）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

⑴概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；

⑵问题探究；

如图1,在等邻角四边形ABCD中，ZDAB=ZABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,BD,

试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；

（3）应用拓展；

如图2,在RtZiABC与RtZ\ABD中,ZC=ZD=90°,BC=BD=3,AB=5,将RtZ\ABD绕着点A顺时针旋转角a

（0°<Za<ZBAC）得到RtZXAB'D，（如图3）,当凸四边形AD'BC为等邻角四边形时，求出它的面

积.

20、（2016•北京）阅读下列材料：

北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、

科技北京、绿色北京”的发展战略.“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大

的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业.

2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%.2012年，北京市文化

创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%,是第三产业中

仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业.2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比

上年增长9.1%,文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位.2014年，北京市文化创意产业实

现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%,创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体

平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%.

根据以上材料解答下列问题：（1）用折线图将2011-2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并

在图中标明相应数据；（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值

约亿元，你的预估理由.

21、（2016•铜仁市）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：

sin（a±B）=sinacosB±cosasinB

tan（a±B）=讪狂诂邛

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.

例：tan75。=tan（45。+30。）=由如而

Ftan4^tan300

Jl«

根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题

⑴计算：sinl50;（2）某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军

战士.李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度.已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测

得纪念碑碑顶的仰角为75°,DC为4米，请你帮助李三求出纪念碑的高度.

22、（2016•大连）阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1,AABC中，AB=AC,点D在BC边上，ZDAB=ZABD,BE±AD,垂足为E,

求证：BC=2AE.

小明经探究发现，过点A作AFLBC,垂足为F,得到NAFB=NBEA,从而可证△ABFgABAE（如图2）,使

问题得到解决.

AA

（1）根据阅读材料回答:ZXABF与4BAE全等的条件是AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”

中的一个）

参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

⑵如图3,△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且

ZCDF=ZEAC,若CF=2,求AB的长；

⑶如图4,ZkABC中，AB=AC,ZBAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0<k<£）,

ZAED=ZBCD,求或的值（用含k的式子表示）.

答案解析部分

一、单选题

1、【答案】B

【考点】分段函数

【解析】【解答】解：当x+32-x+1,

即：x2-1时，y=x+3,

・••当x=-l时，ymin=2,

当x+3<-x+1,

即：xV-1时，y=-x+1,

Vx<-1,

-x>l,

-x+l>2,

Ay>2,

••Ymin-2,

故选B

【分析】分x2-1和xV-1两种情况进行讨论计算，此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的

关键是分段.

2、【答案】B

【考点】分式方程的解，定义新运算

【解析】【解答】解：根据题意，得-L=上-1,

r-4r-4

去分母得：1=2-(x-4),

解得：x=5,

经检验x=5是分式方程的解.

故选B.

【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可.此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解

本题的关键.

3、【答案】C

【考点】整式的混合运算，因式分解的应用，二次函数的最值

【解析】【解答】解：①根据题意得：a@b=(a+b)2-(a-b)2

2-2

(a+b)(a-b)-0,

整理得：(a+b+a-b)(a+b-a+b)=0,即4ab=0,

解得：a=0或b=0,正确；

(2)a©(b+c)=(a+b+c)2-(a-b-c)2=4ab+4ac

a@b+a@c=(a+b)2-(a-b)，(a+c)2-(a-c)2=4ab+4ac,

/.a©(b+c)=a@b+a@c正确；

③a@b=a?+5b2，a@b=(a+b)2-(a-b)2，

令a'+SbJ(a+b)2-(a-b)2,

解得,a=0,b=0,故错误;

④a@b=(a+b)2-(a-b)2=4ab,

(a-b),NO,贝!]a?-2ab+b峰0,即a2+b2^2ab,

a2+b2+2ab24ab,

/.4ab的最大值是a2+b2+2ab,此时a2+b2+2ab=4ab,

解得,a=b,

；.a@b最大时,a=b,故④正确，

故选C.

【分析】根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确,

从而可以得到哪个选项是正确的.本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的

关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

4、【答案】B

【考点】一元一次不等式组的应用

【解析】【解答】解：：x=y,

/.x=2x+m,即x=-m.

；-1WXW3,

-1W-mW3,

-3WmWl.

故选B.

【分析】根据x=y,-1WXW3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可.本题考查的是一次函数

图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键.

二、填空题

*161

5、【答案：

【考点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：4S=1+3+32+33+-+32015

等式两边同时乘以3得：3s=3+32+3,…+3加6.

两式相减得：2s=32016-1.

<0161

所以S=2^1

【分析】令s=l+3+3,33+…+3加5,然后再等式的两边同时乘以2,接下来，依据材料中的方程进行计算

即可.本题主要考查的是数字的变化规律，依据材料找出解决问题的方法和步骤是解题的关键.

三、解答题

6、【答案】解:⑵若0<0，则或g.二;

lb<：：0>b>0

故答案为：1010或「门《：0；

1力<0*>0

由上述规律可知，不等式转化为।>'0或।\-二=：0，

h1>0।、十1<0

所以，x>2或xV-1.

【考点】一元一次不等式组的应用

【解析】【分析】根据两数相除，异号得负解答；先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一

元一次不等式组的解法求解即可.

7、【答案】【解答】解：第1个数，当n=l时,

尸-（上力

个数，当n=2时，

：（里J一里力

[（啰）2-（更）2]

x（Hj^+h/5）（.邛）

X1X./7

【考点】二次根式的应用

【解析】【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可.

8、【答案】解：⑴A7，=7><6X5X4=840（种）.

⑵。；=三*=56（种）

【考点】探索数与式的规律

【解析】【分析】探索数与式的规律。

9、【答案】解：：2^a的值小于0,

22a+a=5a<0,解得：a<0.

在方程2x2-bx+a=0中，

△=（-b）z-8a2-8a>0,

，方程2x2-bx+a=0有两个不相等的实数根

【考点】根的判别式

【解析】【分析】根据2^a的值小于0结合新运算可得出关于a的一元一次不等式，解不等式可得出a

的取值范围，再由根的判别式得出△=（-b）2-8a,结合a的取值范围即可得知△的正负，由此即可得出

结论.本题考查了根的判别式以及新运算，解题的关键是找出△>（）.本题属于基础题，难度不大，解决

该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键.

四、综合题

10、【答案】（1）解：△AiAB是等边三角形，理由如下:

连结A1B2.

•.•甲船以每小时30〃海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2

...AIA2=30J7X[=10，E，

又：A2B2=10j5，ZAIA2B2=60°,

...△A也B2是等边三角形

(2)解：如图，：BiN〃A曲,

；.NABN=180°-ZBiAiAel80°-105°=75°,

：.ZAIBIB2=759-15°=60°.

「△AiAzBz是等边三角形，

ZA2AIB2=60°,AIB2=AIA2=10，\

；.NBAB2=105°-60°=45°.

在△BAB?中，：AiB2=10y〈，ZBIAIB2=105°-60°=45°,ZA2AIB2=60°,

由阅读材料可知,

•nnJ-1116f'1

解得B1B2二

所以乙船每小时航行：1呼+4=2oJ7海里・

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【解答】(1)先根据路程=速度X时间求出AIA2=3OJFXJ=1O6，又A2B2E0B，ZA1A2B2=60°,

根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出4A也B?是等边三角形；

(2)先由平行线的性质及方向角的定义求出/A&B?=75°-15°=60°,由等边三角形的性质得出/

0^2=60°,AMAIA2=10,万，那么NBiAB=105°-60°=45°.然后在△BAB?中，根据阅读材料可知,

且空=1之，求出BB的距离，再由时间求出乙船航行的速度.

end孕,tni6CP

【分析】此题考查了解直角三角形中方向角的问题，涉及知识点有等边三角形判定与性质，平行线性质,

三角函数的应用等.

11、【答案】（1）40

（2）2013年颐和园的游客接待量是：26.2-4.6=21.6（万元）.

【考点】统计表，条形统计图

【解析】【解答】（1）2014年，玉渊潭公园的游客接待量是：32X（1+25%）=40（万人）.

故答案是：40；

（2）2013年颐和园的游客接待量是：26.2-4.6=21.6（万元）.

【分析】（1）2013年的人数乘以（1+25%）即可求解；

（2）求出2014年颐和园的游客接待量，然后利用统计表即可表示.

12、【答案】（1）解：设，+（+…+「0、4=t,

则原式=（i-t）x（t+画%）-（1-1----气）Xt

工+忐-"忐一t+自Jt

_1

2015'

（2）解：设x"5x+l=t,

则原方程化为：t（t+6）=7,

t2+6t-7=0,

解得：t=-7或1,

当t=l时，X2+5X+1=1,

X2+5X=0,

x（x+5）=0,

x=0,x+5=0,

XFO,X2=-5；

当t=-7时，X2+5X+1=-7,

X2+5X+8=0,

b2-4ac=52-4XlX8<0,

此时方程无解；

即原方程的解为：Xi=0,x2=-5.

【考点】有理数的混合运算，换元法解分式方程

【解析】【分析】（1）设1+）+…+二q-t,则原式=（l-t）X（t+-7^）-（l-t-丁百）Xt,

进行计算即可；

（2）设（+5x+l=t,则原方程化为：t（t+6）=7,求出t的值，再解一元二次方程即可.

13、【答案】（1）2；24

/八、n-1

（2）a/q

（3）解：・・,等比数列的公比q=2,第二项为10,

「•心二二5,ajajq=5X2=40.

方

【考点】探索数与式的规律

【解析】【分析】(1)由第二项除以第一项求出公比q的值，确定出第4项即可;

(2)根据题中的定义归纳总结得到通项公式即可；

(3)由公比q与第二项的值求出第一项的值，进而确定出第4项的值.

14、【答案】(1)【解答】解：把方程②变形：3(3x-2y)+2y=19③，

把①代入③得：15+2y=19,即y=2,

把y=2代入①得：x=3,

则方程组的解为।;

Iv32

(2)【解答】

(i)由①得：3(x2+4y2)=47+2xy,即③，

把③代入②得：2X47+1VV=36-xy,

解得：xy=2,

29

则x+4y=17；

(ii)Vx+4y=17,

222

(x+2y)=x+4y+4xy=17+8=25,

x+2y=5或x+2y=-5,

则1+J_=x+2广土工•

¥万W%

【考点】解二元一次方程组

【解析】【分析】(1)模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可;

(2)方程组整理后，模仿小军的“整体代换”法，求出所求式子的值即可.

15、【答案】(1)证明：：AD〃BC,

/.ZAD0=ZDBC=30",

.•.在RtZ\A0D和RtABOC中，OA=-AD,0C=4BC,

.\AC=0A+0C=4(AD+BC),

,/EF=-(AD+BC),

.\AC=EF；

(2)解：VAD#BC,

/.ZAD0=ZDBC=30",

.•.在RtZkAOD和RtABOC中，OA」AD,OC=-BC,

V0D=；^3，0C=5,

.\0A=3,

VAD//EF,

AZAD0=Z0MN=30°,

/.ON=-MN,

,.,AN=-AC=4(OA+OC)=4,

；.ON=AN-0A=4-3=1,

/.MN=20N=2.

【考点】含30度角的直角三角形，梯形中位线定理

【解析】【分析】(1)由直角三角形中30。的锐角所对的直角边是斜边的一半，可得OA=1AD,OC4BC,

即可证明；

(2)直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，得出0A=3,利用平行线得出0N=1MN,再根

据AN=1AC=4,得出0N=4-3=l,进而得出MN的值.

16、【答案】(1)证明：如图1中，

图1

连接BD.

;点E,H分别为边AB,DA的中点,

.".EH//BD,EH=-BD,

;点F,G分别为边BC,CD的中点,

；.FG〃BD,FG=《BD,

；.EH〃FG,EH=GF,

中点四边形EFGH是平行四边形

(2)四边形EFGH是菱形.

证明：如图2中，连接AC,BD.

图2

"?ZAPB=ZCPD,

ZAPB+ZAPD=ZCPD+ZAPD

即NAPC=/BPD,

在AAPC和ABPD中，

lAP=PB

lz.APC=ABPD

|p(?=PD

.,.△APC^ABPD,

/.AC=BD

••,点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点，

11

.\EF=-7AC,FG=-7BD,

•.•四边形EFGH是平行四边形，

四边形EFGH是菱形.

(3)解：四边形EFGH是正方形.证明：如图2中,

设AC与BD交于点0.AC与PD交于点M,AC与EH交于点N.

VAAPC^ABPD,

.\ZACP=ZBDP,

VZDM0=ZCMP,

/.ZC0D=ZCPD=90°,

：EH〃BD,AC〃HG,

ZEHG=ZEN0=ZB0C=ZD0C=90°,

•.•四边形EFGH是菱形，

四边形EFGH是正方形.

【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质

【解析】【分析】（1）如图1中，连接BD,根据三角形中位线定理只要证明EH〃FG,EH=FG即可.（2）

四边形EFGH是菱形.先证明AAPC0Z\BPD,得到AC=BD,再证明EF=FG即可.（3）四边形EFGH是正方形，

只要证明NEHG=90°,利用△APC会ZkBPD,得/ACP=/BDP,即可证明/C0D=/CPD=90°,再根据平行线

的性质即可证明.本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正

方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常

考题型.

17、【答案】（1）解：因为直线y=x-l,其中k=l,b=-1,

所以点P（1,-1）到直线y=x-1的距离为：d=屁$

,1•"•43«1"H皙』='=Q

向0T

（2）解：OQ与直线y：x+9的位置关系为相切.

理由如下：

圆心Q（0,5）到直线y=x+9的距离为：d二

而。0的半径r为2,即d=r,

所以。Q与直线y=4x+9相切

（3）解：当x=0时，y=-2x+4=4,即点（0,4）在直线y=-2x+4,

因为点（0,4）到直线y=-2x-6的距离为：d=10=2

加后

因为直线y=-2x+4与y=-2x-6平行,

所以这两条直线之间的距离为2后

【考点】一次函数的图象，切线的性质，一次函数的性质

【解析】【分析】（1）根据点P到直线y=kx+b的距离公式直接计算即可；（2）先利用点到直线的距离

公式计算出圆心Q到直线y=4x+9,然后根据切线的判定方法可判断。Q与直线y=厂x+9相切;(3)

利用两平行线间的距离定义，在直线y=-2x+4上任意取一点，然后计算这个点到直线y=-2x-6的距离

即可.本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、切线的判定方法和两平行

线间的距离的定义；提高阅读理解能力.

18、【答案】（1）解：：/A=NB=/C,

/.3ZA+ZADC=360

ZADC=360°-3ZA.

V0<ZADC<180°,

.,.0°<360°-3ZA<180°,

.,.60°<ZA<120°；

(2)证明：•.,四边形DEBF为平行四边形，

ZE=ZF,且/E+/EBF=180°.

VDE=DA,DF=DC,

.\ZE=ZDAE=ZF=ZDCF,

VZDAE+ZDAB=180°,ZDCF+ZDCB=180°,ZE+ZEBF=180°,

.\ZDAB=ZDCB=ZABC,

.,•四边形ABCD是三等角四边形

(3)①当60°<ZA<90°时，如图1,

c

过点D作DF〃AB,DE〃BC,

・•・四边形BEDF是平行四边形，ZDFC=ZB=ZDEA,

AEB=DF,DE=FB,

VZA=ZB=ZC,NDFC二NB=NDEA,

AADAE^ADCF,AD=DE,DC=DF=4,

设AD=x,AB=y,

AAE=y-4,CF=4-x,

VADAE^ADCF,

•厂41

•-4^=4)

y=[X2+X+4=-J-(x-2)2+5,

.•.当x=2时，y的最大值是5,

即：当AD=2时，AB的最大值为5,

②当NA=90°时，三等角四边形是正方形,

/.AD=AB=CD=4,

③当90。<ZA<120°时，/D为锐角，如图2,

VAE=4-AB>0,

/.AB<4,

综上所述，当AD=2时，AB的长最大，最大值是5；

此时，AE=1,如图3,

c

o

ANE图3MB

过点C作CM_LAB于M,DN±AB,

VDA=DE,DN±AB,

.\AN=1AE=2，

,/ZDAN=ZCBM,ZDNA=ZCMB=90°,

AADAN^ACBM,

;.AM=4,CM=Jsc，-利£=任，

••AC=胸"+，；M=J16+15=同

【考点】勾股定理，平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）根据四边形的内角和是360。，确定出NA的范围；（2）由四边形DEBF为平行四

边形，得到NE=NF,且NE+NEBF=180°,再根据等角的补角相等，判断出NDAB=NDCB=/ABC,即可；

（3）分三种情况分别讨论计算AB的长，从而得出当AD=2时，AB最长，最后计算出对角线AC的长.此题

是四边形综合题，主要考查了四边形的内角和是360。，平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形

的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是分类画出图形，也是解本题的难点.

19、【答案】（1）矩形或正方形

（2）解:AC=BD,理由为：

连接PD,PC,如图1所示：

：PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线,

；.PA=PD,PC=PB,

ZPAD=ZPDA,ZPBC=ZPCB,

AZDPB=2ZPAD,ZAPC=2ZPBC,即NPAD=NPBC,

ZAPC=ZDPB,

/.△APC^ADPB(SAS),

，AC=BD；

(3)解:分两种情况考虑：

(i)当/AD'B=/D'BC时，延长AD',CB交于点E,

如图3(i)所示，

.\ZED/B=ZEBD/,

.*.EB=ED/,

设EB=ED'=x,

由勾股定理得：42+(3+x)2=(4+x)2

解得：x=4.5,

过点D'作D'FJ_CE于F,

Z.D,F〃AC,

.♦.△ED'F^AEAC,

•FF_醛pn»F45

解得：D'F=招,

.\SAACE=』ACXEC=J-X4X(3+4.5)=15；SABED'=』BEXD'F=—X4.5X36.81

17T7

贝！IS四边形ACBV=SAACE-SABED'=15--y-T=10-pT；

(ii)当ND'BC=ZACB=90°时，过点D'作D'E_LAC于点E,

如图3(ii)所示，

四边形ECBD'是矩形，

AED7=BC=3,

在RtZiAED'中，根据勾股定理得：AE=正_§=",

.\SAAED,=[AEXED'=4><J?X3=,S矩形.。，=CEXCB=(4-行

X3=12-3

=;

则s四边形ACBD'SAAED+S矩形ECBD'=＞飞+12-3J7=12-、，.

【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）AC=BD,理由为：连

接PD,PC,如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得

到两对角相等，进而确定出/APC=/DPB,利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形

对应边相等即可得证；（3）分两种情况考虑：（i）当/AD'B=ZD,BC时，延长AD，,CB交于点E,如

图3（i）所示，由S四边形KB〉=SAACLSABED，，求出四边形ACBD'面积；（ii）当BC=/ACB=90°时，

=,

过点D'作D'EJ_AC于点E,如图3（ii）所示，由S四边形ACBD'SAAED+S矩形ECBD',求出四边形ACBD'面

积即可.此题属于几何变换综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，

垂直平分线定理，等腰三角形性质，以及矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键.

20、【答案】（1）解：（1）2011-2015年北京市文化创意产业实现增加值如图所示，

（2）3471.7；用近3年的平均增长率估计2016年的增长率

【考点】用样本估计总体，折线统计图

【解析】【解答】（2）解：设2013到2015的平均增长率为x,

2

则2406.7（1+x）=3072.3,

解得x-13%,

用近3年的平均增长率估计2016年的增长率，

2016年的增长率为3072.3X（1+13%）^3471.7亿元.

故答案分别为3471.7,用近3年的平均增长率估计2016年的增长率.

【分析】本题考查折线图、样本估计总体的思想，解题的关键是用近3年的平均增长率估计2016年的增

长率，属于中考常考题型.（1）画出2011-2015的北京市文化创意产业实现增加值折线图即可.（2）

设2013到2015的平均增长率为x,列出方程求出x,用近3年的平均增长率估计2016年的增长率即可解

决问题.

21、【答案】（1）解：sinl5°=sin（45