苏科版八年级数学下册题型突破提高类型八、反比例函数与等腰直角三角形结合(原卷版+解析)

类型八、反比例函数与等腰直角三角形结合【解惑】如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的函数图象表达式为_________．方法：“k”型全等——1.过直角定点作平行于x轴或y轴的直线；2.再过两个锐角顶点作垂直即可；3.利用全等等量转化求值。【融会贯通】1．如图所示，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，与交于点，若点的横坐标为，则的值为（）A．4 B．6 C．8 D．22．如图所示，点是x轴正半轴上一点，以为斜边作等腰，直角顶点A在第一象限．反比例函数图象交于点C，交于D，若，求_______．3．如图，已知在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点A，经过点B的反比例函数的图象交边于点，连接，．若点是中点，的面积为1，则的值是______．【知不足】1.如图，和都是等腰直角三角形，过点作交反比例函数于点过点作于点若则的值为___________．2．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是______．3．点A、B在反比例函数的图象上，下列说法正确的是______．①点在直线上，存在等腰，且．②存在第三象限内的点，使得为等腰直角三角形，且．③点，点在直线上，存在两个等腰，且．④点在直线上，若点A、B的横坐标均小于2，则不存在等腰，且4．如图，函数的图象过点和两点．(1)求n和k的值；(2)将直线沿x轴向左移动得直线，交x轴于点D，交y轴于点E，交于点C，若，求直线解析式；(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【一览众山小】1．如图，在平面直角坐标系中，点，以点为顶点作等腰直角三角形，双曲线在第一象限内的图象经过点．设直线的表达式为，回答下列问题：(1)求双曲线和直线的表达式；(2)当时，求的取值范围；(3)求的面积．2.如图，双曲线图像经过点，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图像上运动．(1)求的值和这个双曲线的解析式；(2)求点所在函数的解析式．3．如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形．(1)在y轴正半轴取一点E，使得是一个等腰直角三角形，与交于M，已知，求．(2)若等边的边长为6，点C在边上，点D在边上，且．反比例函数的图象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）4．如图1，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点，连接．(1)___________，___________．(2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，C是线段上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接，，．若四边形的面积为3，求点C的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交反比例函数的图象于点，点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为，轴交直线于点F，D是y轴上任意一点，连接，．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)当t为何值时，是以为斜边的等腰直角三角形．【温故为师】1.如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，为坐标原点，以为斜边构造等腰，反比例函数（）的图象经过点A，交于点，连接，若，轴，，则的值为______．2.如图，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到对应线段，反比例函数的图像恰好经过，两点，连接，．(1)，；(2)求反比例函数的表达式；(3)点在轴正半轴上，点是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标．3．【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离．【应用】（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是；（2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是，点O与双曲线之间的距离是；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南−西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？4．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点B的坐标为，点A在y轴正半轴上，将沿y轴向下平移得到，点B的对应点E恰好在反比例函数的图象上．(1)求m的值；(2)求平移的距离；(3)点P是x轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标及的周长．5．如图所示，反比例函数y（m≠0）的图象与一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象交于A（2，a＋2）、B（a﹣10，﹣1）两点，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D．(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若P（t，0）（t≠2）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设MN的长为d，求出d与t之间的函数关系式；(3)在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．【模型建立】（1）如图一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于D，过点B作BE⊥ED于E．求证：AD＝CE．【模型应用】（2）如图二，直线l1：y＝x＋4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°得到直线l2，求直线l2的函数表达式；【拓展探究】（3）如图三，一次函数的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数的图象上，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值．7．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，．(1)求反比例函数的表达式；(2)连接，，，求的面积；(3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．类型八、反比例函数与等腰直角三角形结合【解惑】如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的函数图象表达式为_________．方法：“k”型全等——1.过直角定点作平行于x轴或y轴的直线；2.再过两个锐角顶点作垂直即可；3.利用全等等量转化求值。【融会贯通】1．如图所示，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，与交于点，若点的横坐标为，则的值为（）A．4 B．6 C．8 D．2【答案】C【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，，∴，∴，即，∵点P是反比例函数的图象与的交点，且点的横坐标为，∴，∴∴反比例函数解析式为，由题意得，点B的横坐标为，纵坐标为，∴，∴，∵，∴，2．如图所示，点是x轴正半轴上一点，以为斜边作等腰，直角顶点A在第一象限．反比例函数图象交于点C，交于D，若，求_______．【答案】【详解】解：作于点N，作于点H，作于点G，作于点K，连接，如图，∵是等腰直角三角形，且，∴、、都是等腰直角三角形，∵，∴，∴，设，∴，∵，∴，即，解得(舍去)或，∴，∴点C的坐标为，∵反比例函数图象经过点C，∴．3．如图，已知在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点A，经过点B的反比例函数的图象交边于点，连接，．若点是中点，的面积为1，则的值是______．【答案】【详解】解：∵轴于点A，点B和点在反比例函数的图象上，设，则，，∴．∵是等腰直角三角形，∴．∵点是中点，∴．过点C作AB的垂线交OB于点E，垂足为F，如图所示，∴F为AB的中点，且，∴，，∴，化简得．又∵，化简得，将代入得到，解得．【知不足】1.如图，和都是等腰直角三角形，过点作交反比例函数于点过点作于点若则的值为___________．【答案】6【详解】过A点作AM⊥y轴于点M，如图，结合AC⊥BD，△BOD是等腰直角三角形，可得四边形AMDC是矩形，即有MD=AC，AM=DC，设A点坐标为(m,n)，∵A点在反比例函数上，∴，即，∵△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，AC⊥BD，∴∠ACB=90°=∠BDO，AC⊥x轴，∴AC=BC，DO=BD，∵A点坐标为(m,n)，∴OM=n，DC=m，∴DO=OM-OD=n-AC，∴DO+AC=n，DO-AC=BD-BC=DC=m，∵△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，∠ACB=90°=∠BDO，∴，，∵，∴，，∴，∵DO-AC=m，DO+AC=n，∴，∵，∴，2．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是______．【答案】【详解】解：如图，过作轴于，交于．轴，，是等腰直角三角形，，设，则，设，则，，，在反比例函数的图象上，，解得，，，，，．3．点A、B在反比例函数的图象上，下列说法正确的是______．①点在直线上，存在等腰，且．②存在第三象限内的点，使得为等腰直角三角形，且．③点，点在直线上，存在两个等腰，且．④点在直线上，若点A、B的横坐标均小于2，则不存在等腰，且【答案】①③##③①【详解】解：①当点C的坐标为，点A，点B的坐标分别为时，则，∴，即此时是等腰直角三角形且，故①正确；②如图1所示，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴不存在第三象限内的点，使得为等腰直角三角形，且，故②错误；③当点A在B点上方，且时，如图2所示，过点A作直线轴，过点B作于D，过点C作于E，∴，，∴，又∵，∴，∴，设，∴，∴点C的坐标为，又∵点C在直线上，∴，∴，又∵点A在反比例函数上，∴，∴此种情况不成立；当点A在B点上方，且时，如图3所示，过点B作直线轴，过点A作于D，过点C作于E，同理可证，∴，设，∴，∴点C的坐标为，又∵点C在直线上，∴，∴，又∵点A在反比例函数上，∴，∴，∴，解得（负值舍去），∴此种情况成立；同理由反比例函数的对称性可知，当点A在点B下方时，同样存在一种情况满足点，点在直线上，等腰，且，故③正确；④如图4所示，取点A，过点A作直线轴，过点B作于E，过点C作于D，设，同理可证，∴，∴点C的坐标为，∵点C在直线上，∴，∴，∵点B在反比例函数上，∴，∴，解得（负值舍去），∵，∴，∴此时满足A、B横坐标都小于2，但是存在等腰，且，故④错误；故答案为：①③．4．如图，函数的图象过点和两点．(1)求n和k的值；(2)将直线沿x轴向左移动得直线，交x轴于点D，交y轴于点E，交于点C，若，求直线解析式；(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)，【详解】（1）解：函数的图像过点和两点，，解得，（2）解：，，直线OA的解析式为：，过点C作轴于点G，交直线于点H，设，，，，或（不符合题意舍去），，设直线的解析式为：，点C在直线上，，即，直线的解析式为：；（3），解：∵直线的解析式为：，当时，，∴，当时，，∴，根据题意，分两种情况进行讨论：①以为直角边，D为直角顶点；如图，过做轴于点K，可知：，，，又，，又，，，故点D到点的平移规律是：D向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标，，且F在第二象限，即；②以为直角边，E为直角顶点；同①理，将E点向左移3个单位，向上移6个单位得点F坐标，得．综上所述：点或【一览众山小】1．如图，在平面直角坐标系中，点，以点为顶点作等腰直角三角形，双曲线在第一象限内的图象经过点．设直线的表达式为，回答下列问题：(1)求双曲线和直线的表达式；(2)当时，求的取值范围；(3)求的面积．【答案】(1)，(2)或(3)5【详解】（1）解：为等腰直角三角形，，．绕点旋转得到，点的坐标为，点的坐标．双曲线在第一象限内的图象经过点．．，将，代入直线的解析式得，解得，直线的解析式为．（2）解：由，解得或，，当时，双曲线位于直线的上方，的取值范围是：或．（3）解：令，则，，．2.如图，双曲线图像经过点，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图像上运动．(1)求的值和这个双曲线的解析式；(2)求点所在函数的解析式．【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图像上，∴，∴反比例函数的解析式为：；（2）解：连接，作轴于，轴于，如图所示：设点坐标为，∵点、点是正比例函数图像与双曲线的交点，∴点与点关于原点对称，∴，∵为等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴点坐标为，∵，∴点在反比例函数图像上，∴点所在函数的解析式为．3．如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形．(1)在y轴正半轴取一点E，使得是一个等腰直角三角形，与交于M，已知，求．(2)若等边的边长为6，点C在边上，点D在边上，且．反比例函数的图象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）【答案】(1)；(2)．【详解】（1）解：如图，过M作轴交x轴于点H，设，∵，是等腰直角三角形，∴，，∴也是等腰直角三角形，即，∵，∴，解得：，又∵是等边三角形，∴，∴，∴，在中，，即，解得：，（舍），∴；（2）解：如图，过C作轴交x轴于点F，过D作轴交x轴于点G，设，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴，，∵点C和点D在上，∴，解得：，∴反比例函数解析式为．4．如图1，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点，连接．(1)___________，___________．(2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，C是线段上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接，，．若四边形的面积为3，求点C的坐标．【答案】(1)1，(2)或(3)【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图像上，∴，即．∵一次函数的图像过点，∴，解得．（2）解：存在．理由如下：若是以为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论：①当点O为直角顶点时，如图，过点O作且，分别过点B、作y轴的垂线，垂足分别为E、F，∴，，∴，又∵，∴，∴，，∴②当点B为直角顶点时，如图，过点B作，且，连接，∴四边形是正方形，∴，，∴．综上，点P的坐标为或．（3）解：∵点C在线段AB上（不与点A，B重合），∴设点，则点，则，解得，（舍去），5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交反比例函数的图象于点，点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为，轴交直线于点F，D是y轴上任意一点，连接，．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)当t为何值时，是以为斜边的等腰直角三角形．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：把点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得：，∴一次函数表达式为：；把点C的坐标代入上式得：，故点C的坐标为，将点C的坐标代入反比例函数表达式得：，∴反比例函数表达式为；（2）解：∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴为直角，过点D作于点H，如下图所示：设点E的坐标为，则点，∵为等腰直角三角形，，∴，∴，解得（舍去），．【温故为师】1.如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，为坐标原点，以为斜边构造等腰，反比例函数（）的图象经过点A，交于点，连接，若，轴，，则的值为______．【答案】27【详解】解：如图，过点A作于，过点作于，作于，过点作于，，，即．设，反比例函数的图象经过点A，．，，，四边形是矩形，，，，．是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，，，，．设，则，，，，，．轴，，，，四边形是矩形，，，，，，解得：，．2.如图，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到对应线段，反比例函数的图像恰好经过，两点，连接，．(1)，；(2)求反比例函数的表达式；(3)点在轴正半轴上，点是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标．【答案】(1)；(2)(3)或【详解】（1）将点代入，得，，直线的解析式为，将代入，得，（2）由（）知，，，由平移可得：设点，．将点，分别代入，得反比例函数的解析式为（3）①当、时，如图2，过点作直线轴，交轴于点．过点作于点，交轴于点．过点作于点设点（其中），则，．，．于点E，，．，，，，，，．将代入，得，点；②当、时，如图3，过点作直线轴与点，则．过点作轴于点，交直线与点E，则于点，．，．于点，，．又，，，，．设，则，，点．将点代入，得．解得，，，点综合①②可知：点M的坐标为或．3．【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离．【应用】（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是；（2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是，点O与双曲线之间的距离是；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南−西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？【答案】（1）；（2），；（3）80米【详解】解：（1）如图，过点D作于点H，∵，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴；（2）把代入中，得：，∴，把代入，得：，∴，∴双曲线的解析式为，联立，得：，即，解得：，，∴，∴；如图，作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，则，整理得：，∴，∴或（不符合题意，舍去），∴直线的解析式为，由，解得：，∴，∴；（3）如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，则，∵直线平分第二、四象限角，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，代入，得，解得：，∴，联立得：，解得：或，∴，，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米．4．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点B的坐标为，点A在y轴正半轴上，将沿y轴向下平移得到，点B的对应点E恰好在反比例函数的图象上．(1)求m的值；(2)求平移的距离；(3)点P是x轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标及的周长．【答案】(1)；(2)5个单位长度；(3)，【详解】（1）解：过点作轴于点，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∵点B的坐标为，∴，即：；（2）解：将沿y轴向下平移得到，点B的对应点为E，∴点横坐标为，设，∵点E在反比例函数的图象上，∴，∴，∴；∴平移的距离为：；（3）解：∵的周长，为定长，∴当的值最小时，的周长最小，作点关于轴的对称点，，当且仅当三点共线时，的值最小，连接，与轴的交点即为点，如图，则：，根据平移规则，可得：，设直线的解析式为：，则：，解得：，∴，当时，，∴，∵，，，∴，∴的周长．5．如图所示，反比例函数y（m≠0）的图象与一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象交于A（2，a＋2）、B（a﹣10，﹣1）两点，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D．(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若P（t，0）（t≠2）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设MN的长为d，求出d与t之间的函数关系式；(3)在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y，yx＋3(2)(3)（﹣3，9）或（﹣9，3）或（，）【详解】（1）解：∵反比例函数y（m≠0）的图象经过A（2，a＋2）、B（a﹣10，﹣1）两点，∴，解得：∴A（2，4）、B（﹣8，﹣1），反比例函数的解析式是y，把A（2，4）、B（﹣8，﹣1）分别代入y＝kx＋b得，解得，∴一次函数的解析式为yx＋3；（2）解：由题意得，M（t，t＋3），N（t，），∴PMt＋3，PN，当t＞2时，d＝PM﹣PN；当0＜t≤2时，d＝PN﹣PM（3）解：由（1）知，直线AB的解析式为yx＋3，令x＝0，则yx＋3＝3，令y＝0，则0x＋3，∴x＝﹣6，∴C（﹣6，0），D（0，3），∴OC＝6，OD＝3，如图，∵是等腰直角三角形，∴①当∠CDQ＝90°时，CD＝QD，过点Q作QH⊥y轴于H，∴∠QDH＋∠DQH＝90°，∵∠CDQ＝90°，∴∠QDH＋∠CDO＝90°，∴∠CDO＝∠DQH，∴，∴QH＝OD＝3，DH＝OC＝6，∴OH＝OD＋DH＝9，∴Q（﹣3，9）；②当∠DCQ＝90°时，同理可得，（﹣9，3）；③当∠CQD＝90°时，同理可得，，∴，CL＝DK，∴设（﹣a，a），∴＝a，∴CL＝6﹣a，DK＝a﹣3，∴6﹣a＝3﹣a，∴a，∴（，），即满足条件的点Q的坐标为（﹣3，9）或（﹣9，3）或（，）．6．【模型建立】（1）如图一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥E