2023-2024学年河北省衡水市高二年级下册3月月考数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年河北省衡水市高二下册3月月考数学

模拟试题

一、单选题

I.学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名

同学选择，则不同的选择方法有()

A.A：种B.C：种C.4,种D.3种

【正确答案】D

【分析】由分步计数乘法原理即可求解

【详解】由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有「种

故选:D

2.(X-I)4(x-2)的展开式中，/项的系数为()

A.2B.14C.48D.-2

【正确答案】B

【分析】Y项由(χT)4的/项与X的积和(厂1)4的1项和_2的积组成，再结合二项式定理

得出系数.

【详解】(X-I)4展开式的通项为(T)'C%j,在(x—l)4(x-2)中，/项由(x-l)4的r项与

X的积和(X-Iy的/项和一2的积组成，

故可得八的系数为(―1)2C；X1+(-1)'C；X(-2)=14.

故选：B.

3.小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为:和J,

34

且两人同时加班的概率为:，则某个工作日，在小李加班的条件下,小陈也加班的概率为()

6

A.—1B1∙；?C.43D.-

12234

【正确答案】C

【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.

【详解】记“小李加班”为事件A,“小陈加班”为事件B,则P(A)=]p(8)="p(4B)=J,

,、P(AB)2

故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为P(8|A)=-^^=§.

故选：C.

4.核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据.经大量病例调查发现，试剂盒的

质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响.已知国外某地

新冠病毒感染率为0.5%,在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%.若该地

全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为()

A.0.495%B.0.9405%C.0.99%D.0.9995%

【正确答案】A

【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解.

【详解】记感染新冠病毒为事件A,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件员则

P(A)=().5%,P(叫A)=99%,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为

P(AB)=P(A)P(BlA)=0.5%×99%=0.495%,

故选:A

5.在等比数列｛q｝中，已知4=1,«5=16.则4的值为()

A.-4B.4C.±4D.±2

【正确答案】B

【分析】利用等比中项性质列式求解

，2

【详解】等比数列｛叫中，飙点=4.

«3=%q

故选：B.

6.若/'(Λ0)=1,则Iim"*一,(％+")=().

"TOa

A.2B.IC.-2D.-1

【正确答案】D

【分析】根据极限的定义求解即可.

【详解】因为/'(x0)=l,

所以Iim"*)~+—ɪ=-Iim-ɪ——ɪ~~~=-1

α→0afl→0a

故选：D

7.设/(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，∕,(x)>0,且/(-g)=O,则不等式/(x)<0

的解集为()

A.卜B.jxO<x<M

C.{x卜<^"g或0<x<g}D.{x∣一g<x≤O或x≥J}

【正确答案】C

【分析】根据r(x)>o及奇函数判断了a)的单调性，结合/(3=-〃-；)=0求解不等式

/(X)<0的解集.

【详解】因为当χ<o时，f,ω>o,此时/(X)单调递增.

而/(X)是定义在R上的奇函数，所以/(0)=0,且当x>0时，/3也单调递增.

因为所以的大致图象如下：

二/(-g)=0,/(g)=-∕(-g)=0∙/(X)

根据/(χ)的单调性可知，不等式fω<0的解集为卜卜<-g或0<*<g},

故选：c

8.设函数“X)的导函数为尸(X),若〃X)在其定义域内存在X。，使得"Xo)=∕'k),则

称F(X)为“有源”函数.已知"X)=InX-2x-4是“有源”函数，则。的取值范围是()

A.(-∞,-l]B.(-1,÷∞)

C.(-∞,-ln2-l]D.(-In2-1,+co)

【正确答案】A

【分析】根据“有源”函数概念，转化为函数有解问题，利用导函数求出函数值域即可得到参

数a的范围

【详解】Vf(x)^∖nx-2x-a,：,f'(x)=--2,

X

由是“有源”函数定义知，存在％,使得InxO-2/-Q=L-2,即α=ln∕-2%--!→2有解,

⅞⅞

记g(∙⅞)=lnΛo-2xo-■-÷2,(x0>0),所以〃的取值范围是就是函数g(%)的值域，

⅞

2x2+1

贝IJ/(An)=-L-2+-L=~θ^=-(2/+乎7),

⅞⅞⅞⅞^

当0<x°<l时，g'(%)>0,此时g(j⅞)单调递增,

当%>1时，√(⅞)<0,此时g(%)单调递减,

所以g(Λ0)≤g(l)=lnl-2-l+2=-l,所以α≤-l,

即〃的取值范围是(-8,T].

故选：A

二、多选题

9.20件产品中有18件合格品，2件次品，从这20件产品中任意抽取3件，则抽出的3件

产品中至少有1件次品的抽法表述正确的是()

A.C；C]B.C∖,Cfg+Cj∙C;gC.C,o—C∣*8D.C∖∙C^9-Cj∙C[8

【正确答案】BCD

【分析】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有两种可能：恰有1件次品和恰有2

件次品，运即可算求解；间接法：法一：20件产品中任意抽取3件的抽法减去没有次品(全

为合格品)的抽法；法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，减去重复一次

的情况(2个次品).

【详解】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有如下可能：

抽出的3件产品中恰有1件次品的抽法C>C>

抽出的3件产品中恰有2件次品的抽法C；-C；8；

故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为C[C⅛+C>C[A错误，B正确；

间接法：法一：这20件产品中任意抽取3件的抽法为C；。，抽出的3件产品中没有次品(全

为合格品）的抽法为C>

故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为C；I）-C1,C正确；

法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，抽法为C；-C；9,但2个次品的情况

重复一次，抽出2个次品的抽法为CbC：8，

故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为C；-C：9-C；-C；8,D正确；

故选：BCD.

10.有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（）

A.6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480

B.6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240

C.6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排

方法

D.6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种

【正确答案】ACD

【分析】A选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；B选项，利用倍缩法求解；C

选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；D选项，先将除甲、乙、丙外的剩余3

人分组，再进行全排列，得到答案.

【详解】A选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，

有A：=24种排法,

再将甲、乙两人插空，有A；=20种排法，则共有24x20=480种不同的排法，A正确；

B选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即当=120

A3

种不同的站法，B错误；

r,2r,2r,2

C选项，6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有啖产A；=90

ʌɜ

种不同的安排方法，C正确；

D选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起,

若还有一位同学与他们一组，共有C；=3种分法；

若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，

先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有C；C；=3种分法；

共有6种分组方法，D正确.

故选：ACD

11.已知各项均为正数的等差数列｛叫中，4+/+。3=15,且q+2,叼+5,%+13构成

等比数列也｝的前三项，则()

A.a2=5

B.2=5∙2'i

C.an=2n-∖

D.设%=/也，贝Il数歹∣J｛ς,｝的前〃项和方=(2〃-1)2"+1

【正确答案】ABD

【分析】运用等差数列等和性可分析A项，运用等差数列通项公式基本量计算可分析C项,

运用等比数列通项公式基本量计算可分析B项，运用错位相减法求和可分析D项.

【详解】设各项均为正数的等差数列｛凡｝的公差为d,

则由已知得4+。2+/=31=15,即g=5,故A项正确；

又(5-"+2乂5+4+13)=100,解得d=2或d=T3(舍去),

ai=a2-d=3,所以α,,=α1+(〃-l)xd=2"+l,即：α,,=2"+l,故C项错误；

又4=q+2=5,b2=a2+5=↑0,所以4=2,所以"=5x2"，故B项正确；

,,,j1

所以％=(anbn=∣(2n+l)×5×2^'≈(2n+l)×2-,

所以(,=3+5x2+7x22+…+(2n+l)x2"T,

23

2ηι=3×2+5×2+7×2+∙∙∙+(2π+l)×2",

两式相减得

4_2〃X2

-7；,=3+2×2+2×22+∙∙∙+2×2,,^l-(2∕7+l)×2π=3+—~--(2∕z+l)×2n=(l-2∕z)2π-l,

1—2

则Z,=(2〃—l)2"+l.故D项正确.

故选：ABD.

12.若存在m使得"x)≥机对任意xe。恒成立，则函数f(x)在力上有下界，其中，"为函

数/(x)的一个下界；若存在“，使得/(x)≤M对任意XWlD恒成立，则函数f(x)在。上

有上界，其中M为函数/(X)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有

界.则下列说法正确的是()

A.1是函数〃x)=x+?x>0)的一个下界

B.函数/(x)=xlnx有下界，无上界

C.函数/(x)=∙∣■有上界，无下界

D.函数/(X)=M有下界，无上界

【正确答案】AB

【分析】根据函数上下界的定义，可利用函数的性质以及导数求解值域，即可求解.

【详解】A正确，当x>0时，x+∣≥2(当且仅当x=l时取等号)，.∙"(x)>l恒成立，.∙.1

是/(x)的一个下界.

B正确，/,(x)=lnx+l(x>0),

.∙.当x∈(θ,g[时，∕z(x)<0,当x∈(g,+αθ时，/")>0,

∖f(x)在(Os)上单调递减，在g,+8)上单调递增，

.∙.∕(Λ)≥∕^=-1,/(x)有下界.

又当X越来越大时，“X)趋向+8,/(X)无上界.

综上所述，/(x)=xlnx有下界，无上界.

C错误，X2>0,eʌ>0,—>0,∖/(x)有卜界.

D错误，sinx∈[-l,l],,∙,^L≤2ψH.≤^.χ^L>-i,√-<l,

JT+1X+1Jr+1Jr+1Jr+1

.••-1<署<1,∖/(X)既有上界又有下界.

故选：AB

三、填空题

13.为美化重庆市忠县忠州中学校银山校区的校园环境，在学校统一组织下，安排了高二某

班劳动课在如图所示的花坛中种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求相邻区域颜色不

同，则有种不同方案.

【正确答案】72

【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出

每种情况下种植方案数目，由加法原理计算可得答案

【详解】如图，假设5个区域分别为1,2,3,4,5,

①当选用3种颜色的花卉时，2,4同色且3,5同色，共有种植方案C[A；=24（种），

②当4种不同颜色的花卉全选时，即2,4或3,5用同一种颜色，共有种植方案C;A：=48

（种），

则不同的种植方案共有24+48=72（种）.

故72

14.在二项式（Or+工丫的展开式中，常数项是-160,则。的值为.

【正确答案】-2

【分析】写出二项式展开式的通项，令X的次基为0即可求得常数项的表达式，解得。=-2

即可得出答案.

【详解】展开式的通项公式为&IY㈣W=CvF6-2"

令6—2r=0,得r=3,

故C〉/=-i60,

解得a=-2.

故-2

15.已知关于X的不等式(e*-X-⑴∙(InX-X-〃?)<0对任意X∈(0,+8)恒成立，则实数m

的取值范围是.

【正确答案】(-1』

【分析】构造函数/(x)=e'-x,g(x)=lnx-x利用导数求出最值情况，结合恒成立求出〃?

的取值范围.

【详解】设函数/(x)=e'-x,(x>0),则八x)=e*-l>0,f。)为增函数,

所以/(x)>∕(0)=l;

\—X

同理设g(x)=lnx-x,g'(x)=------,

X

当X«0,1)时，g'(x)>O,g(x)为增函数;

当X∈(1,∙HX>)时，g'(x)<0,g(x)为减函数；

所以g(x)≤g⑴=-1；

因为(ev-x-n-ι)-(↑nx-x-m)<0对任意X∈(0,+∞)恒成立,

et-x-m>01-/H≥0

所以只能,所以即m∈(-l,l].

∖nx-x-m<0-∖-m<0

故(-15

结论点睛：导数中有两个重要不等式，在求解小题时经常发挥巨大作用：

(1)e*≥x+l,当且仅当x=0时取到等号；(2)lnx≤x-l,当且仅当X=I时取到等号.

四、双空题

16.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《算法九章・商功》中，后人称之为“三角垛

已知某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层（从上往

L、111

下）球数构成一个数列{〃〃},则,—÷-÷÷-=.

【正确答案】15—

n+↑

【分析】根据4,牝，的得到=〃，利用累加法和等差数列求和公式求出4,=妁罗,

再利用裂项抵消法进行求和.

【详解】因为4=1,∙-q=2,a3-a2=3,L,all-an_t=n,

以上〃个式子累加，得《=1+2+3+-+〃=殁辿

贝IJqS=芋=15；

12CL-L

因为Z=E=2

nn÷l

所以L+'++—=2[1

=2-工E

〃+1π+l

2/7

故15,

/2+1

五、解答题

17.现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念.

（1）求甲、乙不相邻且不在两端的概率；

（2）如果甲、乙之间所隔人数为3,那么共有多少种不同的排法?

【正确答案】（IN

(2)720种

【分析】（1）由插空法结合概率公式求解；

（2）由捆绑法结合分步乘法计数原理求解；

【详解】（1）7位老师（含甲、乙）随意排成一排有A；个等可能的基本事件，

甲、乙不相邻的事件中含有的基本事件数为A；A：,

所以甲、乙不相邻且不在两端的概率为尸=等∙=.

A77

（2）从除甲、乙外的5位老师中任取3人排在甲、乙之间有A；种，

排在甲、乙之间的3位老师与甲、乙一起视为一个整体，

同余下的2位老师作全排列有A；种，甲、乙的排列有A；种.

由分步乘法计数原理，得A；A；A；=72（）,

所以甲、乙之间所隔人数为3,共有720种不同的排法.

18.已知数列｛%｝满足q=1,a“+i=2”,,,“wN”,数列｛〃,｝等差数列，且自=%,b3=a2+a3+a4.

⑴求数列｛%｝,也｝的通项公式；

⑵设％，求数列｛%｝的前〃项和s“.

【正确答案】⑴&=2"∖bn=6n-4

（2）S,,=2,'-3w2+n-l

【分析】（1）根据等比数列的定义，直接写出。“，由等差数列的基本量运算，结合已知条

件，求得如d,即可求得〃,；

（2）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前〃项和公式，直接求解即可.

【详解】（1）由题意可知：数列｛4｝是以首项为《=1,公比4=2的等比数列，

故见=lx2"-∣=2"τ,

,ʌ[b.=a=2[h.=2

等差数列也的公差为d,则]〃7I）解得：Q

[%=4+2d=%+/+%=14[d=6

故2=2+6(〃-1)=6〃-4.

--ll0-

(2)由题意可得：Sn=c∣+c24-----∖-cn=(a1⅛∣)+(¾⅛)^----^(w⅛)

,,I

=(%+a2+∙∙∙+απ)-(⅛1+h2H----∣-⅛,,)=(1+2+∙∙∙+2^)-(2+8H-----F6«-4)

1-2"〃(2+6”-4)„,

=-------i------------L=2'∙-3n2+n-↑,

1-22

故S“=2"-3/+〃-1

t8

19.若(1+，Hry=%+qx+%/++0sx,其中q=一56.

⑴求m的值；

(2)求(/+%+a4+a6+¾)^-(αl+α3+«5+%)、

【正确答案】

⑵0∙

3

【分析】(1)展开式的通项为(M=C>MK,a3=Cl-m=-56,解得答案；

(2)取x=l得到4+4+%+/++出=。，代入计算得到答案.

3

【详解】(1)因为(l+"t√展开式的通项为4“=C›(/nr)'=C>"x',a3=C^∕τ1=-56,

解得m--1；

(2)因为(I-Xy=++<⅞χ8,

取X=I得至IJao+4+/+%++¾=O,

所以

(«0+«2+a4+%+%)--(al+03+a5+a1)^=(α0+α1+a2++¾)(¾-al+a2-+¾)=O.

20.脂肪含量(单位：%)指的是脂肪重量占人体总重量的比例.某运动生理学家在对某项

健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样

本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6,抽取了女性90位，其

平均数和方差分别为21和17.

(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量

的均值与方差作出估计.(结果保留整数)

(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X,且X〜N(17,。2),其中。2近似为(1)中计

算的总样本方差.现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%

的概率.

附：若随机变量X服从正态分布N吟,则p（"-b≤χqz+σ∙uθ.6827,P（μ-2σ<χ<μ+2σ）

≈0.9545,√22≈4.7,λ∕23≈4.8,0≈0.004.

【正确答案】（1）总样本的均值为17,方差为23；据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪

含量的总体均值为17,方差为23

（2）0.004

【分析】（1）根据均值方差的计算公式代入计算即可求解；

（2）利用正态分布的性质和所给数据即可求解计算.

【详解】（1）把男性样本记为不，々，,小20,其平均数记为元，方差记为名;

把女性样本记为X，%，其平均数记为了，方差记为则元=14,s：=6；5=21,s：=17.

记总样本数据的平均数为2,方差为S?.

由元=14,=21,根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系,

12090

可得总样本平均数为Z=----------X+-----------V.

120+90120+90-

120×14+90×21

210

=17,

根据方差的定义，总样本方差为

22

=击∑(¾-z)+∑(ji-z)

NlU；=1/=I

112090

=X(Xl-亍+5-2)2+Z(x一下+y-三)2，

ZlULi=I/=1_

12012012012()

由£(%-下)=W＞；-120元=。可得Z2(X,-可叵-为=2(x-z)X(x,.-x)=0

Z=I/=IZ=Ii=l

9090

同理，∑2(χ.-y)(γ-z)=2(7-z)∑(y,.-y)=0,

Z=IZ=I

1Γ120CI2090C90

因此,d=而∑(χ,.-ɪ)-+∑σ-Z)2+Σ(χ-j)-+∑(7-z)2

ZlULi=]/=Ii=ιf=ι_

^^{i2θ[⅛+(χ-∑)2]+⅛+(y-∑)2]},

所以r=^{120×[6+(14-17)2]+90×[17+(21-17)2]}≈23,

所以总样本的均值为17,方差为23,

并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17,方差为23.

(2)由(1)知『=23,所以X~N(17,23),又因为后x4.8,

所以P(12∙2≤X≤21.8)=P(17-4.8≤X≤17+4.8)≈0.6827,

P(XCI2.2)=；X(I-0.6827)=0.15865,

因为X~3(3,0.15865),

所以尸(X=3)=C；X0.15865'y0.004.

所以3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.004.

21.已知(l+2x)”的展开式的所有项的二项式系数和为512.

,l

(1)若(l+2x)”=%+4押+电/+…+α.x",求“∣-02+α3-。4++(-l)'^απ；

(2)求(1+2x)"展开式中系数最大的项.

【正确答案】(1)2

(2)7；=5376/

【分析】(1)由题意，利用二项式系数的性质求得〃，再利用赋值法求得要求式子的值.

'q.2r>q+l.2r+l

求得厂的值，可得展开式中系数

(2)设第厂+1项系数最大,则rr,(l+2x)"

c9.r≥c;'.τ^'

最大的项.

【详解】(1)∙.∙(l+2x)”的展开式的所有项的二项式系数和为2"=512,.∙∙"=9.

i

*.*(1+2x)"=(1+2x)9=&+α∣x+cι-tx~+∙∙∙+cιcix,

二令X=0,可得/=1,

二再令4一]，可得+“2-a3+%__/=_[,

即1—(G1—α,+θj—cι4++g)=—1,

4—/+43—44+'+49=2.

⑵设第r+1项系数最大，则求得？≤r≤弓，.∙.r=6,

故(1+2x)"展开式中系数最大的项为7；=C^∙26∙X6=5376X6.

22.已知函数f(x)=Ore"-；(〃力0).

⑴讨论函数F(X)的单调性；

(2)已知函数g(x)=/(X)-Y有两个零点，求实数”的取值范围.

【正确答案】(1)答案见解析

【分析】(1)求得f'(x)="(x+l)e*,分。>0、α<0两种情况讨论，利用函数的单调性与导

数的关系可求得函数f(x)的减区间和增区间；

(2)由g(x)=O可得2«e3