第32讲 二倍角的正弦、余弦和正切公式（教师版）-高一数学同步讲义

第10讲二倍角的正弦、余弦和正切公式

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课程标准课标解读

1.掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式

的内容.通过本节课的学习，要求掌握二倍角公式的恒等变形与

2.会运用二倍角的三角函数公式解决三应用，解决与二倍角有关的三角函数式的计算与证明.

角函数式的化简、求值与证明.

激知识精讲

丞、知识点

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2a：sin2a=2sinacosa.

(2)C2〃：cos2a=cos2a-sin2a=2cos2ot-l=l-2sin2a.

(3)T2«：tan2a=--------(aKE+—且ct户一十一,kWZ).

l-tan~cr224

2.二倍角公式的变形应用

(1)倍角公式的逆用：

c八••csin2a

S2a：2sinacosa=sin2a；sina=--------；

2cosa

C%：cos26t-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a=cos2a；

T2«：2瓶J=tan2a；2tana=tan2a(1-tan2a).

l-tarra

(2)配方变形：1isin2a=sin2a+cos2ai2sinacosa=(sina土cosa)2.

(3)因式分解变形：cos2a=cos2a-sin2a=(cosa+sina)(cosa-sina)

(4)升暴公式：

aa

1+cosa=2cos2y；1-cosa=2sin2y；

.CLct\j/.aa、

1T+sina=(sin—+cos—)1t-sina=(sin—-cos—)。2

2222

（5）降幕公式:

.21-cos2a2I+cos2cr

sina=------------cossi-n--a--c-o--s--a--=-sin2a.

222

【即学即练1】sinl5Osinl05。的值是()

A，!D.邛

B.C昱

4.4

【答案】A

【解析】本题的考点二倍角的正弦和诱导公式:sin15°sin105°=sin15°cos15°=-sin30°=-,故选A.

24

i兀

【即学即练2】已知sin2a=—,则cos?（a----）=（)

34

245

AB.-C.D.

-I356

【答案】B

【解析】本题考点二倍角的余弦，三角函数的化简求值.

1+cosf2a-1

1+-

1+sin2a32

Vsin2a=—,cos2(df——)=故选B.

342223

4

3兀则里等于（）

【即学即练3］已知sina=-一aG(兀,),tan

5T2

1-工或2T1

A.—2B.C.D.一2或一

222

【答案】A

,.43兀.34.3兀、

【解析】•.•sina=——，(兀,),..cosa=—•»tana=—,・a£,—),

5T532

2ctana

3兀a24a

),/.tan——<0.tana=即2tan?巴+

T2132

I-tan2a

2

aOfa1

3tan——2=0,解得tan±=-2,或tan±=士（舍去），故选A.

2222

【即学即练4】设ae0,5,/?€0,7^1,Htanal+smy,则下列结论中正确的是（）

4cos2/?

7T7T

A.2a-6=：B.2a+(3=—C.a—B=一D.£/+,=：

44

【答案】C

【解析】本题的考点二倍角的余弦，二倍角的正弦.

l+sin2/?(sin/?+cos/?)2_sinyff+cos/7_1+tanJ3

.tana-=tan(夕+；

cos2〃cos2yff-sin2(3cos]-sin/71-tan

因为尸+所以0—〃=故选C.

【即学即练5]已知sin2a=，，则cos2[a+；）=（）

1

A.B.-

63

21V2

C.D.+

32-V

【答案】B

、1+cos2a+1.C

7t][21l-sin2aa1

【解析】：sin2a=—,a+—=---------=-----」=—.故选B.

34)2223

（即学即练61已知角e的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P（-1,-2）,则tan28

等于（)

44

A.B.

55

44

C.D.

33

【答案】D

【解析】:•角6的终边经过点尸（-1,-2）,y=2,r-\0P\=y/5,

y-2x-1y八2tan84

..sin0=-=—j=»cosO=-=,tan族一二2,贝n!ljlan20=----------=—.故选D.

r<5ry/5x1-tair。3

【即学即练7】化简下列各式:

1-tan01+tan0

2cos2a-1

2tan(:一a卜in2+a

【答案】(1)tan26；(2)1.

【分析】

(1)对原式通分化简即得；

(2)利用诱导公式、同角的三角函数关系、二倍角的正弦余弦公式化简即得解.

【详解】

(1)原式=0+侬-38)==fan2。

(1-tan6)(1+tan0)l-tan~0

cos2a

cos2a

_cos2a

)(71\

2sin-acos-a

UJUJ

_cos2a_cos2a_1

.(o乃clcos2a

sin2x----2a

I4)

【点睛】

方法点睛：三角恒等变换化简求值，常用的方法：三看(看角看名看式)三变(变角变名变式)，要根据已

知条件灵活选择方法求解.

u能力拓展

考法01

二倍角的正弦、余弦、正切公式

2

【典例1］已知cosa=—,则cos2a=()

3

A.-B.-C.—

999

【答案】C

【分析】

直接根据二倍角公式计算即可.

【详解】

解：由余弦的二倍角公式得：cos2a=2cos%-l=-：.

故选：C

3

【典例2]已知sin-,0<a<乃，贝！Isin2a的值等于（

12

25

【答案】A

【分析】

由诱导公式得cose=],结合角的范围求sina,应用倍角正弦公式求sin2a.

【详解】

7T

a+——

2

sin2a=2sinacosa=—

25

故选：A

【典例3】若tanfa-£1=3,则tan2a=(

4

3

【答案】C

【分析】

利用和差的正切公式和二倍角公式，即可求解.

【详解】

（乃、tana-1今〜

解AJI：tana---=----------=3,解得tana=-2,tan：

I4）1+tana

故选：C

【即学即练8】已知cos2a=」，贝ha/a：（）

3

A.-B.2

2

2

【答案】D

【解析】cos2a=-,cos2a-sin2tt=-,乂:cos2a+sin2ot=1,cos%二—，sin%=-，

•.2sin~a1p.

..tanza=———=—.故选D.

COS-6Z2

【解题必备JS2«：sin2a=2sinacosa.

C2«：cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

_,c2tHTia,..7T।1klZ7C.._r、

T2«：tan2a=-----------(a^kn-^-—ILa/—+—,Z£Z).

l-tan~a224

【即学即练9］若tan(a+—)=-3,贝!jcos2a+2sin2a=()

4

9

A.-B.1

5

37

C.--D.---

55

【答案】B

【解析】由tan(a+—)=@吧土1=一3,解得tana=2,

41-tana

---•-cos2a-sin2a4sinacosal-tan2a4tana1—44x2.

・・cos26z+2sin2a=——--------—+——0----------=----------+-----------=-+1•故选B

cos~a+sin~acos~a+sin~a1+tan-cr1+tan2a1+414-4

考法02

三角函数式的化简

(1)三角函数式的化简原则

①一看"角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的转化，再使用公式.

②二看“函数名”，看函数名之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦

③三看式子“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通

分”“遇到根式一般要升基”等.

(2)三角函数式的化简要求

①使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；

②式子中的分母尽量不含三角函数；

③尽量使被开方数不含三角函数等.

(3)三角函数式的化简方法

①异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化；

②"1”的代换，三角公式的正用、逆用.

.m”，.-,4.兀、3177sin2x+2sin2x，.，^

【典例4】已知cos(—+x)=一,右一n<x<—n,求'-------------"的值.

45124蜘x

28

【答案】—.

75

1^7,7<

【解析】解法一：由一7T<X<—7T,得一兀<X+^<2兀.

12434

7T3714

又cos(一+/)=—,所以sin(—+x)=—,

4545

LL1、I/兀兀

所以cosx=cos[(―+x)----]

44

/兀、兀./兀、.兀

=cos(——+x)cos—+sm(——+x)sin——

4444

3V24V2

—X---------X-----

5252

亚

而

从而siiu=-------,taut=7・

10

22(-

sin2x+2sin2x2sinxcosx+2sinx28

则rll--------------噜)

1-tanx1-tanxc1-7**75

TT4

解法二：由解法一得tan(-+x)

43

兀7C7T]87

Xsin2x=-cos(―+2x)=-cos2(—+x)=-2cos2(—+x)+1=------+1=—.

2442525

,sin2x+2sin2xsin2x+2sin2xsin2xcosx+2sin2xcosxsin2x(siiir+cosx)1+tanx

贝rIij---------------------=------------：---------=---------------------；--------=------------------=sin2.r------------

1-tanx]sinxcosx-siorcosx-siar1-tanx

cosx

=sin2xtan(x+—)=—x(----)=-------.

425375

2sin-----1

【典例5】若〃a)=2tana---------2,贝lj/(-^)的值是.

2sin-cos-12

22

【答案】6-73##

【分析】

利用二倍角的正余公式及同角公式化简给定三角式，再求出tan卷的值并代入计算即可.

【详解】

依题意，/(«)=2tana——竺&=2tana+——,

sinatana

717t

tan——tan—石1

而tan白=tan(g-£)=----------------=--厂=2-6,

12

341+tan£.tan£1+G

34

于是得/脸)=2(2-@=6一百,

所以/嗜）的值是6-6

故答案为：6-73

【典例6]sin10cos20cos40=.

【答案】I

【分析】

将式子上下乘以2cosl0,然后利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系式求解即可.

【详解】

解：sin10cos20cos40

_2cosl0sin10cos20cos40_sin20cos20cos40_sin40cos40_sin80_1

2cos102cos104cos108cosl08

故答案为：—.

o

【典例7】已知a,/?e((),万)，且tan(a-尸)=g,tan£=-；,则2。一/7的值为

【答案】—•

4

【分析】

先利用正切两角和公式求出tana,再利用二倍角公式求出tan2a,最后根据正切的两角差公式计算出

tan（2a-夕），最后根据角的范围确定出2。一/的值.

【详解】

1_1

解:因为tana=tan[(a—()+/]=母"：夕—所以0vav£.又因为

27

2tana_2xj3

tan2a=T=7>0,所以0<2a〈二.

-an%|42

31

-+-

tan2a-tanP47

所以tan（2a-〃）==1.

1

1+tan2atanpx—

47

兀3兀

因为lan〃=——<0,所以一</<肛一万<2a-6<0,所以2。一/7=-----.

724

故答案为：-手.

4

【点睛】

本题考查三角函数求值，关键是和差角公式的灵活应用，属于中档题.

【典例8]已知函数/(x)=gcos2x-sin2x,将f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度得到函数g(x)的

图象.

rr

(1)若々=求g(x)的单调递增区间；

(2)若“《0身，g(x)的一条对称轴为直线x=?求当xe0,y时g(x)的值域.

【答案】(1)k兀--—,k7r--(ZwZ)；(2)[-2,3].

o3J

【分析】

(1)由两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，由平移变换得出g(x)的表达式，再结合余

弦函数性质得增区间：

(2)由余弦函数图象的对称轴求得a,再结合余弦函数性质得值域.

【详解】

解：(1)因为/'(x)=>/5cos2x-sin2x=2cos(2x+.),

jr

所以g(x)=f(x+a)=2cos(2x+2a+—),

6

当a=；■时，g(x)=2cos(2x+会)，

由2k/c-zr<2x4-—<2%万/GZ),得女万一—<x<^-—(Z:GZ)

363

所以g(x)的单调递增区间为k兀(keZ).

(2)由(1)知g(x)=2cos(2x+2a+令,

由g(x)的一条对称轴为x=《，所以gf*)=±2，即2cosc+2a)=±2,

,rrK7T7T

所以2+2。=左左(keZ),得。=丝-巴(&eZ).

326

0,y1.故〃=(,贝ijg(x)=2cos(2x+5不

3~6

_57c57rli万,,

山xe0,1.+—G—7".故cos2x+e，则g(x)的值域为［-2,刃.

2oOO\T图

fii分层提分

题组A基础过关练

,,sina+costz.

1.若-------------=3,贝nUcos2a=()

sina-5cosiz

2463

A.B.

2565

7

C,当D.

2525

【答案】B

■sina+cosatana+1cos2a-sin2a1-tan2a63,,

【解析】若I---------------二--------=3,则tana=8,cos2a=----z--------9~=--------2-=------‘故选B.

sinc-5cosatana-5cosa+sina1+tana65

2.已知sin(--a)=^~,则cos(2a+)=(

)

633

_2

A.B.

-3-3

2£

C.D.

33

【答案】D

兀d627r2兀兀2n

【解析】丁sin(4-。)=---,则cos(2。+—)=-cos[n-(2。+——)]=-cos(--la)=-1+2sin----a

6333363

故选D.

3.若sin—»则sin^+2xJ的值为()

5

2424

一

一-

AC.275B.275

D.

一

一-

2525

【答案】D

【解析】Vsin(--x)-sin(x--)=—*AsinCx~—)=--,

66565

/.sin(2v+—)=sin(2.V--+—)=cos(2x~—)=cos[2(x--)]=l-2sin2(JV--)=l-2x(--)2=一一—.

632366525

故选D.

a+则sinba-g

4.若cos=()

OyDIO

D24

25

【答案】A

【分析】

设a+?=x,即可根据诱导公式和二倍角公式求出sin(2a-J

【详解】

设a+^=x,所以。二工一工，cosx=—,

665

7

故sin12a--=sin2x--=-cos2x=1-2cos2x=1-2x

I6I225

故选：A.

5.己知sin4a—cos4a=2,〃Jo,£]^iJcos(2a+X)=()

3I2J4

A4+5/2口4—>/2「-4+y/2八-4-\f2

6666

【答案】D

【分析】

根据sin%-cos%=g,利用平方关系和二倍角的余弦公式得到cos2a=-；,然后由

cos(2〃+工)=^-(cos2a-sin2a)求解.

42

【详解】

因为sin4a-cos%=；

所以cos2a=-,，

3

因为二£(0,1^,

2^2

所以sin2a>0,sin2cr=—^―

所以cos(2a+?)=^^(cos2a-sin2a),

鬲12夜)-4-72

2336

故选：D.

6..若cos(*+a)=g,则$足仁一20)=()

.7口2&

A.-------D.----------

93

C.-D.逑

99

【答案】A

【分析】

利用余弦的二倍角公式可得cos(?+2a)=-(,再由诱导公式即可求解.

【详解】

(乃/乃7

cos—+2a=2cos--+a-1=——,

U)16)9

.「万c、、7

sin----2a=cos—+2a=——.

16)13J9

故选：A

Vio

7.若2cosa+sina=-----f贝ljtan"=()

2

4_3-4r3

A.一B.C.一D.-

3~434

【答案】B

【分析】

将23。+$后。=®两边同时平方.，再根据平方关系及二倍角的正余弦公式可得3cos2&=-4sin2a,即

2

可得解.

【详解】

解：因为2cosa+sina=,

2

所以4cos2a+4sinacosa+sin2a=—,

2

即6cos2a-3=-8sinacosc,所以3cos2a=-4sin2a,

一3

所以tan为=—.

故选：B.

8.已知角a的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线2x+y=0上,则cos?c+sin2a=

()

43

A.—B.--C.0D.1

55

【答案】B

【分析】

利用三角函数的定义可得tana=-2,再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算

可得：

【详解】

解：由题意可得，tane=-2.

,.„cos2a+2sinacosa1+2tana1+2x(-2)3

k'jcos-a+sin2a-------------------------------------；-=--------=——

cos-a+sin-a1+taira|+(-2)-5'

故选：B

已知=，,.则cos2(：_q=(

9.sinxcosx)

8

A.姮B.iD

48c1-i

【答案】D

【分析】

山正余弦的二倍角公式，诱导公式结合己知条件即可求解.

【详解】

解：由二倍角公式可得:

_l+2sinxcosx_g_5,

"―_2--8

故选：D.

sin2a

10.已知tan(a+0=-1,tan(«-y3)=-,则’.、〃的值为()

2sin2p

A.-B.—C.3D.—3

33

【答案】A

【分析】

利用(a+6),(a-6)凑出2a,2夕，然后结合两角和差的正弦公式以及齐次式求值问题即可求出结果.

【详解】

因为tan(a+/?)=-l,tan(a—/?)=；,

sin2asin(a+〃)+(a-〃)sin(a+/7)cos(a-/)+cos(a+/)sin(a-/?)

sinsin(«+/7)-(«-/7)sin(a+/?)cos(a-y0)-cos(a+^)sin(cr-/7)

1

tan(a+y0)+tan(a-^)-+]1

tan(a+p)-tan(a—夕)_\_L3

~2

故选：A.

00

11.设5万〈，〈6)，cos—=〃，那么sin—等于()

24

【答案】D

【分析】

由5,＜。＜6"，得到苧（当，然后由.0.,cos耳求解

442sin4=\-2

【详解】

因为5乃v，v6不，

又cos—=a,

12.函数/（x）=2sinx-cos2x在区间［0,2句上的零点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】

令/(x)=0,可解得sinx=W1根据解的个数可得.

【详解】

/(x)=2sinx-cos2x=2sinx-1+2sin2x,

令〃x)=0可得sinx=^l或sinx=-^l(舍去)，

因为sinx=弓」区间［0,2句有2个根，所以〃x)在区间［0,2句上的零点个数为2.

故选：A.

13.已知函数〃x)=cos"x-sin4x,下列结论中错误的是()

A./(x)=cos2x

B.f(x)的值域为［夜,一夜］

C./(x)的最小正周期为兀

D.函数/(x)的图象关于直线x=0对称

【答案】B

【分析】

利用三角恒等变换求得/(x)=cos2x,结合选项根据三角函数的图象和性质判断即可.

【详解】

/(%)=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2%)(cos2x-sin2x)=cos2x-sin2x=cos2x,故A正确;

其值域为［-15，故B错误；

最小正周期为?=万，故C正确；

2

因为f(O)=l是f(x)的最大值，所以其图象关于x=0对称，故D正确.

故选：B.

14.若tanor=3,则sin2«=()

333一3

A.-B.--C.—D.—

5544

【答案】A

【分析】

利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得sin2a的值.

【详解】

2sinacosa

2sinacosa2tana2x33

sin2a=2sincosa=cosa

sin2a+cos2asin2a+cos2«tan2a+l32+15,

cosa

故选：A.

题组B能力提升练

一I冗20214

1.若“[,，万,&cos2a+sin----------a=0,则tan%=()

4

A,9c.士迈+也

BD.

7-T7-4

【答案】A

【分析】

利用三角恒等变换化简已知条件，求得（:0$。+5由。=；,由此求得5皿2。,8522,进而求得tan2a.

【详解】

202U

5/2cos2a+sin----------a=&cos2a+sin=6(cos2a-sin2a)一(cosa-sina)

4

=>/2(<：cosa-sina)(cosa+sina-耳)=0,

717i37r,2a中有

Vaw,；・cosa一sina<0,/.cosa+sina=—>0,；・aw9

5'"2~2T

j3rj3

且l+sin2a=-,/.sin2a=--,cos2a=------,tan2a=-------

4447

故选：A

24

2.己知等腰三角形顶角的正弦为石，则底角的余弦为（）

4

A.-B

5-1

「4T3

C.一或一D.以上答案都不对

55

【答案】C

【分析】

2424

设6ABe为等腰三角形，，顶角为8,KlJsinB=—,进而根据三角形内角和得sin2A=sin3=石,

7

再根据同角三角函数关系得cos2A=±石，再分类讨论求解即可得答案.

【详解】

解：如图，设3ABe为等腰三角形，BC=BA,顶角为3,ljlljsin^=—,

所以底角A满足2A=4一3,所以sin2A=sin3=工；,

所以cos2A=士Jl-sin22A=+—,

e…7Q241+cos2A16

当cos2A=一时，cos~A=------------

25225

因为所以cos4=1,

、i,…7rL?414-cos2A9

当cos2A=-----时，cosA=-------------

25225

因为Ae(0，S，所以cos4=|,

故底角的余弦为，4或3;

故选：C

1sin2a

3.已知tan(6Z+P)=-l,tan(a-/?)=-,则不丽的值为().

A.—B.—C.3D.—3

33

【答案】A

【分析】

sin2a

根据2a=3+0+3-2),2尸=3+0-3-0’利用和差公式把诉变形为

sin(a+尸)cos(a一尸)+cos(a+夕)sin(〃一J3)

然后分子分母同除以cos(〃+/)cos(a-/?)即可求出答案.

sin(〃+/?)cos(〃-/7)-cos(〃+/3)sin(a-/?)

【详解】

sin2a_sin[(。+分)+(〃一尸)]_sin(a+/?)cos(tz-/?)+cos(iz+/?)sin(tz-/3)

sin2(3sin[(a+/)-(〃-£)]sin(a+J3)cos(a-J3)-cos(a+/?)sin(。一f3)

八八-1+—

tan(a+/)+tan(a一/)_2_1

tan(Q+£)—tan(a-J3)।_13

2

故选:A.

4.（多选题）已知函数〃耳=产空，则（）

l+cos2x

A./（x）在定义域上单调递增

B.》）=.f（x）

C.y=〃x）的图象关于点（go）对称

D.y=〃x）的图象关于y轴对称

【答案】BC

【分析】

首先对函数“X）进行化简，然后利用正切函数的性质即可对每个选项进行判断.

【详解】

“、sin2x2sinxcosxsinx

jlx）=------------=-----------；----=----=tanx,

1+cos2xl+2cosx-\cosx

所以的单调递增区间为卜尹日畀可入2,选项A错误;

易知函数/（x）=tan