函数的最大值和最小值的求解方法

关于函数的最大值和最小值的求解方法定义当x1<x2时,都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1<x2时，都有，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数

图象描述自左向右看图象是___________自左向右看图象是__________f（x1）<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的第2页,共46页，2024年2月25日，星期天(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是________或________，则称函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，

________叫做f（x）的单调区间.增函数减函数区间D第3页,共46页，2024年2月25日，星期天2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有___________；②存在x0∈I,使得_____________.①对于任意x∈I，都有____________；②存在x0∈I,使得_______________.结论M为最大值M为最小值f（x）≤Mf（x0）=Mf（x）≥Mf（x0）=M第4页,共46页，2024年2月25日，星期天基础自测1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是

()A.y=-x+1B.y=

C.y=x2-4x+5D.

解析∵y=-x+1,y=x2-4x+5,分别为一次函数、二次函数、反比例函数，从它们的图象上可以看出在（0，2）上都是减函数.B第5页,共46页，2024年2月25日，星期天2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的根（）

A.有且只有一个B.有2个

C.至多有一个D.以上均不对

解析∵f（x）在R上是增函数，∴对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2),

反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个.

若对任意x∈R都无f(x)=0,则f(x)=0无根.C第6页,共46页，2024年2月25日，星期天3.已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（）

A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.（-∞,-1)∪(1,+∞)

解析由已知条件：不等式等价于解得-1<x<1,且x≠0.C第7页,共46页，2024年2月25日，星期天4.函数y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，则

()A.B.C.D.

解析使y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数,

则2k+1<0，即

D第8页,共46页，2024年2月25日，星期天5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0；②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；③④其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.

解析依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推出函数y=f（x）为增函数.①③第9页,共46页，2024年2月25日，星期天题型一函数单调性的判断【例1】已知函数

证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

（1）用函数单调性的定义.

（2）用导数法.

证明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),

不妨设x1<x2,则x2-x1>0,思维启迪题型分类深度剖析第10页,共46页，2024年2月25日，星期天又∵x1+1>0,x2+1>0,于是f(x2)-f(x1)=故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.第11页,共46页，2024年2月25日，星期天方法二

求导数得∵a>1,∴当x>-1时，axlna>0,f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.

对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函数则可以利用导数解之.探究提高第12页,共46页，2024年2月25日，星期天知能迁移1

试讨论函数x∈(-1,1)的单调性（其中a≠0）.

解方法一根据单调性的定义求解.

设-1<x1<x2<1,∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,

即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.第13页,共46页，2024年2月25日，星期天因此，当a>0时，f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数；当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),此时函数f(x)为增函数.方法二第14页,共46页，2024年2月25日，星期天当a>0时，∵-1<x<1,即f′(x)<0,此时f（x)在（-1，1）上为减函数.同理，当a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.综上可知，a>0时，f（x)在（-1，1）上为减函数；a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.第15页,共46页，2024年2月25日，星期天题型二复合函数的单调性【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减函数的区间是()A.(3,6)B.(-1,0)C.(1,2)D.（-3,-1）

先求得函数的定义域,然后再结合二次函数、对数函数的单调性进行考虑.

解析由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,结合二次函数的对称轴直线x=1知,在对称轴左边函数y=x2-2x-3是减函数，所以在区间（-∞，-1）上是减函数,由此可得D项符合.故选D.思维启迪D第16页,共46页，2024年2月25日，星期天

（1）复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”，即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数.（2）讨论复合函数单调性的步骤是：①求出复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其单调性；③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；④根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.探究提高第17页,共46页，2024年2月25日，星期天知能迁移2

函数y=的递减区间为（）

A.(1,+∞)B.C.D.

解析作出t=2x2-3x+1的示意图如图所示，∵0<<1,∴递减.

要使递减,

t应该大于0且递增,

故x∈(1,+∞).A第18页,共46页，2024年2月25日，星期天题型三函数的单调性与最值【例3】已知函数x∈[1,+∞).(1)当a=时,求f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

第(1)问可先证明函数f(x)在[1,+∞)

上的单调性,然后利用函数的单调性求解，对于第

(2)问可采用转化为求函数f(x)在[1,+∞)上的最小值大于0的问题来解决.思维启迪第19页,共46页，2024年2月25日，星期天解

设1≤x1<x2,则f(x2)-f(x1)=∵1≤x1<x2,∴x2-x1>0,2x1x2>2,∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2).∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=(2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立

x2+2x+a>0恒成立.第20页,共46页，2024年2月25日，星期天设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),则函数y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在区间[1,+∞)上是增函数.∴当x=1时，ymin=3+a,于是当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立，故a>-3.

要注意函数思想在求函数值域中的运用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函数的最值解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立,只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数的性质得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.探究提高第21页,共46页，2024年2月25日，星期天知能迁移3已知函数(a>0,x>0),(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;(2)若f(x)在上的值域是求a的值.(1)证明

设x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.第22页,共46页，2024年2月25日，星期天第23页,共46页，2024年2月25日，星期天题型四函数单调性与不等式【例4】(12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1.

（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

问题(1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性的定义.

问题(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”,为此需将右边常数3看成某个变量的函数值.思维启迪第24页,共46页，2024年2月25日，星期天解（1）设x1,x2∈R，且x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.2分f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.5分∴f（x2）>f(x1).即f(x)是R上的增函数.6分第25页,共46页，2024年2月25日，星期天（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，8分∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2),∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2<2,10分解得-1<m<,故解集为12分

f(x)在定义域上（或某一单调区间上）具有单调性，则f(x1)<f(x2)f(x1)-f(x2)<0,若函数是增函数,则f(x1)<f(x2)x1<x2,函数不等式（或方程）的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式（或方程）求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行.探究提高第26页,共46页，2024年2月25日，星期天知能迁移4

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)

满足=f(x1)-f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.

（1）求f(1)的值；（2）判断f(x）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.

解（1）令x1=x2>0,

代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.第27页,共46页，2024年2月25日，星期天（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2,则由于当x>1时，f(x)<0,所以即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.（3）由=f(x1)-f(x2)得

=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，由f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9或x<-9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.第28页,共46页，2024年2月25日，星期天1.根据函数的单调性的定义，证明（判定）函数f(x)

在其区间上的单调性，其步骤是（1）设x1、x2是该区间上的任意两个值，且x1＜x2；（2）作差f（x1）-f（x2），然后变形；（3）判定f（x1）-f（x2）的符号；（4）根据定义作出结论.方法与技巧思想方法感悟提高第29页,共46页，2024年2月25日，星期天2.求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本

初等函数的单调区间.常用方法有：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质.3.复合函数的单调性对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者(g(b),

g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同

(同时为增或减),则y=f[g(x)]为增函数;若t=g(x)与

y=f(t)的单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数.

简称为:同增异减.第30页,共46页，2024年2月25日，星期天1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间要分开写,即使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集表示.2.两函数f(x)、g(x)在x∈(a,b)上都是增(减)函数,则

f(x)+g(x)也为增(减)函数,但f(x)·g(x),等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比.失误与防范第31页,共46页，2024年2月25日，星期天一、选择题1.若函数y=ax与在(0,+∞)上都是减函数，则y=ax2+bx在（0，+∞）上是（）

A.增函数B.减函数

C.先增后减D.先减后增解析∵y=ax与在(0,+∞)上都是减函数,∴a<0,b<0，∴y=ax2+bx的对称轴方程

∴y=ax2+bx在（0，+∞）上为减函数.B定时检测第32页,共46页，2024年2月25日，星期天2.函数（a>0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是()A.（0，1）B.C.D.

解析据单调性定义，f（x）为减函数应满足：B第33页,共46页，2024年2月25日，星期天3.下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是()A.y=sinxB.y=-log2xC.

D.

解析∵y=sinx在上是增函数，∴y=sinx在（0，1）上是增函数.A第34页,共46页，2024年2月25日，星期天4.(2009·天津)已知函数

若f(2-a2)>f(a)，则实数a的取值范围是（）

A.（-∞,-1）∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

解析由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数,由f(2-a2)>

f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.C第35页,共46页，2024年2月25日，星期天5.若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是()A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数

C.单调递增的偶函数D.单调递增的奇函数

解析

f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)=-x3(x∈R)

显然在其定义域内是单调递减的奇函数.B第36页,共46页，2024年2月25日，星期天6.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是()A.B.C.D.

解析函数f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4

的减区间为∵e>1,∴函数f(x)的单调减区间为D第37页,共46页，2024年2月25日，星期天二、填空题7.若函数f(x)=(m-1)x2+mx+3(x∈R)是偶函数，则

f(x)的单调减区间是________.

解析∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），∴(m-1)x2-mx+3=(m-1)x2+mx+3，∴m=0.这时f(x)=-x2+3，∴单调减区间为[0，+∞).[0,+∞)第38页,共46页，2024年2月25日，星期天8.若函数在区间(m，2m+1)上是单调递增函数，则m∈________.

解析∵令f′(x)>0,得-1<x<1,∴f(x)的增区间为（-1，1）.

又∵f(x)在（m，2m+1）上单调递增，∵区间（m，2m+1）中2m+1>m,∴m>-1.

综上，-1<m≤0.(-1,0]第39页,共46页，2024年2月25日，星期天9.已知定义域为D的函数f(x)，对任意x∈D,存在正数K，都有|f(x)|≤K成立，则称函数f(x)是D上的“有界函数”.已知下列函数:①f(x)=2sinx;②f(x)=③f(x)=1