2023-2024学年湖北省孝感某中学高一（上）调研数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年湖北省孝感某中学高一(±)调研数学试卷(9月份)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合U={xeN|/-4x-5W0},A={0,2},B={1,3,5},则ACl(QB)=()

A.{2}B.{0,5}C.{0,2}D.{0,2,4}

2.定义行列式J：力=ad—be,若行列式J11|<|«则实数a的取值范围为()

A.(-113)3B.(—8,—l)u6,+8)

c.(W，l)D.(-8,—1)U(l,+8)

3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在缄智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利

奥特首次使用“V”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远,若a,b,

cER,则下列命题正确的是()

A.若Q>b>0,贝Ijac?>be2

B.若。</?<0,则a+:vb+工

ba

C.若0VaVbVc,贝<华三

aQ+C

D.若Q>0,b>0,则红+《WQ+b

ab~

4.已知关于x的方程/+(2k-l)x+A?一i=o有两个实数根%],%2•若%i，%2满足好+慰=16+%1%2，则

实数A的取值为()

A.-2或6B.6C.-2D.

4

5."-3<m<1"是"不等式(m-1)/+(m-l)x-1<0对任意的％6R恒成立"的条件.()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.关于实数x的一元二次不等式a/+bx+c>0的解集为(一2,1),则不等式a(/+1)+h(x+1)+c<3ax

的解集为()

A.(0,2)B.(-oo,0)

C.(2,4-oo)D.(—8,0)U(2,+8)

7.已知二次函数y=ax2+bx+c(aH0)的图象与x轴交于点Qq,。)与(冷，。)，其中冗i<%2，方程a/+bx+

C+Q=0的两根为九<九)，则下列判断正确的是()

A.m<n<%!<%2B.xT<x2<Tn<nC.xT<m<n<x2D.m<xr<x2<n

8.已知%>0,y>0,%4-y=1,则至■章担的最小值为（）

14____

A.4B.—C.<7+2D.+1

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）

A.Bn(4UC)B.QUBn(4UC)

C.BnCu(AUC)D.(AnB)u(BnC)

10.下列结论正确的是()

A.“x>1”是“团>r的充分不必要条件

B."aePnQ”是“aGP”的必要不充分条件

C."Vx€R,有/+x+120”的否定是“mx€R,使工2+x+i<o”

D.11x=1是方程a/+bx+c=0的实数根”的充要条件是"a+b+c=0”

11.已知。>0,b>0,下列命题中正确的是()

A.若ab-a-2b=0,则a+2b>8

B.若a+b=2,则2+

ab

C.若a+b=1,则V2a+4+<b+1<2<3

D.若=3,则ab+Q+bN14+6V-6

12.设a,b为两个正数,定义a,b的算术平均数为4(a,b)=竽,几何平均数为G(a,b)=G，则有：G(a,b)<

4(a,b),这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家。.从Le/wner提出了“Le/uner均值”，

即Lp(a,b)=<W『其中p为有理数.下列关系正确的是()

A.L05(a,b)<A(^a,b)B.L0(a,£>)>G(a,£>)

C.L2(a，b)>N(a,b)D,L„+1(a,fa)<Ln(_a,b)

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.设集合4={2,3,a2—3a,a+7+7},B={\a-2\,3),已知4€力且40B,则a的取值集合为.

14.已知A,BGU,则“4CIB=A”是“加U的4”的条件(从“充分不必要”、“必要不充分”、

“充要”、“不充分不必要”中选择一个作答).

15.已知集合M={meZ|x2+mx-36-0有整数解},非空集合4满足条件：

(1)4cM,

(2)若a64则—a64则所有这样的集合4的个数为.

16.若不等式，三+£kJ2x+y对于任意正实数％、y成立，贝心的取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

设aeR,解关于x的不等式：ax2-(a+3)x+3<0.

18.(本小题12.0分)

已知集合P={x|a+1<x<2a+1},Q={x|-2<x<5].

(1)若。=3,求(CRP)CIQ；

(2)若“x6P”是“x6Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围.

19.(本小题12.0分)

已知关于x的一元二次方程/—mx+2m—3=0.

(1)若方程有两个不等实数根，求m的取值范围；

(2)若方程两根之差的绝对值为仁，试求小的值；

(3)若方程两不等实根都小于5,试求m的取值范围.

20.(本小题12.0分)

科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础.某科技企业最新研发了一

款大型电子设备，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润p(x)(单位：万元)与投入的月

研发经费x(15WxW40,单位:万元)有关：当投入的月研发经费不高于36万元时,p(x)=-^x2+8x-90；

当投入月研发经费高于36万元时，p(x)=0.4x+54.对于企业而言，研发利润率y=号乂100%,是优化

企业管理的重要依据之一，y越大，研发利润率越高，反之越小.

(1)求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费x的值；

(2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%,求月研发经费》的取值范围.

21.(本小题12.0分)

设A是正整数集的非空子集，称集合B=训|“小€4且设力切为集合A的生成集.

(1)当4={1,3,6}时，写出集合4的生成集8；

(2)若4是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；

(3)判断是否存在4个正整数构成的集合4,使其生成集8={2,3,5,6,10,16},并说明理由.

22.(本小题12.0分)

(1)已知K＞一1,求函数丁=攵嗤电最小值，并求出最小值时x的值；

⑵问题：正数a,b满足a+b=1,求:+鲍最小值.其中一种解法是:；+：=6+》(a+b)=l+《+等+

223+2/9当且仅当"等且a+b=l时，即。=。一1且6=2-，五时取等号.学习上述解法并解

决下列问题：若实数a,b,x,y满足圣-/=1,试比较a?-从和(尤一y)2的大小，并指明等号成立的条

件；

(3)利用(2)的结论，求M=，4m-3-Vm—1的最小值,并求出使得M最小的小的值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：集合U={xeN\x2-4%-5<0}={xG/V|-1<%<5]={0,1,2,3,4,5},

•1•CuB={0,2,4},则An(QB)={0,2}.

故选：C.

由集合的交、并、补运算可直接可求得.

本题考查集合的交、并、补运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：行列式等价于2a2-3<a—0,BP2a2-a-3<0,

解得-1<a<|,

所以实数a的取值范围是

故选：A.

根据行列式的计算法则，求解关于a的不等式即可.

本题考查了行列式与不等式的解法应用问题，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：对于4若c=0,则"2=儿2=0,故A错误；

对于8,(a+》一(b+6=a-b+喘=(a-b)(l+3

由于a<b<0,故a-6<0,1+=>0,所以(a+》-(b+；)<0,即a+：<b+:，8正确；

对于C,2_空=嗯/由于o<a<b<c,故2一室=平著>0,即2>空，c错误；

aa+ca(a+c)aa+ca(a+c)aa+c

对于o,根据基本不等式，可知,+a+苗+b'2jf.a+2j10=2a+2b，

当Q=a且(=b，即a=b时取得等号，因此Q+《za+b，故。错误.

abab~

故选:B.

根据题意，4选项可以举反例说明，8、C两项利用作差法加以判断，D选项通过基本不等式来判断，即可得

到本题的答案.

本题主要考查了不等式的性质、利用基本不等式求最值等知识，属于基础题.

4.【答案】C

2

【解析】解：•••关于久的方程/+(2fc-l)x+fc-1=0有两个实数根时，x2,

5

4-

二实数k的取值范围为k号，

2

根据韦达定理可得与+*2=1-2/c,xxx2=k-1,

2

,:X1+X2=(%1+X2)—2%!%2=16+XrX2,

•••(1-2k)2-2(/c2-1)=16+也2_1),即1—4k-12=0,

解得k=-2或k=6(不符合题意，舍去)，

・•.实数k的值为-2.

故选：C.

先根据条件可知420,再结合韦达定理即可建立等量关系，即可得解.

本题主要考查了二次方程根的存在条件的应用，还考查了方程的根与系数关系的应用，属于中档题.

5.【答案】A

【解析】解：(m-l)x2+(m-l)x-1<0对任意的xeR恒成立，

①当zn=l时，-1<0,恒成立；

②当时,］忆^(时i)<o,解得-3<血<1，

综上所述，{m|-3<?nWl},

{m\—3<m<1}{m\—3<m<1},

・•・"—3<m<是“不等式(m—l)x2+(m—l)x—1<0对任意的％6R恒成立”的充分不必要条件.

故选：A.

根据(zn-l)x2+(m-1)%-1<。对任意的％GR恒成立，求得的取值范围，即可求解.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是解决本题的关键.

6.【答案】D

【解析】解：由题意可得：a/+力％+。=o的解为一2,1,且a〈0,

可得解得g：：2a，

则不等式a(%2+1)++1)+cV3ax,即为Q(/+1)+a(%4-1)—2a<3ax,

且a<0,则(/+i)+(%+i)_2>3%,整理得/—2%>0,

解得％VO或%>2,即解集为(-8,0)U(2,+8).

故选：D.

根据三个二次之间的关系结合韦达定理可得｛，;：2a，且。<°，代入所求不等式运算求解即可・

本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：方程a/+b%+c+a=0的两根为九可转化为y=ax2+/?%+c与y=-a的交点横坐标为

m,n且m<n,

当a>0时，结合函数图象可知，xx<m<n<X2J

故选：C.

方程QJF+bx++。=0的两根为m,n可转化为y=ax2+bx+c与y=一a的交点横坐标为小，九且m<n,

然后结合函数的图象可求.

本题主要考查了二次方程与二次函数关系的转化，体现了数形结合思想的应用.

8.【答案】D

【解析】解：因为％>0,y>0,x+y=1,

所以原式=2x2x(x+y)+(x+y)2=2x2+xy+y2=三+Q。医&+]=+1,

xyxyyx\yx

当且仅当年=(且x+y=1,即X=q-l,y=2-n时取等号，

所以空二±1的最小值为2/2+1.

故选：D.

由于x+y=l,所以在*±1=2、T(x+y)+(x+y)2,化简后利用基本不等式可求出其最小值.

xyxy

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

9.【答案】AD

【解析】【分析】

本题主要考查Uenn图的应用，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，属于基础题.

在阴影部分区域内任取一个元素，分析x与集合力、B、C的关系，即可得出结论.

【解答】

解：在阴影部分区域内任取一个元素X,则xeAnB或X6BCC,

故阴影部分所表示的集合为BnQ4UC)或(AnB)U(BClC).

故选：AD.

10.【答案】ACD

【解析】解：对于4因为田>1,所以x>l或％<-1,所以“当x>l”时，“团>1”成立，反之不成

立，

故。>1”是“团>1”的充分不必要条件，正确；

对于B,“aePnQ”一定有“aep”成立，反之不成立，

故"aePnQ”是“a6P"的充分不必要条件，错误；

对于C,命题“Vx6R,有/+尤+120”是全称量词命题，

其否定是存在量词命题，即“mxeR,使/+x+l<0"，正确；

对于D,当a+b+c=0时，1为方程a/+bx+c=0的一个根，故充分；

当方程a/+bx+c=0有一个根为1时，代入得a+b+c=0,故必要，正确；

故选：ACD.

根据不等式的范围判断4根据交集的概念判断B；全称量词命题的否定是存在量词命题判断C；将1代入方

程求解判断D.

本题考查命题真假的判断，以及充分、必要条件的判断方法，不等式的解法和简易逻辑的相关知识，属于

基础题.

11.【答案】ACD

【解析】解：对于4,因为a>0,h>0,ab—a—26=0,所以ab=a+2b,所以1=：+2，

ba

所以a+2b=(a+2b)g+$=4+£+?24+2J曰j=4+4=8，

当且仅当？=竺，即6=2,。=4时取“="，故4正确；

ba

对于B,若a+b=2,-+-+=-+^S+2>2I--+2=2「+2，

ababab7ab

当且仅当2=当，即a=24—2,b=4—2「时取"=”，故B错误；

aD

对于C,由a+b=La>0,b>0,由柯西不等式得：

(V2Q+4+Vfa4-l)2-(A/a+2•y[2+Vb+1,l)2W(a+2+b+1)(2+1)=12,

所以，■赤M+CTTW2，1,当且仅当2cm=E亘，即a=3b=J时取等号，故C正确；

V2133

对于以由良++=%得3(b+2)+3(a+l)=(a+l)(b+2),

化简得ab=a+2b+7,所以a=半?，

因为Q>0,h>0,所以b>l,

所以ab+a+b=2a+3b+7=2'+y+3b+7

b-1

=3(b-1)+8j+14>2J3(b—1).+14=6，6+14»

当且仅当3(b-l)=含，即6=口+1时取等号，

所以ab+a+b214+6V~石，故。正确.

故选：ACD.

对于4由已知得ab=a+2b,利用基本不等式可求得结果；

对于8,利用乘“1”法结合基本不等式求解即可判断；

对于C,变形后利用柯西不等式判断；

对于D,先对已知化简可得Q=普，然后代入ab+a+b中化简变形后利用基本不等式即可判断.

本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】AC

【解析】解：对于4d5(。/)=华捍=/&3竿=4(。/),当且仅当。=匕时，等号成立，所以选

项A正确；

对于B,4。(见匕)=击=辞式3骞=1前=6(见匕)，当且仅当a=b时，等号成立，所以选项8错误；

a'h

对于C,G（a，b）=Ma2'，产==竽="b）,当且仅当a=b时，等号成

立，所以选项c正确；

对于C,当n=l时，由C可知，G（a，b）N竽=Li（a,b）,所以选项。错误.

故选：AC.

根据基本不等式比较大小可判断四个选项.

本题考查了利用基本不等式比较大小的应用问题，是基础题.

13.【答案】{4}

【解析】解：••,4e4]-3a=4,或者a+2+7=4.

a

当口2一3。=4时，解得a=-1或4,当。=一1时，集合4中a+2+7=4,不满足集合中元素的互异性，

a

应舍去，所以Q=4成立.

当a+（+7=4时，解得a=-l（舍去）或a=—2,当a=—2时，集合B中「一2|=4,不满足题意，应舍去.

综上所述，a=4.

故答案为：{4}.

根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果.

本题考查元素与集合的关系及集合中元素的互异性，考查了分类讨论思想，属中档题

14.【答案】充要

【解析】解：由408=4,则4UB,故CuBUCiM，充分性成立；

由CuBUCuA，则4UB,故ADB=4必要性成立；

所以“4（18=4”是“QBUQA”的充要条件.

故答案为：充要.

根据集合之间的关系及充分、必要性定义，即可求解.

本题考查了交集和补集的定义及运算，充要条件的定义，考查了计算能力，是基础题.

15.【答案】31

【解析】解：（1）x2+mx-36=。的整数解只能是36的约数

当方程的解为一1,36时，m=-35；

当方程的解为一2,18时，m=-16；

当方程的解为一3,12时，m=-9；

当方程的解为一4,9时，m=—5；

当方程的解为-6,6时，m=0；

当方程的解为1,—36时，m=35；

当方程的解为2,-18时，m=16：

当方程的解为3,-12时，m=9；

当方程的解为4,-9时，m—5；

故集合M={-35,-16,-9,-5,0,5,9,16,35］

由非空集合4满足条件：（1）4UM,（2）若a€4,则-a€4,

可得这样的集合共有25-1=31个

故答案为：31

根据集合”={77162|/+„1%-36=0有整数解},利用韦达定理，可求出集合M,进而根据已知中集合4满

足的两个条件，可得互为相反数的两个元素同属于4,或同不属于4进而得到满足条件的集合力的个数.

本题考查的知识是集合包含关系及时应用，其中分析出4中不确定元素的组（个）数是解答的关键.

16.【答案】［?,+8）

【解析】解：显然k>。，故人中野

令贝麟论心=的+黑）

令a=4t+l>1,则t=\l.

舞可转化为：5&）=4而=去42，

于是,11+箝4（I+2）=*

k2>I，即心?时，不等式恒成立（当x=4y>0时等号成立）.

故答案为：［竽,+8）

将不等式C+/7<kJ2x+y转化为1>世需产.只要求得x+法/最大值即可.

本题考查将不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，求最值时一般是转化为基本函数解决，或用基本

不等式，或用导数求解.

17.【答案】解：由a/一(口+3)%4-3<0可得(ax-3)(%-1)<0.

(1)当a=0时，原不等式即为X-1N0,解得x31;

(2)当QH0时，解方程(ax-3)(%-1)=0可得%=(或%=1.

①当a<0时，；<1,解原不等式可得xS|或x21

②当0<a<3时，则?>1,解原不等式可得lSxS3;

③当a=3时，原不等式即为3(%-40,解得尢=1;

④当a>3时，-<1,解原不等式可得

7aa

综上所述，当a<0时，原不等式的解集为或xNl};

当a=0时，原不等式的解集为{%|%>1);

当0VQV3时，原不等式的解集为{%[1<%

当Q=3时，原不等式的解集为{1};

当a>3时，原不等式的解集为1}

【解析】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是中档题.

将所求不等式变形为(ax-3)(x-l)<0,对实数a的取值进行分类讨论，结合一次、二次不等式的解法解

原不等式，即可得解.

18.【答案】解：已知集合P={x\a+l<x<2a+l],Q=[x|-2<x<5].

(1)当a=3时，P={x|4<x<7},CRP={x<4,或x>7]

又Q={x|-2<x<5},

(CRP)n(2={x|-2<x<4};

(2)因为“xGP”是“xGQ”充分不必要条件，所以P是Q的真子集，

又(？={尤]-2W尤45).

P=0或P力0,

①当p=o时，a+l>2a+l,所以a<0；

a>0

G)当PH0时，Q+1>—2,

,2a+1<5

所以0<a<2；

当a=0时，P={1}是Q的真子集；当a=2时，P={%|3SxW5}也满足是Q的真子集，

综上所述：[a\a<2}.

【解析】(1)将a=3代入集合求解，利用集合间的关系可求(CRP)CQ；

(2)利用充要条件的定义，分类讨论集合可求实数a的取值范围.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.

19.【答案】解：(1)由题设/=(—m)2-4(2ni-3)=m2-87n+12>0,所以(6,+8)u(-8,2).

XX

(2)若方程两根为修，x2>贝4q-巧卜石，且%1+%2=瓶，12=2m-3,

222

所以。i-x2)=(X]+x2)-4/工2=m-8m+12=5,即-8m+7=0，

所以m=1或m=7,经检验满足A>0,故m=1或m=7.

A=(m-2)(m—6)>0

y<5,可得(-8,2)U(6,韵.

{/(5)=22-3m>0

【解析】(1)由A>0求参数范围即可；(2)由由-过|=/0结合韦达定理列关于m的方程，即可求参数

4>O

m

-<5

值.(3)令/'(X)=X?—wix+2m—2即可求参数范围.

7⑸>O

本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，属于中档题.

20.【答案】解：(1)由已知，当154x436时,

12o

—YQ%+8x—90190

y=---------------------------------x---------1-8

x10%

,0ri90

W8-2QJ谈•工=2o,

当且仅当拉=¥即％=3。时取等号:

/Af\八.

当W3c6,</x<40n时-4.，y=-0-.4-x-+-5-4=0.4+,5—4,

xx

•：y=0.4+?在(36,40］上单调递减，［y<0.4+|^=1.9.

•••2>1.9,

・•・当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%；

(2)由(1)可知，此时月研发经费15<x<36,

于是，令y=-六%-丝+821.9,整理得/-61x+900W0,

解得：25SxW36.

因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是{x|254xW36}.

【解析】⑴分别写出15WxW36与36<xW40时研发利润率y关于月研发经费x的函数，再由基本不等式

及函数的单调性求最值，取最大值中的最大者得结论；

(2)由(1)可得应付利润率关于研发经费x的解析式，列不等式求解x的范围即可.

本题考查根据实际问题选择函数模型，考查不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，是基础题.

21.【答案】解:(1)因为力={1,3,6},所以|1一3|=2,|1—6|=5,|3-6|=3,

所以8={2,3,5}；

(2)设A={alfa2,a3,a4,a5},不妨设0<<a2<a3<a4<a5,

因为—01v03-v。4-%V。5-，

所以B中元素个数大于等于4个，

又4={123,4,5},则8={1,234},此时B中元素个数等于4个,

所以生成集8中元素个数的最小值为4；

(3)不存在，理由如下：

假设存在4个正整数构成的集合4={a,btcfd}9使其生成集8={2,3,5,6,10,16},

不妨设0<QVb<cVd,则集合4的生成集B由b-a,c-a,d-a,c-b,d—b,d-c组成，

又d—a>c—a>b—a,d—a>d—b>d—c,c—a>c—