弯曲正应力切应力与强度条件

关于弯曲正应力切应力与强度条件§9—3梁截面上的正应力当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩

M

，又有剪力

FS。mmFSM第2页,共155页，2024年2月25日，星期天只有与正应力有关的法向内力元素dFN=dA

才能合成弯矩只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA

才能合成剪力所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力mmFSmmM

第3页,共155页，2024年2月25日，星期天一，纯弯曲梁横截面上的正应力PPaaCD++PP+PaRBRA第4页,共155页，2024年2月25日，星期天PPaaCD++PP+Pa

横力弯曲梁的横截面上同时有弯矩和剪力的弯曲。

纯弯曲梁的横截面上只有弯矩没有剪力的弯曲。横截面上只有正应力而无切应力。第5页,共155页，2024年2月25日，星期天几何取一纯弯曲梁来研究。推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式。物理静力学实验：第6页,共155页，2024年2月25日，星期天1，几何方面以及横向线相垂直的一系列的纵向线（如aa

，bb等）。aabb梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如mm

，nn等）mmnn第7页,共155页，2024年2月25日，星期天（1）变形前相互平行的纵向直线（aa

，bb等），变形后均为圆弧线（a’a’

，b’b’等)，且靠上部的缩短靠下部的伸长。梁变形后观察到的现象mmnnaabbmma’a’b'b'第8页,共155页，2024年2月25日，星期天mmnnaabbmma’a’b'b'（2）变形前垂直于纵向直线的横向线（mm,nn等）变形后仍为直线（m’m’,n’n’等），但相对转了一个角度，且与弯曲后的纵向线垂直。m’m’n’n’第9页,共155页，2024年2月25日，星期天

纯弯曲的变形特征

基本假设1:平面假设变形前为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于梁的轴线。

基本假设2:

纵向纤维无挤压假设纵向纤维间无正应力。第10页,共155页，2024年2月25日，星期天d

由平面假设可知，在梁弯曲时，这两个横截面将相对地旋转一个角度d

。用两个横截面从梁中假想地截取长为dx

的一段。公式推导第11页,共155页，2024年2月25日，星期天d

O1O2dx横截面的转动将使梁的凹边的纵向线段缩短，凸边的纵向线段伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向线段O1O2无长度改变。此层称为中性层

。O1O2的长度为dx

。第12页,共155页，2024年2月25日，星期天d

O1O2dx中性轴与横截面的对称轴成正交。中性层与横截面的交线称为中性轴

。第13页,共155页，2024年2月25日，星期天

中性层与中性轴第14页,共155页，2024年2月25日，星期天d

O1O2dx中性层中性轴横截面横截面的对称轴第15页,共155页，2024年2月25日，星期天d

O1O2dxyZx将梁的轴线取为x

轴。横截面的对称轴取为

y

轴。中性轴取为

z

轴。第16页,共155页，2024年2月25日，星期天d

O1O2dx

BB1

d

d

y作O2B1

与

O1A

平行。在横截面上取距中性轴为y

处的纵向线

AB。

为中性层上的纵向线段O1O2

变弯后的曲率半径。O2B1的长度为y

。Ay第17页,共155页，2024年2月25日，星期天d

O1O2dx

AByB1

d

d

ydxAB1为变形前AB

的长度B1B

为AB1的伸长量

AB1

为A点的纵向线应变。第18页,共155页，2024年2月25日，星期天d

O1O2dx

AByB1

d

d

dxy中性层的曲率为第19页,共155页，2024年2月25日，星期天d

O1O2dx

AByB1

d

d

dxydx因而，横截面上到中性轴等远的各点，其线应变相等。该式说明，

和y

坐标成正比,第20页,共155页，2024年2月25日，星期天d

O1O2dx

AByB1

d

d

dxydxxyZOy第21页,共155页，2024年2月25日，星期天2，物理方面纯弯曲时横截面上各点处的处于单轴应力状态。材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等。由单轴应力状态下的

胡克定律可得物理关系假设：=E第22页,共155页，2024年2月25日，星期天上式为横截面上

正应力变化规律的表达式。第23页,共155页，2024年2月25日，星期天上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离

y

成正比；OxyZy1在距中性轴为y的同一横线上各点处的正应力均相等。y第24页,共155页，2024年2月25日，星期天M需要解决的问题如何确定中性轴的位置？如何计算

?中性轴第25页,共155页，2024年2月25日，星期天yZxOM3，静力学方面在横截面上法向内力元素

dA

构成了空间平行力系。dAZydAdA

1dA第26页,共155页，2024年2月25日，星期天yZxOMdAZydA该空间平行力系简化为x轴方向的主矢对y轴和z

轴主矩第27页,共155页，2024年2月25日，星期天该梁段各横截面上FN

和My均等于零，而Mz就是横截面上的弯矩M。yZxOMdAZydA第28页,共155页，2024年2月25日，星期天第29页,共155页，2024年2月25日，星期天中性轴必通过横截面的形心中性轴过截面形心且与横截面的对称轴y垂直第30页,共155页，2024年2月25日，星期天yyZZ中性轴中性轴CC第31页,共155页，2024年2月25日，星期天中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。MMyyCZCZ中性轴中性轴拉拉压压第32页,共155页，2024年2月25日，星期天因为y轴是横截面的对称轴，所以Iyz

一定为零。该式自动满足中性轴是横截面的形心主惯性轴第33页,共155页，2024年2月25日，星期天EIz称为截面的抗弯刚度第34页,共155页，2024年2月25日，星期天M

横截面上的弯矩。该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式y

求应力点的y

坐标。式中：横截面对中性轴的惯性矩。Iz第35页,共155页，2024年2月25日，星期天

由于推导过程并未用到矩形截面条件，因而 公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且 载荷作用在对称面内的情况。公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截 面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。公式是从纯弯曲梁推得，是否适用于一般情 形（横力弯曲）？

公式的适用性第36页,共155页，2024年2月25日，星期天横力弯曲时的正应力横力弯曲时横截面上有切应力（翘曲）平面假设不再成立此外,横力弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立.由弹性力学的理论，有结论：当梁的长度l与横截面的高度h的比值:则用纯弯曲的正应力公式计算横力弯曲时的正应力有足够的精度。

l/h>5

的梁称为细长梁。第37页,共155页，2024年2月25日，星期天4，讨论

（1）应用公式时，一般将

M，y

以绝对值代入。根据梁变形的实际情况直接判断

的正，负号。以中性轴为界

梁变形后凹入边的应力为压应力（

为负号）梁变形后凸出边的应力为拉应力（

为正号）第38页,共155页，2024年2月25日，星期天MMyyCZCZ中性轴中性轴（2）横截面中性轴上各点的正应力最小。且

min=0第39页,共155页，2024年2月25日，星期天（3）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处第40页,共155页，2024年2月25日，星期天

中性轴为对称轴ZyCM

tmax

Cmax压拉第41页,共155页，2024年2月25日，星期天ZyCM

tmax

Cmax压拉用ymax

表示最大拉（压）应力点到中性轴的距离。第42页,共155页，2024年2月25日，星期天ZyCM

tmax

Cmax压拉WZ称为抗弯截面模量。第43页,共155页，2024年2月25日，星期天中性轴是对称轴的梁横截面上最大正应力的计算公式为第44页,共155页，2024年2月25日，星期天yzhb矩形截面的抗弯截面系数第45页,共155页，2024年2月25日，星期天圆形截面的抗弯截面系数dyz第46页,共155页，2024年2月25日，星期天M矩形截面梁横截面上正应力分部图第47页,共155页，2024年2月25日，星期天zy

对于中性轴不是对称轴的横截面M

tmax

Cmax第48页,共155页，2024年2月25日，星期天zyM

tmax

Cmax应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离ytmax

和

yCmax

直接代入公式。求得相应的最大拉应力和最大压应力。第49页,共155页，2024年2月25日，星期天zyM

tmax

Cmax第50页,共155页，2024年2月25日，星期天803565202080z例题：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。求横截面最大拉应力

t，max，和最大压应力

C，max，已知，Iz=290.610-8mm4P1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m第51页,共155页，2024年2月25日，星期天解：支座反力为RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m画出弯矩图。803565202080z第52页,共155页，2024年2月25日，星期天RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z+-2.53CB最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上第53页,共155页，2024年2月25日，星期天RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z+-2.53CB

B截面{第54页,共155页，2024年2月25日，星期天RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z+-2.53CBC截面第55页,共155页，2024年2月25日，星期天RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z

t,max=56.0MPa

发生在C截面的下边缘可见，

C,max=67.1MPa

发生在B截面的下边缘第56页,共155页，2024年2月25日，星期天RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z56.030.267.136.1第57页,共155页，2024年2月25日，星期天重点、难点正应力公式：中性轴是对称轴的梁横截面上最大正应力的计算公式为第58页,共155页，2024年2月25日，星期天梁弯曲的正应力强度条件：◆中性轴是横截面对称轴：◆中性轴不是横截面对称轴：第59页,共155页，2024年2月25日，星期天作业9-8；9-9第60页,共155页，2024年2月25日，星期天回顾中性层的曲率公式：纯弯曲梁横截面上的正应力公式：横力弯曲时的正应力：第61页,共155页，2024年2月25日，星期天xydydzabdzdxc

切应力互等定理：单元体两个相互垂直平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力必定成对出现，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线。第62页,共155页，2024年2月25日，星期天图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用。9-5弯曲切应力P2P1q(x)一、矩形截面梁第63页,共155页，2024年2月25日，星期天横力弯曲时,横截面上既有正应力,又有切应力。推导切应力公式的方法：假设切应力的分布规律，然后根据平衡条件求出矩形截面梁的切应力分布假设：切应力。按截面形状，分别讨论。(1)各点切应力方向平行于剪力FS;(2)切应力沿宽度均匀分布。第64页,共155页，2024年2月25日，星期天（1）推导公式的思路MM+dMFSFS1假想地用横截面m—m,

n—n

从梁中截取dx

一段。两横截面上均有剪力和弯矩。F2q(x)F1mmnnxdxmmnn弯矩正应力，剪力切应力。第65页,共155页，2024年2月25日，星期天两横截面上的弯矩不等

。所以两截面上到中性轴距离相等的点（用y

表示）其正应力也不等。正应力（）分布图mmnnMM+dMFSFSmmnny第66页,共155页，2024年2月25日，星期天mnnmohbdxxyz2假想地从梁段上截出体积元素mB1ABA1B1y要求m-m面上距中性轴为y处的AA1线上任意点处的切应力τ。假设τ在横截面的横线AA1

上有相等的切应力

，且方向都与剪力方向平行。第67页,共155页，2024年2月25日，星期天yxzyBmnAB1A1dxmnnmohbdxxyzyABA1B1ττ因为微元段dx

的长度很小，所以假设切应力在AB1

面上均匀分布。根椐切应力互等定理，AB1

面的

AA1线各点处有切应力且

第68页,共155页，2024年2月25日，星期天y体积元素mB1在两端面mA1

,nB1

上两个法向内力不等。3mnnmohbdxxyzyABA1B1xzyBmnAB1A1dxττ第69页,共155页，2024年2月25日，星期天4在纵截面AB1上必有沿x

方向的切向内力dFS。yxzyBmnAB1A1dxdFSmnnmohbdxxyzyABA1B1ττ切应力第70页,共155页，2024年2月25日，星期天yxzyBmnAB1A1dxdFSmnnmohbdxxyzyABA1B1第71页,共155页，2024年2月25日，星期天由静力平衡方程，求出dFS。推导公式的步骤1和分别求出横截面mA1和nB1上正应力的合力234dFS除以AB1

面的面积得纵截面上的切应力

。

由此得到横截面上距中性轴为任意y的点上的切应力

。yxzyBmnB1A1AdFSdxb第72页,共155页，2024年2月25日，星期天（2）公式推导yxzBmnAB1A11求N1*

和N2*

假设m—m,n—n上的弯矩为M

和M+dM

。两截面上距中性轴y1

处的正应力为

1

和

2。y1dA第73页,共155页，2024年2月25日，星期天yxzBmnAB1A1用A*

记作mA1的面积Sz*是面积A*对中性轴z的静矩。A*y1第74页,共155页，2024年2月25日，星期天yxzBmnAB1A1A*y1同理第75页,共155页，2024年2月25日，星期天2由静力平衡方程求dFSyxzBmnAB1A1dFS第76页,共155页，2024年2月25日，星期天yxzBmnAB1A13求纵截面AB1上的剪应力’dxbdFS第77页,共155页，2024年2月25日，星期天yxzBmnAB1A1dxb4横截面上距中性轴为任意y的点，其切应力

的计算公式。dFS第78页,共155页，2024年2月25日，星期天上式为

矩形截面梁对称弯曲时横截面上任一点处的切应力计算公式。第79页,共155页，2024年2月25日，星期天Iz—横截面对中性轴的惯性矩b—矩型截面的宽度

—其方向与剪力FS的方向一致FS

—横截面上的剪力第80页,共155页，2024年2月25日，星期天ZbySz*—过求切应力的点做与中性轴平行的直线，该线任一边的横截面面积A*

对中性轴的静矩。y第81页,共155页，2024年2月25日，星期天3，切应力沿截面高度的变化规律

沿截面高度的变化由静矩Sz*

与y

之间的关系确定。第82页,共155页，2024年2月25日，星期天nBmAxyzOyA*第83页,共155页，2024年2月25日，星期天nBmAxyzOyy1dy1b第84页,共155页，2024年2月25日，星期天可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化。第85页,共155页，2024年2月25日，星期天

处，（即在横截面上距中性轴最远处)，切应力等于零y=0处，(

即在中性轴上各点处），切应力达到最大值第86页,共155页，2024年2月25日，星期天式中，

A=bh

,为矩形截面的面积。

max矩形截面剪应力沿截面高度的变化如图所示。第87页,共155页，2024年2月25日，星期天z截面静矩的计算方法AA为截面面积yC为截面的形心坐标yC第88页,共155页，2024年2月25日，星期天例题:矩形截面外伸梁如图所示.试求:(1)横截面1-1上点1处的应力;(2)横截面2-2上点2,3,4处的应力;(3)以单元体分别示出各该点处的应力状态(应力)情况.FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz第89页,共155页，2024年2月25日，星期天FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz解：(1)点1处的应力1-1截面的内力第90页,共155页，2024年2月25日，星期天FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz1第91页,共155页，2024年2月25日，星期天FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz解：(1)点2，3，4处的应力2-2截面的内力第92页,共155页，2024年2月25日，星期天FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz2第93页,共155页，2024年2月25日，星期天FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz3第94页,共155页，2024年2月25日，星期天FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz3第95页,共155页，2024年2月25日，星期天二，工字形截面

0b1z

0b1腹板1，腹板上的切应力下翼缘上翼缘第96页,共155页，2024年2月25日，星期天

0b1z

0b1A*—过欲求应力点的水平线，到截面边缘的距离。FS

—横截面上的剪力。Iz—横截面对中性轴的惯性矩b1—截面的宽度Sz—面积A*

对中性轴的静矩A*腹板下翼缘上翼缘第97页,共155页，2024年2月25日，星期天切应力沿腹板高度按抛物线规律分布。最大的切应力

max仍发生在截面的中性轴上。

max

0b1z

0b1腹板下翼缘上翼缘第98页,共155页，2024年2月25日，星期天

0b1z

0b12，翼缘上的切应力翼缘上的切应力有竖向切应力分量和水平切应力分量。本书只介绍水平切应力的计算方法及其方向的判定。K腹板下翼缘上翼缘第99页,共155页，2024年2月25日，星期天翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀分布的，其计算公式为：

0b1z

0b1K第100页,共155页，2024年2月25日，星期天

0b1z

0b1FS——

截面上的剪力Iz——截面对中性轴的惯性矩Sz——欲求应力点到翼缘边缘间的面积A*

对中性轴的静矩

0——翼缘的厚度y0zKA*第101页,共155页，2024年2月25日，星期天Sz与z

成线性关系，所以

max沿水平方向成直规律分布。

0z

0b1zKy0第102页,共155页，2024年2月25日，星期天3，切应力流翼缘上的水平切应力方向与腹板上的竖向切应力方向之间存在着一定的规律，该规律就是组成“切应力流”。既截面上切应力方向就象水管中主干管与支管中的水流的方向一样。

0z

0b1zKy0第103页,共155页，2024年2月25日，星期天

yZbd第104页,共155页，2024年2月25日，星期天对所有开口薄壁截面，其横截面的切应力方向均符合“切应力流”的规律。第105页,共155页，2024年2月25日，星期天二，其它形状截面1，T字型截面z

max下面的狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分的切应力公式仍为最大切应力仍发生在中性轴上。第106页,共155页，2024年2月25日，星期天2，圆形及环形截面圆形及薄壁环形其最大竖向切应力也都仍发生在中性轴上。并沿中性轴均匀分布。圆形截面薄壁环形截面zzZFsτmax第107页,共155页，2024年2月25日，星期天圆形截面薄壁环形截面A2——薄壁环形截面的面积。FS

——截面上的剪力；A1

——圆形截面的面积；zz第108页,共155页，2024年2月25日，星期天例题：图示T形截面梁：

求FS,max

所在横截面上腹板内切应力的最大值

max；

绘出该横截面腹板内切应力的变化图。803565202080zP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1mIz=290.610-8mm4第109页,共155页，2024年2月25日，星期天803565202080zP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m解：（1）画剪力图，计算最大切应力++-32.55.5第110页,共155页，2024年2月25日，星期天803565202080zP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m第111页,共155页，2024年2月25日，星期天803565202080zP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m（2）画腹板内切应力的变化图求腹板上与翼缘交界处的切应力第112页,共155页，2024年2月25日，星期天803565202080z3.794.00第113页,共155页，2024年2月25日，星期天9-6梁的强度条件等直梁横力弯曲时，某一横截面上的最大正应力发生在距中性轴最远的位置。一，梁的正应力强度条件第114页,共155页，2024年2月25日，星期天梁上最大的正应力发生在弯矩最大的截面上距中性轴最远的位置第115页,共155页，2024年2月25日，星期天梁的正应力强度条件为：梁的横截面上最大工作正应力

max

不得超过材料的许用弯曲正应力[]

即第116页,共155页，2024年2月25日，星期天1，对于中性轴为对称轴的截面Wz

称为抗弯截面系数正应力强度条件为第117页,共155页，2024年2月25日，星期天2，对于中性轴不是对称轴的截面比如铸铁等

脆性材料

制成的梁，由于材料的（两者有时并不发生在同一横截面上）且梁横截面的中性轴

一般也不是对称轴，所以梁的第118页,共155页，2024年2月25日，星期天要求梁上最大的拉应力和最大的压应力分别不超过材料的许用拉应力

和

许用压应力

。正应力强度条件为第119页,共155页，2024年2月25日，星期天（1）可对梁按正应力进行强度校核3，正应力强度条件解决三方面问题（中性轴是对称轴）（中性轴不是对称轴）第120页,共155页，2024年2月25日，星期天（2）选择梁的截面（3）确定梁的许可荷载第121页,共155页，2024年2月25日，星期天二、梁的切应力强度条件梁上最大切应力

max一定发生在最大剪力FSmax的横截面上，且一般说是位于该截面的中性轴上。全梁各横截面中最大切应力可统一表达为第122页,共155页，2024年2月25日，星期天b——

横截面在中性轴处的宽度Fsmax——全梁的最大剪力Iz——

整个横截面对中性轴的惯性矩——中性轴一侧的半个横截面面积对中性轴的静矩第123页,共155页，2024年2月25日，星期天梁除满足正应力强度外，还需满足剪应力强度。对于横力弯曲下的等直梁，其横截面上一般既有弯矩又有剪力。梁上最大正应力发生在弯矩最大的横截面上距中性轴最远的各点处。而梁上最大的切应力发生在剪力最大的横截面上中性轴的各点处

。第124页,共155页，2024年2月25日，星期天梁的最大切应力一般在最大剪力所在横截面的中性轴上各点处，这些点的正应力

=0梁的切应力强度条件为式中：[]

为材料在横力弯曲时的许用剪应力。为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩第125页,共155页，2024年2月25日，星期天在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按切应力进行强度校核。第126页,共155页，2024年2月25日，星期天例题：一简支梁受四个集中荷载P1=120KN，P2=30KN，P3=40KN，P4=12KN。此梁由两根槽钢组成，已知梁的许用应力

=170MPa，=100MPa。试选择槽钢型号。zyo0.60.40.40.32.4ABP1P2P3P4第127页,共155页，2024年2月25日，星期天RARB解：支座反力为RA=138KNRB=64KNzyo0.60.40.40.32.4ABP1P2P3P4第128页,共155页，2024年2月25日，星期天画内力图FS,max=138KNMmax=62.4KN.55.262.45438.4第129页,共155页，2024年2月25日，星期55.262.45438.4（1）由正应力强度条件选择槽钢型号根据正应力强度条件公式，此梁所需要的抗弯截面系数为第130页,共155页，2024年2月25日，星期天每一槽钢所需要的抗弯截面系数为从型钢表中选用

20号槽钢，其抗弯截面系数为能满足上列强度要求第131页,共155页，2024年2月25日，星期天20075100119（2）校核最大切应力第132页,共155页，2024年2月25日，星期天由型钢表查得20号槽钢的Iz=19100cm4。由此可见，所选的20号槽钢满足正应力强度条件，也满足切应力强度条件，因而可用。由于梁是由两根槽钢组成，故每一根槽钢分担的最大剪力为第133页,共155页，2024年2月25日，星期天80y1y22020120z例题：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉许用应力为[

t]=30MPa,抗压许用应力为[

C]=160MPa

。已知截面对形心轴Z的惯性矩为Iz=763cm4,y1=52mm,校核梁的强度。

P1=9KNP2=4KNAcBD1m1m1m第134页,共155页，2024年2月25日，星期天解：支座反力为RARBP1=9KNP2=4KNAcBD1m1m1m画出弯矩图。80y1y22020120z第135页,共155页，2024年2月25日，星期天最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上+-2.54CBP1=9KNP2=4KNRARBAcBD1m1m1m80y1y22020120z第136页,共155页，2024年2月25日，星期天+-2.54CB80y1y22020120z

B截面{P1=9KNP2=4KNRARBAcBD1m1m1m第137页,共155页，2024年2月25日，星期天+-2.54CB80y1y22020120zC截面P1=9KNP2=4KNRARBAcBD1m1m1m第138页,共155页