2022-2023学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷（附答案详解）

2022-2023学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.二次函数y=（比一1）2的顶点坐标是（）

A.（0,-1）B.（0,1）C.（-1,0）D.（1,0）

2.如果两个相似多边形的面积比为4：9,那么它们的周长比为（）

A.4：9B.2：3C，AA2：73D.16：81

3.如图，点A,B,C在。。上，入4cB=35。，贝此/lOB的度数是（）

4.如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，A8的长为12米，A8与AC的夹角为a,则高8（7是（）

5.有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弦所对圆周角相等；③圆中90。的角所对的弦是直径；④相

等的圆心角对的弧相等.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图：aABC中，P是边上一点（与4、2不重合），过点P作直线截AABC,所截得的三角形与原△

ABC相似，满足这样条件的直线共有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

7.已知电灯电路两端的电压U为220V,通过灯泡的电流强度/（A）的最大限度不得超过0.114设选用灯泡的

电阻为R（O）,下列说法正确的是（）

A.R至少2000。

B.R至多2000。

C.R至少24.2。

D.R至多24.2。

8.如图1,作NBPC平分线的反向延长线PA,现要分别以乙4PB,NAPC,N8PC为内角作正多边形，且边

长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案.例如，若以NBPC为内角，可作出一个边

长为1的正方形，止匕时NBPC=90°,而q=45。是360。（多边形外角和）的看这样就恰好可作出两个边长

均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示.图2中的图案外轮廓周长是14.在

所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是（）

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9.二次函数y=X2-6X+5的图象与x轴交点坐标是.

10.如图，在平面直角坐标系中，点4（3,4）为O。上一点，2为。。内一点，请写出一个符合条件要求的点

11.已知扇形的弧长为2兀，半径为8,则此扇形的圆心角为________度.

12.将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点，线在同一平面内），图中相似而不全

等的三角形有对.

13.如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的。。的圆心。在格点上，贝吐4ED的正切值

14.已知（一1,%），（2,、2）在二次函数3/=*2-2*+7?1的图象上，比较为_______%,（填＞、＜或=）

15.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板。所测量树的高度AB,他调整自己的位置，设法使斜边

保持水平，并且边QE与点8在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40si,EF=20cm,测得边

Of'离地面的高度4c=1.5m,CD=8m,则树高AB=m.

16.如图，是一张直角三角形的纸片，ZC=90°,AC=4,BC=3,现在小牧将三角形纸片折叠三次.第

一次折叠使得点A落在点C处；将纸片展平再做第二次折叠，使得点2落在点C处；再将纸片展平之后,

再做第三次折叠，使得点A落在点8处.这三次折叠的折痕长度依次记为a,b,c,请你比较a,b,c,

的大小，并用不等号连接

三、计算题(本大题共1小题，共5分)

17.计算：4cos45°+(—1)。—+|2—V-2|.

四、解答题(本大题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18.(本小题5分)

如图，已知反比例函数y=5的图象与一次函数y=-％+b的图象交于点4(1,4),点8(4,九).

(1)求〃和6的值;

(2)观察图象，不等式+b的解集为

如图在Rt△48c中，乙4cB=90。，。是边AB的中点，BE1CD,垂足为点E.己知AC=6,cos/1=

(1)求线段。的长；

(2)求COSNDBE的值.

A

D

20.(本小题5分)

已知二次函数y=/+/)x+c的图象经过4(2,0),8(-1,0)两点，求这个二次函数的解析式.

21.(本小题5分)

如图，已知A8是半圆。的直径，点P是半圆上■点，连结8P,并延长8尸到点C,使PC=8P,连结力C.

(1)求证：AB=AC.

(2)若4B=4,^ABC=30°,求阴影部分的面积.

22.(本小题5分)

如图，已知。是BC的中点，M是的中点.求AN：NC的值.

23.(本小题5分)

已知双曲线、1=(与抛物线＞2=£1/+6久+3交于2(2,3),B(m,2),C(-3,n)三点.

⑴求"7和n的值；

(2)在平面直角坐标系中描出上述两个函数图象的草图，并根据图象直接写出：当月＞为时，x的取值范

围？

y八

5-

4

3-

2-

一5一4—3—2—1。12345i

-1

-2-

一3-

一4-

-5-

24.（本小题5分）

如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图.量得托板长AB=120nun,支撑板长CD=

80mm,底座长DE=90mni.托板A8固定在支撑板顶端点C处，且CB=40nwi,托板A8可绕点C转

动，支撑板。可绕点。转动.如图2,若〃CB=90。，"DE=60。，求点A到底座DE的距离.（结果

保留根号）

图1图2

25.（本小题7分）

如图1,是某景区的一个标志性建筑物一一拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度

为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出

的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度.

26.(本小题7分)

如图，。。是直角三角形A8C的外接圆，直径4C=4,过C点作O。的切线，与A8延长线交于点。，M

为的中点，连接OM,且与。/相交于点N.

(1)求证：8M与O。相切；

(2)当〃=60。时，在。。上取点F,使乙4BF=15。，求点P到直线48的距离.

27.(本小题7分)

如图，抛物线、1=a/一2%+(；的图象与；1轴的交点为&和8,与y轴交点为D(0,3),与直线%-3

交点为A和C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线%=-比-3上是否存在一点M,使得AABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，

如果不存在，请说明理由；

(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点冗点P向右平移4个单位长度得到点

G,点G向上平移4个单位长度得到点H,若四边形EFG”与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标

益的取值范围.

A\0\\Bx

28.(本小题7分)

在平面直角坐标系尤Oy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点。在图形N上，如果PQ两点间的距

离有最小值，那么称这个最小值为图形M,N的“近距离”，记为d(M,N).特别地，当图形M与图形N有

公共点时，d(M,N)=0.

已知4(一4,0),B(0,4),C(-2,0),

⑴火点A,点、B)=,d(点4线段BC)=；

(2)O。半径为r.

①当r=1时，O。与线段的“近距离”d(O。，线段4B)=；

②若d(O0,A48C)=1,求。。的半径r的长.

yA

5-

4

3

2

1

>

-5-4-3-2-1.012345x

-1

-2

-3

-4

-5

答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标.

【解答】解：因为y=(%-I/是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为(1,0).

故选：D.

2.【答案】B

【解析】【分析】直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可.

【解答】解：•••两个相似多边形面积的比为4：9,

••.这两个相似多边形周长的比是2：3.

故选：B.

3.【答案】B

【解析】【分析】直接根据圆周角定理求解.

【解答】解：：UCB=35。，

AAOB=2乙ACB=70°.

故选：B.

4.【答案】A

【解析】【分析】直接根据乙4的正弦可得结论.

【解答】解：RtAABC^,sina=^,

AD

•••AB=12米，

BC=12sina(米).

故选：A.

5.【答案】A

【解析】【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据圆周角定理对②③进行判断；根据圆心角、弧、弦

的关系对④进行判断.

【解答】解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；

在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，所以②错误；

90。的圆周角所对的弦是直径，所以③错误；

在同圆或等圆中，相等的圆心角对的弧相等，所以④错误.

故选：A.

6.【答案】D

【解析】【分析】两个角对应相等的两个三角形互为相似三角形，两边对应成比例，夹角相等的两个三角

形互为相似三角形.

【解答】解:

图1图2图3图4

(1)如图1,作PE平行于8C,则A4PE相似于△ABC,

(2)如图2,作PE平行于AC,则APBE相似于AABC,

(3)如图3,作PE,使AE：AB=AP：AC,

(4)如图4,作PE,使BP：BC=BE：BA.

故选：D.

7.【答案】A

【解析】【分析】利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论.

【解答】解：•.•电压U一定时，电流强度/缶)与灯泡的电阻为R(。)成反比例，

,u

・••/=R-

,•・已知电灯电路两端的电压U为220匕

,220

"=而

•・・通过灯泡的电流强度/Q4)的最大限度不得超过0.1L4,

220，八。

—<0.11,

K

・♦・R>2000.

故选：A.

8.【答案】C

【解析】【分析】设立8尸。=2%,先表示中间正多边形的边数：外角为180。-2%,根据外角和可得边数

=嘉号，同理可得两边正多边形的外角为X，可得边数为些计算其周长可得结论.

180—2%x

【解答】解：设NBPC=2%,

以N8PC为内角的正多边形的边数为：箫"=罂，

180—2%90—%

以NAPB为内角的正多边形的边数为：—,

X

・••图案外轮廓周长是：萨—2+出—2+%—2=黑+3—6,

90—%xx90—%x

根据题意可知：2x的值只能为60。,90°,120°,144°,

.•・当尤=30时，周长最大，此时图案定为会标，

则会标的外轮廓周长是：段+甯-6=21,

yu—3U3U

故选：C.

9.【答案】(1,0),(5,0)

【解析】【分析】令y=o,解一元二次方程即可.

【解答】解：令y=0,则久2-6x+5=0,

解得无1=1,X2=5,

・•.这个函数图象与工轴的交点坐标为(1,0),(5,0).

故答案为：(1,0),(5,0).

10.【答案】(2,2)(答案不唯一)

【解析】【分析】连接根据勾股定理可求。4再根据点与圆的位置关系可得一个符合要求的点8的

坐标.

OA=,32+42=5,

B为O。内一点，

.・.符合要求的点2的坐标（2,2）,答案不唯一.

故答案为：（2,2）（答案不唯一）.

11.【答案】45

【解析】【分析】利用弧长公式计算即可.

【解答】解：设圆心角为rT

由题意，=2兀，

loU

解得7?=45,

故答案为：45.

12.【答案】3

【解析】【分析】根据相似（不包括全等）三角形的判定可以得出结论.

【解答】解：和AAGF都是等腰直角三角形，

乙B="4G=45°,

.­./.BAE=^ADE=45°+4BAD；

・•・△E4。和AEBA中，N2ED是公共角，

•••△ADESABAE,

同理，可得

BAE^LCDA.

・••图中相似而不全等的三角形有：AADES^BAE,ACDA^^ADE,ABAE^ACDA.

故答案为：3.

13.【答案】1

【解析】【分析】在RtAABC中，易知N4BC的正切值为（根据圆周角定理可得，AAED=^ABC,由此

可求出N4ED的正切值.

【解答】解：在RtZkABC中，AC=1,AB=2,

tstnZ.ABC="TT=—,

ADL

•••Z-AED=乙ABC,

1

••・tanZ-AED=tanZ.ABC=彳

故答案为：I.

14.【答案】>

【解析】【分析】先得到抛物线的对称轴为直线久=1,根据二次函数的性质，通过点与对称轴距离的远

近来比较函数值的大小.

【解答】解：由抛物线y-x2-2x+m可知对称轴x=-云5=1>

•••抛物线开口向上，点(-1,%)到对称轴的距离大于点(2,%)到对称轴的距离，

71>y2-

故答案为：>.

15.【答案】5.5

【解析】【分析】

本题考查相似三角形的应用，

先证得△EDF^ACDB,再利用相似三角形的性质求出AB的长即可.

【解答】

解：DE=40cm=0.4m,EF=20cm=0.2m,

根据“两角对应相等的两个三角形相似"，可知AEDFSACDB,

则些=些即竺±=且，

EFDE'0.20.4

解得48=5.5m.

故答案为55

16.【答案】b>c>a

【解析】【分析】由图1,根据折叠得：DE是线段AC的垂直平分线，由中位线定理的推论可知：DE是

△4BC的中位线，得出£)£的长，即。的长；

由图2,同理可得：是△ABC的中位线，得出MN的长，即6的长；

由图3,根据折叠得：GH是线段的垂直平分线，得出AG的长，再利用两角对应相等证△ACBs4

AGH,利用比例式可求GH的长，即c的长.

【解答】解：第一次折叠如图1,折痕为。区

11

由折叠得：AE=EC=^AC=^X4=2,DE1AC,

•••乙ACB=90°,

・•.DE//BC,

113

...a=DE=泗=/3=会

第二次折叠如图2,折痕为MN,

1-10

由折叠得：BN=NC=.BC=汴3=左MNIBC,

•••^ACB=90°,

・•.MN//AC,

1i

b=MN=^AC==2；

1q

由折叠得：AG=BG=|,GH1AB,

・•.AAGH=90°,

•••Z.A=Z-A,Z,AGH=乙ACB,

•••△ACBs>AGH,

tAC_BC

AGGH

43

,*5=而，

2

b>c>a,

故答案为：b>c>a.

17.【答案】解：原式=4x苧+1—2A/-2+2-V-2,

=2y[2+1-2<2+2-72,

=3—V-2.

【解析】本题涉及零指数暴、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简4个考点.在计算时，需要针

对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

18.【答案】解：(1)把A点(1,4)分别代入反比例函数y=g一次函数丫=一久+6,

得k=1x4,-1+b=4,

解得左=4,b=5,

•.,点8(4,71)也在反比例函数y=:的图象上，

n=7=1；

4

(2)%>4或0<%V1.

【解析】(1)把点A坐标分别代入反比例函数y=§一次函数旷=一久+b,求出公b的值，再把点8的坐

标代入反比例函数解析式求出”的值，即可得出答案;

(2)根据A、B的坐标结合图象即可得出答案.

19.【答案】解：⑴•.•在RtA4BC中,乙4c8=90。，

AAC3

-'-COSA=A^=5

设"=3k,则=Sk,

・•.BC=AB2-AC2=4k，

•••AC=6,

1•3k=6,k=2,

•••AB—10,

・・・O是边AB的中点,

1

・•.CD=^AB=5；

(2)过C点作于F.

CF=AC-BC^AB=4.8,

CF4.824

cosWCF=—=-=-

•••Z-DCF=乙DBE,

24

•••cosZ-DBE=汨.

【解析】(1)在中，先根据三角函数求出A3、AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半，即可求出CD的长；

(2)过。点作CF148于凡求出。尸的长，再根据余弦的定义即可求解.

20.【答案】解：•.,二次函数y=4+如+c的图象经过4(2,0),8(-1,0)两点，

.(4+2b+c=0

tl-Z)+c=0'

lc=—2

・•・二次函数的解析式为y=x2-x-2.

【解析】由待定系数法可求出答案.

21.【答案】(1)证明：连接AP,

•••48是半圆。的直径，

••・乙APB=90°,

・•.AP1BC.

•・•PC=PB,

△ABC是等腰三角形，即=AC；

(2)解:连接0尸，

•・•/,ABC=30°,

・•.Z.PAB=60°,

・•・乙POB=120°.

•・,点O是AB的中点，

SAPOB~5s=5X540,PB=-X2X2y/~3—V-3,

,,,S阴影-S牖施0P_SAPOB

【解析】(1)连接AP,由圆周角定理可知N4PB=90。，故力P1BC,再由PC=PB即可得出结论；

(2)连接OP,根据直角三角形的性质求出AP4B的度数，由圆周角定理求出NPOB的长，根据S幻影

S扇形BOP-SAPOB即可得出结论•

22.【答案】解：过。作DE〃引V,交AC于E,

A

・•.EN=CE,

vMN//DE,M是A。的中点,

AM=DM,AN=EN,

.・.AN=EN=CE,

AN：NC=1：2.

【解析】过。作。E〃8N交AC于E,根据。是5C的中点得：EN=CN,同理得AN=EN,可得结论.

23.【答案】解：（1）把4（2,3）代入、1=?得k=2x3=6,

则反比例函数的解析式是y=p

把B（m,2）代入y=?得租=3,

把（一3,几）代入y=（得几=一2；

当Vi>乃时，X的取值范围是：。<x<2或x<一3或x>3.

【解析】（1）首先把A的坐标代入解析式即可求得反比例函数解析式，然后把8和C的坐标代入反比例函

数解析式即可求得相和w的值；

（2）作出函数图象，根据图象即可解答.

24.【答案】解：过A作4MIDE,交即的延长线于M,过C作CF14M于E过C作CN10E,

图2

由题意知，AC=80mm,CD=80mm,Z.DCB=90°,Z.CDE=60°,

在Rt△CDN中,CN=CD-sin^CDE=80x芋=404(血血)，乙DCN=90°-60°=30°,

•••乙DCB=90°,

・•・乙BCN=90°—30°=60°,

vAMIDEfCN1DE,

・•.AM//CN,

•••乙4=乙BCN=60°,

・•・乙4CF=90°-60°=30°,

t-1

在RtAAFC中,AF=AC-smZ-ACF=80X-=40(mm),

由图知四边形MNCF为矩形，

FM-CN=40V-3(mm),

AM=AF+FM=(40+40V^)mm,

•••点A到底座DE的距离为(40+4073)mm.

【解析】过点A和点C作垂线，构造RtACDN和Rt△4FC,利用直角三角形的边角关系，求出CMAF,

即可求出点A到直线DE的距离.

25.【答案】解：如图所示建立平面直角坐标系,

此时，抛物线与X轴的交点为C(—100,0),以100,0).

设这条抛物线的解析式为y=a(x-100)(%+100),

•••抛物线经过点8(50,150),

150=a(50-100)(50+100),

解得a=―亲

抛物线的解析式为y=-春(久—100)(%+100),

当x=0时，y=200,

•••拱门的最大高度为200米.

【解析】以的中垂线为y轴，C。所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出3,C,D坐标，设出

抛物线解析式，用待定系数法求出函数解析式，再令x=0,求出y的值即可.

26.【答案】(1)证明：如图1,连接08,

•••线段AC是直径，

.­./.ABC=/.DBC=90°.

在RtADBC中，M为CD的中点，

BM=MC,

.­.乙MBC=乙MCB.

又•••OB=OC,

Z.OCB=Z-OBC.

•••CD为切线，

AACD=90°.

.­.乙MCB+/.OCB=4MBe+"BC=90°,即。B1BM,

•；OB1BM,为半径，

BM与。。相切；

(2)解：①如图1：乙4BF=15。时，乙4OF=30。，过点。作。HlAB,过E作尸P10H,FG1BA,连接

FO,

图1

/.A=60°,Z.AOB=60°,

AAAOH=30°,

.­•乙FOP=60°.

RtAFP。中，AFOP=60",OF=2,

OP=1.

RthAOH^,AO=2,^AOH=30°,

OH=<3,

FG=HP=6—1.

②如图2：NABF=15。时，AAOF=30",等边AdB。中，OE平分N40B,

OF1AB.

RthAOH^,AO=2,^AOH=30°,

OH=

：.FH=2-/3.

综上所述，点歹到直线A3的距离是，1或2-

DA/

图2

【解析】(1)连接OB,知NOCB=4OBC,由直角三角形性质知BM=CM=DM,得4MBC=Z.MCB,依

据。是。。的切线知NOCB+NDCB=90。，据此可得NOBC+NMBC=90。，可得结论；

(2)需要分类讨论：点尸在凝和点尸在念上两种情况，利用等边三角形AQB的性质和垂径定理解答.

27.【答案】解:(1)•••抛物线与y轴交点为。(0,3),

c=3,

令丫2=-X—3=0,贝!J久=-3,

X(-3,0),

将2(—3,0)代入为=ax2—2%+3,

得9a+6+3=0,解得a=-l,

••・抛物线的解析式为y=-/一2久+3；

(2)由题意4(—3,0),8(1,0),

当N4MB=90。时，

当乙4BM=90。时，M(l,-4).

综上所述，满足条件的点M的坐标为(-1,-2)或(1,-4)；

(3)••