微分方程组的消元法和首次积分法

关于微分方程组的消元法和首次积分法一、微分方程组的消元法

将一阶微分方程组：中的未知函数只保留一个，消去第2页,共36页，2024年2月25日，星期天其他未知函数，得到一个未知函数的高阶方程，其他未知函数.这种方法常用于对由二个或三个先求出这个未知函数，然后由其他方程再求出方程构成的常系数微分方程组的求解.例1求解方程组第3页,共36页，2024年2月25日，星期天解保留，消去.由方程组的第二个方程解出，得（5.1）对上式两边关于求导，得（5.2）将（5.1）和（5.2）代入原方程组的第一个方程得第4页,共36页，2024年2月25日，星期天这是一个二阶常系数线性齐次方程，通解为（5.3）将上式代入（5.1）得故原方程组的通解为第5页,共36页，2024年2月25日，星期天其中是任意常数.注上面把（5.3）代入（5.1）经过求导，而没有经过求积分就求出了，若把（5.3）代入原方程组中的第一式，使得第6页,共36页，2024年2月25日，星期天这是一个一阶线性非齐次方程，它的通解为（5.4）在（5.4）中出现了三个任意常数这与前面求得不一致，事实上，当把（5.4）及代入原方程组就发现，当且仅当时，（5.4）才可成为方程组的解，故（5.4）不是原方程组的通解，其中是一个多余的任意常数.因此为避免出现增解，第7页,共36页，2024年2月25日，星期天在求出一个未知函数后，不要再用求积分的方法来求其他的未知函数.例2求解方程组解将第一个方程求导得第8页,共36页，2024年2月25日，星期天代入第二个方程得（5.5）此方程是不显含自变量t的可降阶的方程，设第9页,共36页，2024年2月25日，星期天即有（5.6）由，分离变量并积分得代入方程（5.5）得从而有第10页,共36页，2024年2月25日，星期天对上式积分得或再由第一个方程得由（5.6）还可得从而有由第一方程得该组解包含在上面所得的第11页,共36页，2024年2月25日，星期天通解中,故原方程组的通解为第12页,共36页，2024年2月25日，星期天设是定义在某区间I上的具有n阶连续二微分算子与线性微分方程组

这里介绍微分算子D及其用消元法解线性微分方程组的应用.导数的函数，微分算子D被定义为这里相应地定义算子多项式：第13页,共36页，2024年2月25日，星期天由算子多项式L的定义可以看出L是线性算子.例如设则第14页,共36页，2024年2月25日，星期天下面用微分算子的方法求解常系数线性微分方程组.设是四个线性微分算子多项式，且给定如下的线性微分方程组：第15页,共36页，2024年2月25日，星期天（5.7）用算子作用第一个方程的两边，用算子作用第二个方程的两边，得（5.8）由上面的第二个方程减去第一个方程得第16页,共36页，2024年2月25日，星期天（5.9）用算子表示的方程（5.9）是一个仅依赖于变量的一个高阶微分方程，可以求出再利用（5.7）的任何一方程可把求解出来.例3求解方程组第17页,共36页，2024年2月25日，星期天解设则由上面的方程得第18页,共36页，2024年2月25日，星期天该二阶线性常系数非齐次微分方程通解为（5.10）将（5.10）代入原方程组的第一个方程中得该一阶线性非齐次微分方程通解为第19页,共36页，2024年2月25日，星期天（5.11）将（5.10）和（5.11）代入原系统的第二个方程中得故原方程组的通解为第20页,共36页，2024年2月25日，星期天注对例3，也可以用下面的方法求解第21页,共36页，2024年2月25日，星期天形式的方程，该方程为一个原方程组的首次积分.三微分方程组的首次积分法首次积分法是将方程组经适当组合化为一个可积分的微分方程，这个例4求解方程组方程的未知函数可能是方程组中几个未知函数组合形式,积分此方程可以得到未知函数的组合第22页,共36页，2024年2月25日，星期天解将两个方程相加得以作为一个未知函数，并对上式积分得（5.12）方程（5.12）就是原方程组的一个首次积分，再将两个方程相减得第23页,共36页，2024年2月25日，星期天以作为一个未知函数，对上式积分得（5.13）方程（5.13）是原微分方程组的另一个首次积分，由（5.12）和（5.13）可解出未知函数第24页,共36页，2024年2月25日，星期天这里是任意常数，因此原方程组通解为例5求解方程组第25页,共36页，2024年2月25日，星期天解把方程组中的第一个方程乘以第二个方程乘以然后两式相加得即有把看作未知函数，积分得第26页,共36页，2024年2月25日，星期天（5.14）再利用原方程可得即有由此得另一个首次积分由上式可得第27页,共36页，2024年2月25日，星期天（5.15）积分（5.14）和（5.15）得采用极坐标代入首次因此，原微分方程的通解为第28页,共36页，2024年2月25日，星期天从上面两个例子可看出,利用首次积分可求出微分方程的的通解或通过首次积分以减少微分方程组中未知函数以及方程的个数,为此,我们下面介绍首次积分的定义,并叙述有关的结论.第29页,共36页，2024年2月25日，星期天考虑一般的阶微分方程组（5.16）其中右端函数在某个区域内对是连续的，且对是连续可微的.微，且不是常数，把（5.16）的任一解设在区域内连续可代入使成为第30页,共36页，2024年2月25日，星期天与t无关的常数，此常数与所取解有关,则称为方程组（5.16）的是方程组（5.16）的首次积分。设微分方程组（5.16）有个首次积分如果在某区域内它们的Jacobi行列式称函数一个首次积分，有时也第31页,共36页，2024年2月25日，星期天则称它们在区域G内为互相独立.定理1设函数在区域内是方程组（5.16）的首次积分的充要条件为连续可微，且它不是常数，则本定理给出了检验一个函数是否为方程组的首次积分的方法.利用首次积分法可消去某些未知函数,从而减少微分方程组中方程的个数.第32页,共36页，2024年2月25日，星期天定理2若已知方程组（5.16）的一个首次积分，则可把方程组求解问题转化为含n-1个方程的方程组的求解问题.定理3若方程组（5.16）有n个互相独立的首次积分则可由它们得到微分方程组(5.16)的通解.该定理表明,为了求解方程组(5.16),只需求出它的n个互相独立的首次积分就可以了.事实上,我们在例5.4和例5.5给出的首次积分是互相独立的.因此由它们确定出的解都是通解第33页,共36页，2024年2月25日，星期天例6利用首次积分求解方程组解由第一个方程和第