2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目

要求的）

T—T->TT

1.（5分）如图，空间四边形。4BC中，。2=*OB=b,OC=c,点/为的中点,

―»

点N在线段上，旦CN=2NB,则MN=（）

1-2T1-l+L2T

A.—a——b——cB.—50+不力+为。

233323

2TLI-1-2TI-

C.—a——b+—cD.-Tya+Tyb+iC

323233

2.（5分）已知圆/+y2+2x-2y+a=0截直线无+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是

（）

A.-2B.-4C.-6D.-8

3.（5分）已知在一个二面角的棱上有两个点A、B,线段AC、BD分别在这个二面角的两

个面内，并且都垂直于棱A8,AB=5,AC=3,BD=4,CD=50,则这个二面角的度

数为（）

A.30°B.45°C.90°D.150°

XV

4.（5分）已知方程;一+-=1表示焦点在y轴上的椭圆，且焦距为2,则根的值为

5-mm-2

（）

A.4B.5C.7D.8

2i

5.（5分）若数列｛口+J是等差数列,ai=l,〃3=-可则。5=（）

7733

A.-3B.-C.-D.

9955

6.（5分）已知抛物线y=16尤的焦点为足P点在抛物线上，Q点在圆C：（%-6)2+

-2）2=4上，则|尸。|+|尸用的最小值为（)

A.4B.6C.8D.10

%2

7.（5分）已知若//（%0）-彳,则xo=()

11

A.—B.2C.一D.e

2e

12

8.（5分）设数列｛劭｝的前〃项的和为品，已知（-<a<一）,a+\=-5一n-一7，若

917n。亥一。几十1

46=则()

1133

A.0<S5<5B.-vs5VlC.1<55<5D.-<S5<2

2222

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

（多选）9.（5分）已知点A（-1,1）、B（3,1）,直线/经过点C（1,3）且与线段A3

相交，则直线/与圆G-6）2+y2=2的位置关系是（）

A.相交B.相离C.相切D.不好确定

（多选）10.（5分）已知动点尸在左、右焦点分别为为、/2的双曲线C：比2-1=1上,

下列结论正确的是（）

A.双曲线C的离心率为2

B.当尸在双曲线左支时，髻《的最大值为工

2

\PF2\4

C.点尸到两渐近线距离之积为定值

D.双曲线C的渐近线方程为丫=土学久

（多选）11.（5分）己知函数/（无）=%?-4尤+4,贝U（）

A.f（x）在（0,+8）上单调递增

B.x=-2是/（%）的极大值点

C.f（x）有三个零点

D.f（x）在［0,3］上的最大值是4

（多选）12.（5分）等比数列｛板｝中，m<0,公比0<q<l,则下列结论正确的是（）

A.数列｛板｝中的所有偶数项可以组成一个公比为q2的等比数列

B.设数列｛斯｝的前"项和为S",对V〃>2,"6N*,5"<即+”1恒成立

C.数列｛.｝是递增数列

D.数列｛/g（-即）｝是首项和公差都小于0的等差数列

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

TT―T

13.(5分)已知空间向量a=(X+l,1,入)，b=(6,[i-1,4),若a||b,贝！|人+四=

14.（5分）各项均为正数的等比数列｛即｝的前”项和为S,满足S2=z，。5+。6=12,则S4

4

15.（5分）若曲线〉=/依在点尸屋,1）处的切线也是曲线〉=6仙的一条切线,则4=

16.（5分）在长方体ABC。-A1BC1O1中，AB=AD=2,A4i=3,点尸为底面A8CD上一

—>―>

点则P力・PC1的最小值为.

四、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）直线/经过两点（2,1）,（6,3）.

（1）求直线/的方程；

（2）圆C的圆心在直线/上，并且与x轴相切于（2,0）点，求圆C的方程.

18.（12分）已知直线Zi：（m+2）x+（m2-3m）y+4=0和直线fa：2mx+2Gn-3）y+m+2

—0（wGR）.

（1）当m为何值时，直线h和/2平行？

（2）当机为何值时，直线/1和12重合？

19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PO_L底面ABCD,PD=DC=1,BC=V2,

M为的中点.

（I）求证：PB±AM；

（II）求平面B4M与平面PDC所成的角的余弦值.

20.（12分）已知等差数列｛斯｝的公差d=2,且。1+03=8,数列｛为｝是首项为前等比数列，

且满足加，2b2,4b3成等差数列.

（1）求数列｛久｝与仍"｝的通项公式；

（2）设数列｛Cn｝满足d=^anbn,求证数列｛Cn｝的前n项和T”<2.

V2X2

21.（12分）已知椭圆C+—=1（。>人>0）的上下两个焦点分别为Q,b2,过点R

azbz

与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，△MNP2的面积为V5，椭圆C的长轴长是短

轴长的2倍.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知。为坐标原点，直线/：>=丘+切与y轴交于点P,与椭圆C交于A、B两个

T1T27

不同的点，若存在实数入，使得。P=白。4+(。3,求相的取值范围.

1

22.(12分)已知函数/(%)=Inx--1,mGR.

(1)若该函数在x=l处的切线与直线2x+y+l=0垂直，求机的值；

(2)若函数g(x)=xf(x)在其定义域上有两个极值点XI,X2.

①求m的取值范围；

②证明：xix2>e2.

2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目

要求的）

—T——TT

1.（5分）如图，空间四边形048。中，。4=*OB=b,0C=c点M为。4的中点,

点N在线段5C上，且CN=2NB,则赢=（）

TT2T

B.d+h+oc

2TL1-

C.—a—-b+-cD.一9+的+9

323

—TTT

【解答】解：・.・M为。4的中点，点N在线段BC上，且CN=2NB,且。4=a,OB=b,

0C=c,

：.MA=^0A=^afAB=0B-0A=b-a,BN=^BC=-OB)=i(c-6),

TTTT—[—2一[-»

.*•MN=MA+AB+BN=5。+/?—。+弓(。-b)=-CL+5,/J+-xc.

故选：D.

2.(5分)已知圆W+y2+2x-2y+〃=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数〃的值是

()

A.-2B.-4C.-6D.-8

【解答】解：圆/+y?+2x-2y+a=0即(x+1)?+(y-1)2=2-〃，

故弦心距d」T[+2|==

V2

再由弦长公式可得2-Q=2+4,.・・〃=-4,

故选：B.

3.（5分）已知在一个二面角的棱上有两个点A、B,线段AC、8。分别在这个二面角的两

个面内，并且都垂直于棱A3,AB=5,AC=3,BZ）=4,CD=5V2,则这个二面角的度

数为(

A.30°B.45°C.90°D.150°

【解答】解：设这个二面角的度数为a,

->—>—>—>

由题意得CD=CA+AB+BD,

：.CD2=CA2+8。2+2|Ci4|*|B£)|cos(n-a),

・・・(5A/2)2=25+9+16-2X3X4Xcosa,

解得cosa=0,

・・・a=90°.

・•・这个二面角的度数为90°.

故选：C.

4.(5分)已知方程7—十3一=i表示焦点在轴上的椭圆，且焦距为2,则根的值为

5-mm-2

()

A.4B.5C.7D.8

x2y2

【解答】解：方程7—+—=1表示焦点在〉轴上的椭圆，焦距为2,

5-mm-2

Am-2>5-m>0并且m-2-5+m=l,

解得加=4,

故选：A.

2i

5.(5分)若数列｛----｝是等差数列，ai=l,43=则45=()

a九+1

二是等差数列,

【解答】解：数列｛

22

设其公差为d,则2d=

g+l出+1

+2d=3+2=5,可得—即。5=_1.

a5+la3+l53

故选：D.

6.(5分)已知抛物线/=16龙的焦点为R尸点在抛物线上，Q点在圆C：(尤-6)2+(y

-2)2=4上，则IPQI+IPQ的最小值为()

D.10

【解答】解：圆：(X-6)2+(y-2)2=4的圆心为C(6,2),半径为2,

过点C作抛物线/=16x准线尤=-4的垂线，垂足为N,如图所示:

由抛物线的定义可知：\PF\=\PN\>

当P、A、N经过圆C的圆心时，|以|+|尸尸|取得最小值,

圆心（6,2）,半径为2,

网+|尸,最小值为:10-2=8.

(xo)=不xo=(

7.(5x)

11

A.-B.2c.一D.e

2e

【解答】解：/'（%）=竺五”

••・广（久。）=冬虫4

%0-

・・xo=2.

故选：B.

1Z、即廿

8.（5分）设数列｛劭｝的前〃项的和为品，已知m=〃,(-），Cln+1=~nT，

917好一。几十1

。6=己，则（)

113

A.0VS5VlB.-<S5<1C.1<S5<|D.-<S5<2

22

a几

【解答】解：・・・斯+1=

谟一。几十1

1a九2—a九+111

---------------=—+an-1,即——=Qn-L

an+lananan+lan

1111111111

=41-1,=。2-1,=〃3-1,=〃4-1,=。5

。2。3。2。4。3。5。4。6。5

-1,

11

将以上各式相加得一--=S5-5,

112

•.•Q6=E，ai=a（-<a<一）,

5917

111

§5=-----------F5=10—,

a

117

a2

3

5V当

故选：C.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

（多选）9.（5分）已知点A（-1,1）、B（3,1）,直线/经过点C（1,3）且与线段A8

相交，则直线/与圆（x-6）2+/=2的位置关系是（）

A.相交B.相离C.相切D.不好确定

【解答】解：直线AC的斜率为fc4C=1=1,kBC=*=-l,

1-（—1）1—3

直线/经过点C（1,3）且与线段AB相交，

...直线/的斜率的范围为（-8,-1］口［1,+8）,

直线BC的方程为y-3=-1（x-1）,即龙+y-4=0,

由圆（x-6）2+/=2,可得圆心。（6,0）,r=V2,

圆心D的直线BC的方程的距离为d=但竦=V2=r.

故直线/与圆相切或相离.

故选：BC.

（多选）10.（5分）已知动点尸在左、右焦点分别为为、/2的双曲线C：——^=1上,

下列结论正确的是（）

A.双曲线C的离心率为2

B.当尸在双曲线左支时，震、的最大值为J

2

\PF2\4

C.点尸到两渐近线距离之积为定值

D.双曲线C的渐近线方程为y=±象

【解答】解：由双曲线/-4~=1,得/=1,庐=3,则0=7心+炉=双

•，.双曲线C的离心率为e=：=2,故A正确；

当尸在双曲线左支时，］PFi\^c-a=l,\PF2\=2a+\PFi\=\PFi\+2,

|P&|____________|£fil______________1<1__1

1^212—(伊国|+2)2一|P&|2+4+4|PFI|一1PF"鬲+4—2心国卜高+4—8'

当且仅当IP乃1=2时等号成立，.•.罂［的最大值为三,故2错误；

\pp2\8

v2-1/3

设P(尤o,yo),贝小—日-=1，双曲线的两条渐近线方程为尤土一y=。，

$3

__I久0一手yollxO+V^ol-日3

则点尸到两条渐近线的距离乘积为13:•3=——十二=一,故。正确;

w4

双曲线的渐近线方程为y=±V3x,故。错误.

故选：AC.

(多选)11.(5分)已知函数/(x)=!?-4尤+4,则()

A.f(x)在(0,+8)上单调递增

B.x=-2是/(x)的极大值点

C.f(x)有三个零点

D.f(x)在［0,3］上的最大值是4

【解答】解：f(x)=7-4=(x+2)(x-2),

令f(x)=0,解得尤=-2或无=2,

f(x)与/(尤)随x的变化情况如下表：

X(-8,-2)-2(-2,2)2(2,+8)

f(X)4-0-0+

y(x)/极大值极小值/

因此函数了(尤)在(-8,-2),(2,+8)上单调递增，在(-2,2)上单调递减，故

A错误；

刀=-2是/5）的极大值点，故8正确；

4

因为/（-6）=-44<0,/（-2）=竽〉。，f（2）=/(z6J\-52

?3_\Z

由函数的单调性及零点存在性定理可知/（x）有三个零点，故C正确；

当了（无）的定义域为［0,3］时，

f（x）在［0,2］上单调递减，在（2,3］上单调递增，

又/（0）=4,f（3）=1,

所以/（x）在［0,3］上的最大值是4,故。正确.

故选：BCD.

（多选）12.（5分）等比数列｛斯｝中，m<0,公比0<q<l,则下列结论正确的是（）

A.数列｛斯｝中的所有偶数项可以组成一个公比为/的等比数列

B.设数列｛板｝的前〃项和为对V〃>2,〃eN*,恒成立

C.数列｛久｝是递增数列

D.数列｛四（-劭）｝是首项和公差都小于0的等差数列

【解答】解：由。2血+1）=才可知&对;

a2m

由。1<0,公比0<q<l,可知4〃<0,...当w>2,w6N*时，S"=ai+a2+*+O"<tta+ai恒成

立，对；

由m<0,公比0<q<l,可知数列｛丽｝是递增数列，，C对；

:-即与1无法比较大小，.•.数列｛/g（-即））是首项无法和0比较，错.

故选：ABC.

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

T—T7

13.（5分）已知空间向量a=（入+1,1,人），b=（6,|i-1,4）,若a||b,则入+u=5.

T—T-

【解答】解：空间向量a=（A+l,1,入），b=（6,n-1,4）,若a||b,

TT

则a=xb,xGR；

2+1=6%

即1=解得入=2,|1=3,

J=4%

所以入+p=5.

故答案：5.

14.（5分）各项均为正数的等比数列｛即｝的前”项和为S,满足S2=z，。5+。6=12,则S4

15

——4—•

【解答】解：因为各项均为正数的等比数列｛即｝中，S2=ai+a2=p。5+〃6=（。1+。2）

=12,

所以1=16,

所以9=2,41=4，

则54=皿0=抓出力=至

人J041-q1-24,

故答案为：争.

4

15.（5分）若曲线丁=/心在点P（e,1）处的切线也是曲线的一条切线，则〃=_e

-2

11

7

【解答］解：由>=/依，得<=-,：.y\x=e=-9

11

l.曲线y=历x在点尸（e,1）处的切线方程为y=万（％-e）+1,即y=

1

设与y=〃相切于点（％。，eax°）,

由y=e以，得y=aeax,

ax

（ae°—-axa1

.）eeo1

••\axi，贝Uaenr0—〃=7~，

|e°0u_Axox0

1%0e

解得%0="4=0-2.

故答案为：

16.（5分）在长方体ABCQ-AiBCiZh中，AB=AD=2,A41=3,点尸为底面ABCD上一

—>—>

点则的最小值为-2

【解答】解：如图,

在长方体ABC。-A1B1C1D1中，AB=AD=2,A4i=3,点P为底面ABC。上一点,

—>—>—>—>—>―T—>—>——>—>—>

则P2・PG=P4VPC+CQ）=PA-PC+PA-CC±=\PA\\PC\cos<PA,PC>

>-\PA\\PC\>_（lfdl+lf£l）2=—（孥）2=-2,

—>—>—>—>

当且仅当P4与PC反向，且|P4|=|PC|=&时取等号,

故答案为：-2.

四、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）直线/经过两点（2,1）,（6,3）.

（1）求直线/的方程；

（2）圆C的圆心在直线/上，并且与无轴相切于（2,0）点，求圆C的方程.

【解答】解：⑴：直线/经过两点（2,1）,（6,3）,.•.直线/的斜率仁舞（2

6—22

分）

所求直线的方程为y-1=±（尤-2）,

即直线/的方程为x-2y=0.（5分）

（2）由（1）知，

:圆C的圆心在直线/上，，可设圆心坐标为（2a,。），（6分）

:圆C与x轴相切于（2,0）点，，圆心在直线x=2上，

.,.a=l,（9分）

圆心坐标为（2,1）,半径r=l,（11分）

.,.圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=1.（12分）

18.（12分）已知直线h：（m+2）x+（m2-3m）y+4=0和直线b：2mx+2km-3）y+m+2

=0（meR）.

（1）当相为何值时，直线/1和/2平行？

（2）当相为何值时，直线/1和/2重合？

【解答】解：⑴由题意，夕小个?5+2?—2：⑺2.3m）=0,

l（m+2/-4X2mW0

喘界=2）m+D=°,解得吁3或片7

故当m=3或m=-1时，直线h和/2平行.

(2)由题意，『⑺一3?6+2)-2皿4-3峭=。,

k(m+2)2—4x2m=0

-3)(m-2)(m+l)=0

—2)2=0，斛倚租=2,

<当机=2时，直线/1和/2重合.

19.(12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形,尸。,底面ABCD,PD=DC=l,BC=42,

M为8C的中点.

(I)求证：PB±AM；

(II)求平面B4M与平面PDC所成的角的余弦值.

【解答】解：(I)证明：连接AM交BD于点。，BD=AD-AB,AM=AB+BM=

T1T

AB^^AD,

BD-AM={AD-AB)-{AB+=AD-AB+^AD2-AB2B-AD=^X

(V2)2-1=0,

：.BD±AM,

又P£)_L底面ABCD,AMu平面ABCD,

：.PD±AM,

又BDCPD=D,BDu平面PBD,PDu平面PBD,

；.4W_L平面PBD,

又PBu平面PBD,

：.AM±PB；

(II)依题意,S^PCD=^XlXl=i,PA-Jl_2+(夜)2=W,="2+(季)2—寺,

PM=J(¥)2+12+12=孚，

「闻2+病-融2=芋+?-3=叵

・••在中，由余弦定理可得，cos^PMA=_,

2PM-AM2X挈15

*.sinz^PMA=

:・S^PAM=1XX苧

设平面PAM与平面PDC所成的锐二面角为。，则…令乐呼,

4

故平面PAM与平面PDC所成的角的余弦值为〒.

20.（12分）已知等差数列｛斯｝的公差d=2,且“1+43=8,数列｛为｝是首项为%勺等比数列,

且满足加，2b2,4b3成等差数列.

（1）求数列｛珈｝与｛加｝的通项公式;

（2）设数列｛Cn｝满足”=^a小九，求证数列｛Cn｝的前〃项和T〃<2.

【解答】解：（1）因为d=2,41+43=8,

所以2〃i+4=8,解得“1=2,

所以劭=2+2(n-1)=2〃,

因为｛阮｝为等比数列，瓦=｝且从，2b2,4b3成等差数歹!J,

所以4/?2="+4加,

设公比为q,贝!I4f-4q+l=0,所以q=*,

所以垢鸟.（扔T=（扔，

n

所以an=2n,bn=（1）.

证明：⑵由（1）得“另与垢=”（扔,

所以〃=1X2+2X（2）2+3X（2）34~•,,+（n-1）X（2）nl+几X（引九①，

34n

jrn=lx$2+2x（1）+3x（|）+-+（n-l）x&+nx（｝升]②，

①⑨彳曰1.J、3.।J、九J、n+1211（2）IJ、7i+1

①一②倚：九=&+（5）+（-）+•••+（&）一九・（5）=-^71-一（5）

2

]

1-（n+2）.（~）n+1,

1

所以7；=2-（n+2）（2）n<2.

21.（12分）已知椭圆C：—+—=1（a>b>0）的上下两个焦点分别为H,F1,过点为

azbz

与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，丛MNF?的面积为旧，椭圆C的长轴长是短

轴长的2倍.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知O为坐标原点，直线/：>=履+加与y轴交于点P,与椭圆C交于A、B两个

不同的点，若存在实数入，使得0TP=白1。T4+52。73,求加的取值范围.

44,

久2^2

【解答】解：（1）由题意可得为（0,C）,则与+77=1，则x=±—，

azb乙a

22

AMNFz的面积S=gx手x2c=誓=V3,①，

:椭圆C的长轴长是短轴长的2倍，

:・a=2b,②,

Va2=b2+c2,③，

由①②③解得〃=2,b=l,

...椭圆C的标准