安徽省安庆市桐城二中2023-2024学年九年级数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

安徽省安庆市桐城二中2023-2024学年九年级数学第一学期期末质量跟踪监视试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，。。的弦A8=16,丄A8于M,且OM=6,则。。的半径等于

©

A.8B.6C.10D.20

2.某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同

学身高的平均数为172cm,方差为攵CT",第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172cm,

此时全班同学身高的方差为kcm2，那么k'与人的大小关系是（）

A.k>kB.k<kC.k'=kD.无法判断

3.在一个不透明的布袋中，有红色、黑色、白色球共40个，它们除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后

发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%,则布袋中白色球的个数可能是（）

6.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出60（）个.这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将

减少10个.为了实现平均每月10000元的销售利润，台灯的售价是多少？若设每个台灯涨价为X元，则可列方程为（）

A.（40+X-30）（600—10x）=10000B.（40+x-30）（600+10%）=10000

C.（x-30）［600-10（x-40）］=10000D.（x-30）［600+10（x-40）］=10000

7.抛物线y=3/向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）

A.y=3(x-1>—2B.y=3(x+1产一2C.y=3(x+l)2+2D.y=3(x-l)2+2

8.tan30°的值等于（）

A.-B.—C.—D.y/3

232

9.下列银行标志图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

10.AABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为（）

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.已知以线段AC为对角线的四边形48。（它的四个顶点A,B,C,。按顺时针方向排列）中,

AB=BC=CD,ZABC=100°,ZCAD=40°,则N3C。的度数为

12.已知反比例函数y=K的图象经过点（2,-3）,则此函数的关系式是

X

13.将抛物线y=V向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的函数表达式是.

14.把函数y=2,的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式

是.

BE

15.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则工二的值是.

16.若m是关于x的方程f+3x-2=（）的一个根，贝II//+3〃?的值为.

17.若正多边形的一个外角是45。，则该正多边形的边数是.

18.如图，AABC是不等边三角形，DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与AABC

全等，这样的三角形最多可以画出_____个.

三、解答题（共66分）

19.（10分）解方程：x2-x-12=1.

20.（6分）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫

做等对边四边形.如图，在AABC中，AB>AC,点D,E分别在AB,AC上，设CD,BE相交于点O,如果NA是

锐角，ZDCB=ZEBC=-ZA.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.

2

A

21.（6分）解方程：2/=41一1

22.（8分）在平面直角坐标系中，己知。4=10cm,OB=5cm.点P从点。开始沿Q4边向点A以2cm/s的速度

移动；点。从点B开始沿80边内点。以lcm/s的速度移动.如果P、。同时出发，用r（s）表示移动的时间（0<r<5）.

（2）当f为何值时，四边形PA8Q的面积为19cm2.

（3）当AP。。与A4O8相似时，求出f的值.

23.（8分）一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线为相似

对角线.

(图】)(图2)(备用图)

(D如图1,正方形ABCO的边长为4,E为A。的中点，A产=1，连结CE.CP,求证：EE为四边形AECR的

相似对角线.

(2)在四边形ABCD中，ZBAD=\2(f，AB=3,AC=&，AC平分44。，且AC是四边形ABC。的相似

对角线，求8。的长.

(3)如图2,在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,点E是线段AB(不取端点A.B)上的一个动点，点F是射线

AO上的一个动点，若EF是四边形AEC户的相似对角线，求BE的长.(直接写出答案)

24.(8分)用适当的方法解方程

(1)4(x-1)2=9

⑵X2-6%-4=0

25.(10分)阅读理解:

如图，在纸面上画出了直线1与OO,直线1与。O相离，P为直线1上一动点，过点P作。O的切线PM,切点为M,

连接OM、OP,当AOPM的面积最小时，称AOPM为直线1与。O的“最美三角形”.

解决问题：

(1)如图1,0A的半径为1,A(0,2),分别过x轴上B、O、C三点作OA的切线BM、OP、CQ,切点分别是M、

P、Q,下列三角形中，是x轴与。A的“最美三角形”的是.(填序号)

①.ABM；②AOP；③.ACQ

(2)如图2,OA的半径为1,A(0,2),直线y=kx(®0)与OA的“最美三角形”的面积为求k的值.

(3)点B在x轴上，以B为圆心，出为半径画。B,若直线y=J^x+3与。B的“最美三角形”的面积小于走，

2

请直接写出圆心B的横坐标4的取值范围.

26.(10分)如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=-的图象在第一象限交于A,B两点，B点的坐标为(3,2),

X

连接OA,OB,过B作BD丄y轴，垂足为D,交OA于C,若OC=CA.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、C

【分析】连接OA,即可证得AOMA是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM,根据勾股定理即可求得OA的长,

即。。的半径.

【详解】连接OA,

•；M是AB的中点，

，OM丄AB,且AM=8,

在RtAOAM中，OA=^AM~+OM2=褥+6?=1-

故选C.

【点睛】

本题主要考査了垂径定理，以及勾股定理，根据垂径定理求得AM的长，证明AOAM是直角三角形是解题的关键.

2、B

【分析】设该班的人数有n人，除小明外，其他人的身高为xi,X2……xn.i,根据平均数的定义可知：算上小明后，平

均身高仍为172cm,然后根据方差公式比较大小即可.

【详解】解：设该班的人数有n人，除小明外，其他人的身高为xi,X2……x„...

根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm

根据方差公式:2=止](%—172)2+(%-172『++(九一172)1

汇=丄[(玉-172)2+d-172)2++(41—172)2+(172—172)2]

=l[(x)-172)2+(%-17以++(%—172月

11

•・•-<----

nn-\

22

...1[(西一172)2+(%-172)2++Qi_172)1<-172)+(x2-172)++(七一一172)1即

k<k

故选B.

【点睛】

此题考査的是比较方差的大小，掌握方差公式是解决此题的关键.

3、C

【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数义频率=频数计算白球的个数.

【详解】•••摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%,

,摸到白球的频率为1-15%-45%=40%,

故口袋中白色球的个数可能是40义40%=16个.

故选：C.

【点睛】

大量反复试验下频率稳定值即概率.关键是算出摸到白球的频率.

4、D

【解析】由题意根据中心对称图形的性质即图形旋转180。与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，依次对选

项进行判断即可.

【详解】解：A.旋转180。，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；

B.旋转180°,不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；

C.旋转180°,不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；

D.旋转180°,能与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键.

5、D

【解析】试题分析：已知NBIC=130。，则根据三角形内角和定理可知NIBC+NICB=50。，则得到NABC+NACB=100

度，则本题易解.

解：VZBIC=130°,

.••ZIBC+ZICB=5O°,

又..T是内心即I是三角形三个内角平分线的交点，

.,.ZABC+ZACB=100°,

.,.ZA=80°.

故选D.

考点：三角形内角和定理；角平分线的定义.

6、A

【分析】设这种台灯上涨了x元，台灯将少售出10x,根据“利润=(售价-成本)X销量”列方程即可.

【详解】解：设这种台灯上涨了x元，则根据题意得，

(40+X-30)(600-lOx)=10000.

故选：A.

【点睛】

解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程.

7、B

【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律即可解答.

【详解】解：抛物线y=3/向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3(x+l)2-2,

故答案为：B.

【点睛】

本题考査了抛物线的平移，解题的关键是熟知“左加右减、上加下减”的平移规律.

8、B

【解析】根据特殊角的三角函数值求解.

【详解】tan30。=走.

3

故选：B.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值.

9、B

【解析】由题意根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行依次判断即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考査中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合,

中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

10、A

【解析】解：在直角A4BO中，BD=2,AD=4,则48=飞BD2+AD?=物+4?=26，

n„BD2加

贝!|cos5==——==

AB2V55

故选A.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、80。或100。

［解析］作出图形，证明RtaACE纟Rtz^ACF,RtABCE^RtADCF,分类讨论可得解.

【详解】VAB=BC,ZABC=100°,

.•.Nl=N2=NCAD=40。，

.•.AD〃BC.点D的位置有两种情况：

如图①，过点C分别作CE丄AB于E,CF丄AD于F,

VZ1=ZCAD,

.*.CE=CF,

AC=AC

在RtAACE与RtAACF中，1,

CE=CF

/.RtAACE^RtAACF,

.\ZACE=ZACF.

CB=CD

在RtZkBCE与RtZ\DCF中，J

CE—CF

：.RtABCE^RtADCF,

AZBCE=ZDCF,

AZACD=Z2=40°,

如图②，

VADr/7BC,AB=CDr,

•・・四边形ABC"是等腰梯形,

:.ZBCDr=ZABC=100°,

综上所述，NBCD=80。或100。，

故答案为80。或100°.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，本题关键是证明RtZ^ACEgRtaACF,

RtABCE^RtADCF,同时注意分类思想的应用.

6

12、y=——

X

【解析】试题分析：利用待定系数法，直接把已知点代入函数的解析式即可求得k=-6,所以函数的解析式为：y=--.

X

13、y=(x-2)2+l

【分析】先得出抛物线的顶点坐标为(0,0),再利用点的平移规律得到点(0,0)平移后对应的点的坐标为(2,1),然后根据

顶点式写出平移后的抛物线解析式.

【详解】解：抛物线y=/的顶点坐标为(0,0),再利用点的平移规律得到点(0,0)平移后对应的点的坐标为(2,1),所以

平移后的抛物线解析式为：＞=(x-2)2+1.

故答案为：y=*—2)2+1.

【点睛】

本题考査的知识点是二次函数图象与几何变化，熟记点的平移规律是解此题的关键.

14、y=l(x-3)1-1.

【分析】利用二次函数平移规律即可求出结论.

【详解】解：由函数的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新函数的图象，得

新函数的表达式是y=l(x-3)'-1,

故答案为y=l(x-3)]-1.

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知”上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键.

15、—

3

【解析】试题分析：VZBAC=ZACD=90°,；.AB〃CD.

BEAB

.,.△AABE^ADCE.，一=—.

ECCD

•.•在RtAACB中NB=45。，.\AB=AC.

ACr

.在RtACD中，ND=3()。，/.CD=----------=J3AC.

tan30°

.BEAB_AC_G

,,EC-CD-V3AC-3'

16、2

【分析】将x代入方程，进行化简即可得出答案.

【详解】由题意得：加2+3加一2=0

贝！Im2+3m=2

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的定义，理解题意得到一个关于m的等式是解题关键.

17、1；

【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360。+45。可求得边数.

【详解】•••多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45。，

.,.360°v45°=l

即该正多边形的边数是1.

【点睛】

本题主要考査了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）.

18、4

【解析】试题分析：如图，能画4个，分别是:以D为圆心,AB为半径画圆;以C为圆心,CA为半径画圆.两圆相交于两

点（DE上下各一个），分别于D、E连接后，可得到两个三角形；以D为圆心,AC为半径画圆;以E为圆心,AB为半径画

圆.两圆相交于两点（DE上下各一个），分别于D、E连接后，可得到两个三角形.因此最多能画出4个

考点：作图题.

三、解答题（共66分）

19、Xi=-3,X2=2.

【解析】试题分析：方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为L两因式中至少有一个为1转化为两

个一元一次方程来求解.

试题解析：解：分解因式得：(x+3)(x-2)=1,可得x+3=l或x-2=l,解得：xi=-3,X2=2.

20、存在等对边四边形，是四边形DBCE,见解析

【分析】作CG丄BE于G点，作BF丄CD交CD延长线于F点，证明4BCF纟ZkCBG,得到BF=CG,再证NBDF

=NBEC,得到△BDFgaCEG,故而BD=CE,即四边形DBCE是等对边四边形.

【详解】解：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE.

如图，作CG丄BE于G点，作BF丄CD交CD延长线于F点.

VZDCB=ZEBC=-ZA,BC为公共边，

2

.♦.△BCF纟△CBG,

.".BF=CG,

■:ZBDF=ZABE+ZEBC+ZDCB,NBEC=NABE+NA,

.,.ZBDF=ZBEC,

/.△BDF^ACEG,

.,.BD=CE

•••四边形DBCE是等对边四边形.

【点睛】

此题考査新定义形式下三角形全等的判定，由题意及图形分析得到等对边四边形是四边形DBCE,应证明线段BD=

CE,只能作辅助线通过证明三角形全等得到结论，继而得解此题.

91亠&V2

21、％=1H------X,=1--------

'29-2

【分析】找出a,b,c的值，计算出根的判别式的值大于0,代入求根公式即可求出解.

【详解】解：整理得2/_4X+1=0

△=(-4)2—4x2x1=8

4±通2+V2

x=---=----

2x22

解得：x,=\-\------»x=1--------

'2-72

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握一元二次方程的几种常用解法是解题关键.

22、(1)26(5-/)；(2)U2或3；(3)或1.

2

【分析】(1)根据路程=速度X时间可求解；

(2)根据S四边形PABQ=SAABO-SMQ。列出方程求解；

(3)分"=组或上=维两种情形列出方程即可解决问题•

OAOBOBOA

【详解】(1)OP=2tcm,0Q=(5-t)cm.

故答案为：It,(5-t).

(2)VS四边形PABd=S^ABO-SAPQO,

I1

.\19=-X10X5—x2fX(5-t),

22

解得：U2或3,

...当U2或3时，四边形P4〃。的面积为19c”产.

(3)..,△尸02与厶408相似，ZPOQ=ZAOB=90°,

.OP_OQ或OPOQ

'OA~OB^OB^OA'

OPOQ2t5-t

①当——=—,则nl一=——

OAOB105

5

-9

2

②嚐嘰札则江為

综上所述：当，=1•或1时，△POQ与△A08相似.

【点睛】

本题是相似综合题，考查相似三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、三角形的面积等知识，解答本题的关键是灵

活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

23、(1)见解析(2)3G或M；(1)|或当或1

【分析】(1)根据已知中相似对角线的定义，只要证明AAEFsaECF即可；

(2)AC是四边形ABCD的相似对角线，分两种情形：AACB~AACD或AACB~AADC,分另U求解即可；

(1)分三种情况①当AAEF和ACEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似对角线.②取AD中点F,连接CF,

将ACFD沿CF翻折得到ACFD，，延长CD，交AB于E,则可得出EF是四边形AECF的相似对角线.③取AB的中点

E,连接CE,作EF±AD于F,延长CB交FE的延长线于M,则可证出EF是四边形AECF的相似对角线.此时BE=1；

【详解】解：(1)•••四边形ABCD是正方形，

.♦.AB=BC=CD=AD=4,

为的中点，AF=\,

AE=DE=2,

.AF-1

,DE-CD-2

VZA=ZD=90°>

.,.△AEF^ADCE,

EF_AF_I

:.ZAEF=ZDCE,

C£-DE-2

VZDCE+ZCED=90°,

:.NAEF+NCED=90。，

.,.ZFEC=ZA=90°,

AF_EF1

~AE~~EC~2

/.△AEF^AECF,

.•.EF为四边形AECF的相似对角线.

(2)AC平分NS4D,

.,.ZBAC=ZDAC=60°

VAC是四边形ABCD的相似对角线，

AACB~AACD或AACB~AADC

①如图2,当AACB~AACD时，此时，AACB^AACD

图2

.,.AB=AD=1,BC=CD,

...AC垂直平分DB,

在RtAAOB中，VAB=1,ZABO=10°,

BO-AB•cos30=-----

BD=2OB=3百

②当AACB~AADC时，如图1

B

:.ZABC=ZACD

.,.AC2=AB»AD,

VAC=46,AB=3

A6=1AD,

...AD=2,

过点D作DHAB于H

在RtAADH中，VZHAD=60°,AD=2,

在RtABDH中，BD=J。”?+B“2=也2+(扬2=晒

综上所述，的长为：3百或M

(1)①如图4,当AAEF和4CEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似对角线,

BC

设AE=EC=x,

在RtABCE中，VEC2=BE2+BC2,

.*.x2=(6-x)2+42,

解得X=—,

3

.135

・・BE=AB-AE=6--=—.

33

②如图5中，如图取AD中点F,连接CF,将ACFD沿CF翻折得到ACFD。延长CD，交AB于E,则EF是四边形

AECF的相似对角线.

AFD

BC

图5

VAAEF^ADFC,

.AE_AF

"~DF~~DC

AE_2

~T~6

：.BE=AB-AE=—

3

③如图6,取AB的中点E,连接CE,作EF丄AD于F,延长CB交FE的延长线于M,则EF是四边形AECF的相

似对角线.则BE=1.

图6

综上所述，满足条件的BE的值为』或3或1.

33

【点睛】

本题主要考查了相似形的综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

24、(1)x1=——,x2=—；(2)X)=3+>/13>Xj=3—V13

【分析】(1)先在方程的两边同时除以4,再直接开方即可；

(2)将常数项移到等式的右边，再两边配上一次项系数的一半可得.

，9

【详解】(1)解：(X—l)2=：

4

15

.•.玉=-5，x2=->

(2)解：3>=13

x—3=±A/13

%=3+V13,X2-3—V13.

【点睛】

本题主要考査配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键.

25、(1)②；(2)+1；(3)2-73<^B<—<^<-2->/3

33

【分析】(1)本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角

形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题.

(2)本题根据k的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF,利用勾股定理求解AF,进一步确定NAOF

度数，最后利用勾股定理确定点F的坐标，利用待定系数法求k.

(3)本题根据。B在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定NNDB的度数，继而按照最美

三角形的定义，分别以aiiND,ZkBMN为媒介计算BD长度，最后与OD相减求解点B的横坐标范围.

【详解】(1)如下图所示：

•；PM是。O的切线,

.•.ZPMO=90°,

当。O的半径OM是定值时，PM=y!OP2-OM2>

■:SPMO=；・PM・OM,

要使MMO面积最小，则PM最小，即OP最小即可，当OP丄/时，OP最小，符合最美三角形定义.

故在图1三个三角形中，因为AO丄x轴，故△AOP为。A与x轴的最美三角形.

故选：②.

(2)①当k<0时，按题意要求作图并在此基础作FM丄x轴，如下所示：

按题意可得：4AEF是直线y=kx与。A的最美三角形，故4AEF为直角三角形且AF丄OF.

则由已知可得：SAEF=^AE»EF=^X1XEF=^,故EF=L

在4AEF中，根据勾股定理得：AF=gAE=叵.

VA(0,2),即OA=2,

...在直角△AFO中，OF=do代-AF2=&=AF，

：.ZAOF=45°,即NFOM=45°,

故根据勾股定理可得：MF=MO=1,故F(-l,l),

将F点代入y=kx可得：攵=—1.

②当k>0时，同理可得k=L

故综上：k=±\.

(3)记直线旷=瓜+3与x、y轴的交点为点D、C,则。(一6,0),C(0,3),

①当。B在直线CD右侧时，如下图所示：

在直角△COD中，有OC=3,OD=5故tanNO0C=—=6，即NODC=60。.

OD

VABMN是直线y=&+3与OB的最美三角形，

.♦.MN丄BM,BN丄CD,即NBND=90°,

BN

在直角aiiDN中，sinNBDN=—

BD

I，ccBN

故BD=-------

sinZBDNsin60?3

•••◎B的半径为G，

二BM=6

当直线CD与。B