山西省部分学校2023届高三下学期4月联考数学试题（含答案）

高三数学试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A={—3,—1,1,3,5},B={x∣∣x-2∣<3},则ACB=().

A.{-l,l}B.{-l,l,3}C.{1,3,5}D.{1,3}

2.已知aeR,""为纯虚数，则α=().

2-4i

A.1B.2C.3D.4

3,设AABC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c»若A+B=—，。=3,c=2,则SinA=().

4.函数/(x)=(x—J}inx的图象可能为().

5.已知圆0：/+丁=1与圆u(χ-3)2+,2=/外切，直线/“一丁―5=0与圆C相交于A,B两点,则

∖AB∖=().

A.4B.2C.2√3D.2√2

6.甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过

3次传球后，球回到甲手中的概率为（）.

7.在正三棱柱ABC—AgG中，AB=2,AA=3,以G为球心，工二为半径的球面与侧面ABAA的交

线长为（）.

2yβπ4#)712√3π8#)τι

8.己知双曲线E:'—方=l（4>0∕>0）的左、右焦点分别为耳，工，P是双曲线E上一点，PF2LFyF2,

N片P鸟的平分线与X轴交于点。，=-,则双曲线E的离心率为（）.

SAPF2。3

A.√2B.2c2

∙FD∙6

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.给出下列说法，其中正确的是（）.

1741

A.若COSe=-，则COS2。=——B.若tan2θ=—,则tanθ——

3932

C.若^^,，则％+,的最小值为2D.若0<x≤',则X+'的最小值为2

2X2X

10.十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，

比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，

总分多者为优胜者.如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法

正确的是（）.

IOO米

OoO分跳远

15∞米

标枪铅球

—甲的得分

・・・・・乙的得分

撑竿

跳宓

跳高

铁饼400米

110米胯栏

A.在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分低

B.在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当

C.甲的各项得分比乙的各项得分更均衡

D.甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大

11.古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美.”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学

史上，人类对数学的对称问题一直在思考和探索，图形中对称性的本质就是点的对称、线的对称.如正方形既

是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质.如果一个函数的图象经过某个正方

形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”.下列关于“优

美函数”的说法中正确的有().

Y

A.函数〃X)=q•(—l≤x≤l)可以是某个正方形的“优美函数”

A.函数/(x)=4CoS—已卜3只能是边长不超过£的正方形的“优美函数”

C.函数/(x)=In(历W-2x)—1可以是无数个正方形的“优美函数”

D.若函数y=∕(x)是“优美函数”，则y=∕(x)的图象一定是中心对称图形

12.已知正数X,y满足∕=y3<i,则下列结论正确的是().

A.0<x<y<lB.O<γ<x<l

4

C.∖y-x∖<-d∙∖y,2-χ2∖^

l∙127

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知向量α=(∕n+2,l),b=(5-2m,m),且“〃人，贝打〃=

14.设E,F分别在正方体ABCD-ABCQl的棱GA，A百上，且RE=；D£,B1F=B1A1,则直

线DE与BF所成角的余弦值为.

15.已知抛物线。:/=2外（〃>0）的焦点为凡过尸且被C截得的弦长为4的直线有且仅有两条，写出一

个满足条件的抛物线C的方程：,此时该弦的中点到X轴的距离为.（本题第一空2分，

第二空3分）

16.对20不断进行“乘以2”或“减去3”的运算，每进行一次记为一次运算，若运算n次得到的结果为23,

则n的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知等差数列｛α,,｝满足%=4，2%-%=7，公比不为-1的等比数列｛么｝满足&=4,%+4=8伯+么）•

（1）求｛4｝与色｝通项公式;

3

（2）设+求｛g｝的前〃项和S

0,""+ι

18.（12分）

2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；

十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查学生对两会相关知识的

了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的

得分（满分100分）的频率分布折线图如下.

Q）若此次知识问答的得分X~N（",σ∙2）,用样本来估计总体，设〃，b分别为被抽取的320名学生得分

的平均数和标准差，求P（50.5<X≤94）的值.

（2）学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生

获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为

31

抽到价值20元的学习用品的概率为一.从这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用

44

品的价值总额为4元，求J的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总

额.

参考数据：P(∕∕-σ<X≤∕∕+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤ju+2σ)≈0.9545,

P(∕∕-3σ<X≤χ∕+3σ)≈0.9973,√210≈14.5,0.375=-.

8

19.(12分)

在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCo为等腰梯形，AB∕∕CD,AD=OC=I,AB=2,AC±PC.

（1）证明：平面ABcD_L平面尸BC.

⑵若PBLBC,PB=20求直线QA与平面PC。所成角的正弦值.

20.（12分）

已知函数/（x）=ASin3x+0）（A>O,o>O）的图象是由y=2sin"+2]的图象向右平移:个单位长度

得到的.

（1）若/（x）的最小正周期为兀，求/（x）的图象与y轴距离最近的对称轴方程：

Jr3Jr

（2）若/（X）在py上有且仅有一个零点，求。的取值范围.

21.（12分）

已知椭圆C:[+看=1（α>〃>0）的离心率为半，且椭圆C经过点（G,1），过右焦点厂的直线/与椭圆C

交于A,B两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设O为坐标原点，求AOAB面积的最大值以及此时直线/的方程.

22.（12分）

已知函数/（x）=β'+cosx-sinx,∕r（x）为/（x）的导函数.

(1)证明：当％≥0时,/(x)≥0.

(2)判断函数8(月=62^]〃力+〃2力一621一1的零点个数.

高三数学试题参考答案

1.D【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养，

因为A={—3,—1,1,3,5},β={x∣-l<x<5},

所以ACB={1,3}.

2.13【解析】本题考查复数的有关概念，考查数学运算的核心素养.

.α+i(α+i)(2+4i)2a-4+(4α+2)i

π因为==,

2-4i2020

所以2α-4=0,所以α=2.

3.C【解析】本题考查解三角形的知识，考查数学运算的核心素养.

SJrTT

因为A+8=±∖所以C=2,

66

由一^=—得二一=4,所以SinA=3.

sinAsinCsinA4

4.A【解析】本题考查函数的图象和性质，考查逻辑推理与直观想象的核心素养,

/(x)的定义域为{x∣xxθ},

因为/(f)=I-Jf+-Isin(-ɪ)=IX-Qsinx=∕(x),

所以/(x)为偶函数，排除B,D.

当Xe(0,1)时，/(x)<0.故诜A.

5.D【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查数学运算与直观想象的核心素养.

因为圆O与圆C外切，所以r=4.

设圆心C(3,0)到直线I的距离为d,则d=手1=√2,

从而IAM=2√r2-J2=2√2.

6.C【解析】本题考查古典概型，考查数学运算的核心素养.

画出树状图,

7.B【解析】本题考查球面与柱体侧面的交线长度，考查直观想象与数学运算的核心素养.

设A为Af的中点，连接GA(图略)，可知AA=6，GA，平面AB用4，

由Jf殍］-(^ɜ)2=—＞得题中所求交线即以A为圆心，W为半径的圆弧，

设该圆弧与AA∣,BBl分别相交于点M,N,

2yr2√32π4√3π

经计算可知NMAN=7，故交线长/=---------X——=-------------

339

8.B【解析】本题考查双曲线的性质，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

]⅛-5

由已知得

回I3

因为P。平分NGPK，所以国=单=2,

∣"∣IgQl3

h2C

一+2。5

所以a,=?,整理得从=33,

b23

a

由C?一"=3q2,得¢2=44,所以6=9=2.

a

9.AC【解析】本题考查三角恒等变换和基本不等式，考查数学运算的核心素养.

7

对于A,COS26=2cos~7。一1二——,A正确；

9

对于B,因为2tan6=&,所以tan。=L或tan。=—2,B错误；

l-tan26∙32

令/(χ)=X+：,易知/(χ)在(0,1)上单调递减，在［1,+8)上单调递增，

所以当x≥,时，X+'的最小值为2,当0<x≤∙!■时，X+'的最小值为2,C正确，D错误.

2X2X2

10.BD【解析】本题考查统计的知识，考查数据分析与数学运算的核心素养.

由雷达图可知，400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高，A错误；

由图可知，B正确；

甲各项得分的波动较大，乙的各项得分均在(600,800］内，波动较小，C错误;

甲的各项得分的极差约为IOoO-470=530,乙的各项得分的极差小干200,D正确.

11.AC【解析】本题考查新定义以及函数的性质，考查逻辑推理的核心素养.

对于A,易知函数/(x)为奇函数，所以函数/(x)可以是中心为原点且边长为2的正方形的“优美函数”，故

A正确.

令2x—四二四+E(Z∈Z),得X=殳+色(女∈Z),

对于B,

6232

所以函数/(x)=4COS(2%-看+3图象的对称中心为11+g,3)%∈Z),

故以6+g,3)(Z∈Z)为中心的正方形都能被函数/(x)=4cos(2x=1+3的图象平分,

即/(x)=4cosf2x-∙^-+3可以同时是无数个正方形的“优美函数”，故B错误.

对于C,令g(x)=ln(j4d+1-24易知函数g(x)为奇函数.

又因为函数〃力的图象是由函数g(x)的图象向下平移一个单位长度得到的,

所以函数/(x)图象的对称中心为(0,—1),

故以(0,—1)为中心的正方形都能被函数/(x)=In(JUi—2x)—1的图象平分，故C正确.

对于D,如图所示，可知D错误.

12.ACD【解析】本题考查不等关系，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

因为f=y3<],所以y=f<1,所以0<χ<y<l,A正确，B错误;

22!■

令g(x)=Iy-Xl=y-x=χ3-χ,IJiiJ=—χ^3-1,

Q

当0<x<王■时，g'(x)>O,g(x)单调递增,

Q

当X〉药时，g'(x)vθ,g(x)单调递减，

4

所以g(%x—，C正确;

27

^Λ(x)=∣y2-x2∣=y2-x2-X2,贝∣J"(x)=—2x,

可知当O<X<2西时，MX)单调递增，当%>亚时，MX)单调递减,

99

所以MXLS=彳竽>。D正确.

13.1或-5【解析】本题考查平面向量的平行，考查数学运算的核心素养.

因为α〃人，所以加(加+2)—(5-2m)=0,

整理得+4加一5=O,解得加=1或加=—5.

4

14.-【解析】本题考查立体几何初步的知识，考查直观想象的核心素养.

5

在棱co,G2上分别取点MM,使得CN=gco,GM=；GA,连接CM,NE,

可知BF〃CM〃NE,则NoaV为直线Z)E与JB/所成的角.

设AB=3,在ADEN中，易得DE=而,NE=M,ON=2,

设乙DEN=θ,则Sing=J=,从而COSe=I-2x」-.

2√10105

2

15.x=2yi-(答案不唯一，只要0<p<2,且所求距离为&—K即可)

222

【解析】本题考查抛物线的定义及性质，考查直观想象的核心素养.

易知过焦点的弦中，通径最短，所以2〃<4,解得0<p<2∙

设该弦所在的直线与C的交点分别为A,B,

则弦AB的中点到X轴的距离为网-E.

22

取p=l,则抛物线C的方程为V=2y,

3

此时弦AB的中点到X轴的距离为一.

2

16.8【解析】本题考查逻辑推理，考查数学建模的核心素养以及分类讨论的数学思想.

因为20<23,所以至少要进行一次“乘以2”的运算.

(i)若一共只有一次“乘以2”的运算.

设做了&次“减去3”的运算之后，再“乘以2”，再做了f次“减去3”的运算后,

得数为（20—3Z）χ2-3f=23,即6A+3r=17,其中ZjeN,显然无非负整数解.

（ii）若一共只有2次“乘以2”的运算.

设做了火次'‘减去3"的运算之后“乘以2”，再做了f次“减去3”的运算之后“乘以2”，再做了机次“减去

3”的运算后，得数是[（20—3左）x2—3r]x2—3〃?=23,

即4左+2r+机=19,Λ√,m∈N.

/=11=0

当攵=4时，1或《；

m=∖m=3

It-Vm7

当次=3时,t-∖-m>

2^2

,,2t+m11

当lz左<2时，t+m>------≥—.

22

所以A+∕+m的最小值为6,即至少运算8次，过程为[（20-3-3—3—3）x2—3]x2—3=23.

（iii）若一共有3次或3次以上“乘以2”的运算，总运算次数显然不止8次.

17.解：⑴设｛0,,｝的公差为d,因为生=4，2α4-a5=7,

所以2（4+2d）-（4+3d）=7,解得d=3,从而q=l,（1分）

所以。〃二3〃一2.（3分）

设低｝的公比为4,因为d+么=8（4+仇），所以="=8,解得q=2,（4分）

4

因为4=4,所以4=»=1,（5分）

所以5=2"T.（6分）

311

n

（2）因为c,,=7-------⅛-------r+2-',所以g=-----------------+2"T,（8分）

"（3/2-2）（3«+1）"3n-23n+l

1-1÷1-1÷L÷1-ɪ-∣+（l+2+L+2"T）,（9分）

所以S,,=

4473n-23〃+U`）

所以S,,=1.(10分)

3n+lJ1-23n+l

18.解：(1)χ√=35×0.025÷45×0.15+55×0.2÷65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65,(2

σ2=(35-65)2×0.025+(45-65)2×0.15+(55-65)2×0.2+0

+(75-65)2×0.225+(85-65)2×0.1+(95-65)2×0.05=210,(3分)

所以g14.5,X~N(65,14S),

所以P(50.5<X≤94)=P(〃一σ∙<X≤4+2σ∙)=∙^^+^^

=0.8186.(4分)

(2)J的可能取值为10,20,30.40,

3S

P(X≤55)=-,P(X>55)=-,(5分)

88

339

PK=Io)—×一=--

8432

PD(/J匕—=ɔ2n0ʌ)=_—ɜX—ɪI—5X—3×—3=_-5--7-,

'784844128

八/R513c15

v784464

P(J=40)=3χJχJ=-,(9分)

17844128

所以J的分布列为

10203040

957155

P

32128函128

（10分）

Q57155395

E(^)=10×-+20×-+30×-+40×^=-,(11分)

',321286412816

325

故此次抽奖要准备的学习用品的价值总额约为320χ二=6500元.(12分)

16

19.（1）证明：在等腰梯形ABCo中，AB//CD,BC=AD=↑,AB=2,

过点C作CE,AjB于E（图略），则BE=1,可知NABC=60°,（2分）

2

由余弦定理知4C2=]2+22-2χiχ2x'=3,

2

则AC2+8C2=AB?,所以ACJ.BC.（4分）

又ACLPC,BCcPC=C,BC,PCU平面P8C,

所以AC_L平面PBC.（5分）

又ACU平面ABC。，所以平面ABCZ），平面PBC.

（2）解：以C为坐标原点，CA,CB的方向分别为X轴、），轴的正方向建立空间直角坐标系.

因为ACJ_平面PBC,PBLBC,

所以A(6,0,0),3(0,1,0),P(θ,l,2√3),D―,——,0,

(22,

CD=—,一一,0,CP=(θ,l,2√3),尸A=(G,—1,一26).(8分)

\/

设平面PCZ)的法向量为〃=(X,y,z),

CD∙n---■-y=0([―])

则j22y，¾n=1,√3,--.(10分)

CP∙n=y+2&=。一

设直线PA与平面PC。所成的角为θ,

∣√3-√3+√3∣

则sinθ=cos(PAfι

4x934

2

即直线Q4与平面PeD所成角的正弦值为叵.（12分）

34

2兀

20.解：（1）由—=Tt,得口=2,（1分）

ω

ππ

所以/(x)=2Sin2x—÷-2sin∣2x-∙^，(2分)

66I6J

ʌ.兀，7Γ-..ZkTT兀,

令2x——=kπ+-,攵∈wZ,解得X=一+一,左∈Z,(3分)

6223

TTJT

取A=0,得x=—,取A=-1,得X=—,(4分)

36

兀H所以与y轴距离最近的对称轴方程为X=（5分）

因为一7<

6

π,πC.(l-ω)π

(2)由已知得/(x)=2SinωX—+—=2Smωx-∖-

6J66

令@*+（―。）兀=而，ZceZ,解得X=竺士竺1兀，⅛∈Z.（7分）

66ω

兀，6左+〃)-1,3兀

—≤-----------π≤—

26ω2

6&+g一7兀

TT3TT------------π<—

因为/（x）在y,y上有且仅有一个零点，所以<6ω2

6&+力+53兀

------------π>一

6。2

k∈Z

6k—16k—1

-------<ω<-------

82

6k—76k÷5..

所以4-------<ω<--------.(9分)

28

Z∈Z

6k-∖

>0

2

6k-l

_^zl>o133

因为。＞0,所以,28，解得一＜%＜一，Λ∈Z,所以Z=1,（11分）

o10

6k+56k-7,、

_--_-_-_--_-_-_-、IU（I

82

ZeZ

o--ɔ511

所以4，解得己≤o<一,

11188

即0的取值范围为（12分）

_88J

2A2

21.解：（1）由/=—=1-----,得/=3从，（1分）

3a2

X2V2

所以椭圆C的方程为玄+会=1,（2分）

把点（6,1）的坐标代入上式，得短+*=1，可得。2=2,（3分）

22

所以。2=6,C=2,故椭圆C的方程为二+匕=1.（4分）

（2）由（1）知焦点F的坐标为（2,0）,若直线/的斜率为0,则。，A,8三点不能构成三角形,

所以直线/的斜率不为0,设直线/的方程为X=:孙+2,

X=my+2

联立方程组IX2>2,消去X,得（那+3）/+4/*-2=0,（5分）

—I=1

162

4〃Z2

设A（XJ）‘/孙必），则X+M=-仃'X%=一心，（6分）

SAAOB=g∣OF∣∙E-％∣=E-%∣=J（M+-4χ%

4mY22瓜∖∣M