2023年北京中考数学一模试题分类汇编-代数综合含详解

2023北京中考数学一模分类汇编一一代数综合

1.(2023•海淀区一模)在平面直角坐标系xQy中，点A(xo.m),B(xo+4,〃)在抛物

线y—xi-2bx+1上.

(1)当b=5,xo=3时，比较相与〃的大小，并说明理由；

(2)若对于3WxoW4,都有求6的取值范围.

2.(2023•西城区一模)已知抛物线y=M+〃x+4的对称轴为直线x=r.

(1)若点(2,4)在抛物线上，求f的值；

(2)若点Cxi,3),(X2,6)在抛物线上，

①当，=1时，求a的取值范围；

②若且X2-X1N1,直接写出a的取值范围.

3.(2023•东城区一模)已知抛物线)，=〃/-2at(aWO).

(1)求该抛物线的顶点坐标(用含a的式子表示)；

(2)当a>0时，抛物线上有两点(-1,s),(k,力,若s>f时，直接写出k的取值

范围；

(3)若A(m-1,yi),B(m,y2),C(m+3,y3)都在抛物线上，是否存在实数

使得-a恒成立？若存在，求出〃?的取值范围；若不存在，请说明理由.

4.(2023•朝阳区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线)=0?+(2m-6)x+1经过点

(1,2w-4).

(1)求a的值；

(2)求抛物线的对称轴(用含〃?的式子表示)；

(3)点(-m,)“)，(.m,y2),(，〃+2,y3)在抛物线上，若”Vy3Wyi,求〃？的取

值范围.

5.(2023•丰台区一模)在平面直角坐标系xOy中，点A(-3,yi),B(〃+1,丝)在抛

物线y=/-2ax+\上.

(1)当a=2时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出yi和”的大小关系；

(2)抛物线经过点C(小，>3).

①当〃7=4时，若yi=”，则。的值为;

②若对于任意的4W〃?W6都满足)，］>*>",求a的取值范围.

6.(2023•石景山区一模)在平面直角坐标系xO.y中，抛物线y=o?+加:+c(n>0)的对称

轴为两个不同点(3,加)，(r+1,〃)在抛物线上.

(1)若机=〃，求f的值；

(2)若几<m<c,求f的取值范围.

7.（2023•通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点（-1,,（2,0）在二次

函数y=-x^+bx+2的图象上.

（1）当"=。时，求b的值；

（2）当（2-”）（〃-p）>0,求b的取值范围.

8.（2023•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（1,yi）,（3,在抛物线y=

x2-litvc+m2上.

（1）求抛物线的对称轴用含（根的式子表示）；

（2）若yi<”，求机的取值范围；

（3）若点（w,加）在抛物线上，若存在-l<xo<O,使yi<yo<｝，2成立，求朋的取值

范围.

9.(2023•门头沟区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax1-2ax+a-4(〃#0).

(1)求该抛物线的顶点坐标；

(2)当抛物线y=a/-2以+〃-4(aKO)经过点(3,0)时:

①求此时抛物线的表达式；

②点yi)，N(2〃+3,”)在抛物线上，且位于对称轴的两侧，当时,

求〃的取值范围.

y八

5-

4

3

2

1

0

一5-4-3-2-112345力

-1

-2

-3

-4

-5

10.(2023•房山区一模)已知抛物线y=7-2ox+A经过点(1,1).

(1)用含。的式子表示人及抛物线的顶点坐标；

(2)若对于任意a-lWxWa+2,都有yWl,求。的取值范围.

11.（2023•延庆区一模）在平面直角坐标系尤Oy中，点A（4,m）在抛物线-26x+l

上.

（1）当m=1时，求。的值；

（2）点（刈，n）在抛物线上，若存在OVxoVb,使得机=〃，直接写出人的取值范围.

y八

5-

4-

3-

2-

1

।।।।।»

-5-4-3-2-1012345x

-1

12.（2023•大兴区一模）在平面直角坐标系，中，点（-2,y\）,（2,”）,（3,”）

在抛物线y=f-2次+J+1上.

（1）抛物线的对称轴是直线（用含，的式子表示）；

（2）当y\=y2,求t的值；

（3）点（"2,”）（机#3）在抛物线上，若y2〈y3〈yi,求f取值范围及根的取值范围.

13.(2023•顺义区一模)已知：抛物线y=o?-4"-3(。＞0).

(1)求此抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称轴；

(2)已知点A(myi),B(〃+1,”)在该抛物线上，且位于对称轴的同侧.若|”-刘

W4,求a的取值范围.

14.(2023•燕山一模)在平面直角坐标系X。)，中，抛物线)，=以2-4ar+5(a70)与)，轴

交于点C.

(1)求点C的坐标及抛物线的对称轴；

(2)已知点(-1,yi),(2,*),(6,y3)在该抛物线上，且yi,”中有且只

有一个小于0,求a的取值范围.

2023北京中考数学一模分类汇编一一代数综合

参考答案与试卷解析

1.(2023•海淀区一模)在平面直角坐标系xOy中，点A(xo,w),B(xo+4,”)在抛物

线y=x2-2bx+\上.

(1)当6=5,xo=3时，比较，"与〃的大小，并说明理由；

(2)若对于3WxoW4,都有求匕的取值范围.

【分析】(1)抛物线的解析式化成顶点式，即可求得对称轴，根据二次函数的性质即可

判断；

(2)求得抛物线与直线)，=1的交点，即可求得对称轴，由对于3<xoW4,都有机<“<

X0+X0+4>

%-2<3

1得到《2解得b-2<xo<2b-4,从而得到,解得4<b<

x0+4<2b2b-4>4

5.

【解答】解：(1)由题意可知4(3,m),B(7,")在抛物线10x+l上,

10x+l=(x-5)2-24,

抛物线开口向上，对称轴为直线x=5,

(3,m),B(7,〃)到对称轴的距离相同，

•・"2=/!;

(2)当y=l时，贝!J-2级+1=1,

解得尤1=0,X2=2b,

・•・抛物线经过点(0,1),(2。，1),

・・・对称轴为直线

•.,对于3WAOW4,都有m<n<l9

.'^^>b

•・44f

x0+4<2b

解得b-2<m<2h-4,

.%-2<3

…2b-4>4

解得4</?<5.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握二次函数的性

质是解题的关键.

（2023•西城区一模）已知抛物线y=〃/+法+4的对称轴为直线x=t.

（1）若点（2,4）在抛物线上，求f的值；

（2）若点（XI,3）,（X2,6）在抛物线上，

①当f=l时，求a的取值范围；

②若且直接写出a的取值范围.

【分析】（1）将点（2,4）代入抛物线表达式得：4=4“+26+4,贝l"=-2a,即可求解；

（2）①当a>0El寸，抛物线的顶点在y=3之下，即a-2a+4W3,即可求解；当a<0H寸，

抛物线的顶点在y=6之上，同理可解；

②将点G1,3）、（X2,6）代入抛物线表达式得：整理得到。（x2-xi）（xi+x2-2r）=

3,进而求解.

【解答】解：（1）将点（2,4）代入抛物线表达式得：4=4a+2H4,

贝ijb=-2a,

则t=--=1；

2a

（2）①当t—\时，b--2a,

则抛物线的表达式为：尸。/-2亦+4,

当〃>0时，抛物线的顶点在y=3之下，

即a-2a+4W3,

解得:

当时，抛物线的顶点在y=6之上，

即a-2.+4N6,

解得：aW-2,

故。21或aW-2；

②将点（XI,3）、（A2,6）代入抛物线表达式得：

3=ax*i+4,如+4，

则(x2-xi)[a(%2+xi)+切=3,而f=-

2a

则。(%2-Xi)(xi+x2-2r)=3,

X2-xi'l,

则X2+xi-2f22xi+l-2t2l,

fWxi<JC2,

则X2-xi>0,

贝!I(%2-xi)(xi+%2-2r)21,

则.W3,

故0<“W3.

【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质等，熟悉

二次函数图象和性质是本题解题的关键.

3.(2023•东城区一模)已知抛物线丫=加-20r(a/0).

(1)求该抛物线的顶点坐标(用含。的式子表示)；

(2)当”>0[1寸，抛物线上有两点(-1,s),(k,t),若s>f时，直接写出k的取值

范围；

(3)若A(，〃-1,>,1),B(.m,y2),C(m+3,y?)都在抛物线上，是否存在实数，小

使得yi<y3<*W恒成立？若存在，求出根的取值范围；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)将抛物线y=or2-2or化为顶点式，即可求解；

(2)当〃>0时，结合二次函数的图象以及抛物线的对称性即可求解；

(3)由yi<y2<*W可得抛物线开口向下，根据抛物线对称轴为直线x=I,结合图

象求解.

【解答】解：(1)抛物线y—ax1-2ax=a(x-1)2-a,

二抛物线的顶点坐标为(1,-a)；

(2)当a>0时，如图，

X的增大而减小,

•・,抛物线的顶点坐标为（1，-4），

・・・抛物线的对称轴为为直线X=\，

・••点（-l,s）关于直线X=1的对称点为（3,S）,

,点（-1,s），（k,t）,s>tf

：.-\<k<3；

（3）存在实数相，使得yi-。恒成立，

TyiV*Vy2<-。，抛物线的顶点坐标为（1,-〃），

・・・抛物线开口向下，

•'aVO,

如图，当5（〃?，*）,C（〃任3,”）关于抛物线对称轴对称时，空生3=1,

解得m=--1,

.,./?!>-2时,-a,

2

当A(m-1,yi),3(加，")关于抛物线对称轴对称时，吗+血=1,

解得m=3,

2

.,.m〈旦时，yi<y2^-a,

2

当A(m-1,yi),C(m+3,”)关于抛物线对称轴对称时，m~1+m+3-l,

2

解得〃2=0,

时，yiV*W-〃，

综上，存在实数机，使得yiVy3〈y2W-n恒成立，加的取值范围为-上V〃?<0.

2

【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的顶点坐标，二次函数的图象以及抛

物线的对称性，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不

等式的关系.

4.(2023•朝阳区一模)在平面直角坐标系中，抛物线(2m-6)x+\经过点

(1,2/77-4).

(1)求1的值；

(2)求抛物线的对称轴(用含机的式子表示)；

(3)点(-加，yi),(〃?，>2),(/n+2,*)在抛物线上，若"Vy3Wyi,求的取

值范围.

【分析】(1)代入点(1,2^-4)即可求解；

(2)利用对称轴公式即可求解；

(3)利用二次函数的性质即可得出关于机的不等式组，解不等式组即可.

【解答】解：(1)由题意得：。+(2/H-6)+1=2加-4,

解得：a=1；

(2),・Z=1,

.•.产/+(2m-6)x+1,

二抛物线的对称轴为：直线》=空攵=3-,"；

2X1

(3)当，%>0时，可知点(-%,yi),(zzz,y2),(/n+2,”)从左至右分布，

•.,"〈”Wyi,

°、-m+m+2，

3-rn^-----------

解得1V，%<2；

当mVO时，

A一〃？V-fn+3,

不合题意，

综上，根的取值范围是1V〃ZW2.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函

数的性质是解题的关键.

5.(2023•丰台区一模)在平面直角坐标系xOy中，点A(-3,yi),B(a+1,*)在抛

物线y=j?-2以+1上.

(1)当。=2时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出yi和”的大小关系；

(2)抛物线经过点C(如*).

①当m=4时，若yi=”，则a的值为_

-2―

②若对于任意的4W〃z<6都满足yi>”>y2,求a的取值范围.

【分析】(1)由配方法可求出顶点坐标，x=-3时，yi=22,x=3时,”=-2,则可得

出答案；

(2)①由题意得出方程9+6a+l=16-8〃+1,求出。的值即可；

②分两种情况，当-3Va+lVm时，当-3<加<〃+1时，由二次函数的性质可得出答

案.

【解答】解：(1)当。=2时，y=7-4x+l=(x-2)2-3,

・・・抛物线的顶点坐标为(2,-3),

**x=-3时，yi=9+12+1=22,

x=3时，*=9-12+1=-2,

(2)①当加=4时，yi=y3,

・・・9+6。+1=16-8。+1,

J.a=—,

2

故答案为：—;

2

②..,对于任意的4W/»W6都满足yi>y3>>2,

...点A,B,C存在如下情况：

情况1,如图1,当时，<a,

...o+m<、a<nr］，

解得3<<3；

2

情况2,如图2,当-3<山<〃+l时，m+a+l〈小

2

：.a>m+l,解得a>7,

综上所述，3<“<3或a>7.

2

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、

二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题

的关键.

6.（2023•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线（a>0）的对称

轴为x=f,两个不同点（3,加），（/+1,n）在抛物线上.

（1）若"?=小求，的值；

（2）若〃求f的取值范围.

【分析】（1）由机=〃得，点（3,,〃）与G+1,”）关于对称轴x=r对称，由中点坐标

公式求出r的值即可.

（2）分，<0,f=0,r>0结合图形进行讨论，只有f>0时符合题意，当r>0时，根据

点（3,w）到对称轴x=z的距离要大于点（什1,ri'）到对称轴x=z的距离，得到|3-/|

>1,由机<c,得到3<2f,从而得到r的范围.

【解答】解：（1）；加=〃，

.•.点（3,m）与（Z+1,n）关于对称轴x=f对称，

••3•+t+l―一I,

2

；*=4.

（2）①如图1,当fVO时，当x=3时，m>c,不符合题意.

②当1=0时，c•是最小值，不符合题意.

③如图2,当，>0时，

tn<c,

：.3<2t,

2

・,•点（3,m）到对称轴的距离要大于点（什1,〃）到对称轴冗=，的距离，

当，>3时，r-3>l,

Ar>4,

当f<3时，

综上得，/的取值范围为：3<f<2或f>4.

2

~卜3

图1

【点评】本题考查了二次函数的性质以及点的坐标特征，掌握数形结合思想是解题关

键.

7.（2023•通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点（-I,〃），（2,/?）在二次

函数y=-/+云+2的图象上.

（1）当〃="时，求b的值；

（2）当（2-〃）（〃-p）>0,求b的取值范围.

【分析】（1）把点（-1,n）,（2,p）代入y=-x1+bx+2中得，n=-\-h+2,p=-

4+2b+2,解方程即可得到结论；（2）把点（-1,〃），（2,p）代入y=-7+云+2中

得，n--\-b+2,p=-4+2b+2,解不等式即可得到结论.

【解答】解：（1）把点（7,〃），（2,p）代入y=-/+6x+2中得，〃=-1-6+2,

p=-4+2》+2,

°：n=p,

A-1-b+2=-4+2H2,

解得b=1；

(2)把点(-1,”)，(2,p)代入y=-j^+bx+2中得，〃=-1-b+2,p=-4+26+2,

(2-n)(〃-p)=(2+1+6-2)(-1-6+2+4-2b-2)=-3廿+3>0,

解得-

故6的取值范围为-

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，正确

地求出b的取值范围是解题的关键.

8.(2023•平谷区一模)在平面直角坐标系xOy中，点(1,yi),(3,”)在抛物线y=

x2-Imx+m2上.

(1)求抛物线的对称轴用含(机的式子表示)；

(2)若yiV中,求m的取值范围；

(3)若点(xo,在抛物线上，若存在-1<刈<0,使yi<yo<”成立，求相的取值

范围.

【分析】(1)利用对称轴公式求得即可；

(2)由yiV中,得到1-2机+巾2<9-6，*+川，解不等式即可;

(3)由题意可知"，W9-6机+机2,_2m+〃p,解不等式组即可.

【解答】解：(1)；抛物线丫=/-2尔+序，

...抛物线的对称轴为直线X=WL=W；

2X1

(2),点(1,yi),(3,y2)在抛物线y=/-2蛆+序上，且yi<”,

1-2tn+rn^<9-6m+tn，

(3)・.•点(兀()，>x))在抛物线上，存在-IVxoVO,使yiVyoV”成立，

.l+2m+l-2m+m^

m2：C9-6m+m2

解得

【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次

函数的性质是解题的关键.

9.(2023•门头沟区一模)在平面直角坐标系直刀中，抛物线y=o?-2奴+。-4(〃70).

(1)求该抛物线的顶点坐标；

(2)当抛物线丫=加--4(a#0)经过点(3,0)时：

①求此时抛物线的表达式；

②点M(n-2,yi),N(2/?+3,”)在抛物线上，且位于对称轴的两侧，当时,

求〃的取值范围.

y八

5-

4

3

2

1

।।[1।»

-5-4-3-2-1012345a

-1

-2

-3

-4

-5

【分析】(1)把(3,0)代入)，=o?-2ox+a-4即可求得；把解析式化成顶点式即可;

(2)①把。=1代入解析式求解即可；

②分两种情况讨论，列出不等式组可求解.

【解答】解：(1)y—ax1-2ax+a-4—a(x-1)2-4,

工抛物线丫二奴2-2or+“-4(a#0)的对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,-4)；

(2)①•.•抛物线y=a?-2ox+a-4(g0)过(3,0),

.,.9〃-6a+a-4=0,

解得4=1；

此时抛物线的表达式为-2x-3；

②；a=1,

抛物线开口向上，

若点M在对称轴直线x=l的左侧，点N在对称轴直线x=l的右侧时，

n-2V1

由题意可得，2n+3>1，

I-(n-2)>(2n+3)-1

3

若点N在对称轴直线x=l的左侧，点M在对称轴直线x=l的右侧时，

n-2〉1

由题意可得：<2n+3<1，

1-(2n+3)>(n-2)-1

不等式组无解，

综上所述：-1

3

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元一次不等式

组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

10.(2023•房山区一模)已知抛物线y=/-2办+匕经过点(1,1).

(1)用含。的式子表示b及抛物线的顶点坐标；

(2)若对于任意都有户1,求a的取值范围.

【分析】(1)把点(1,1)代入y=7-2ax+b计算可求得含a的式子表示b的代数式，

配方成顶点式，即可求解；

(2)由(1)知抛物线的对称轴为直线x=“，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越

大，则当x=a+2时，代入计算，解不等式即可求解.

【解答】解：⑴•.•抛物线y=f-2ax+b经过点(1,1),

.*.1=1-2a+b,

••Z?=2。，

".'y—x1-2ax+b—(x-a)2+2a-a2,

二抛物线的顶点坐标为(a,2a-a2)；

(2)''y=j？-2ax+b=(x-a)~+2a-a2,

.••抛物线的对称轴为直线x=a,

•••抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，且a-lWxWa+2,

.,当尸。+2时，y最大二(a+2-a)2+2a-a2=4+2a-/4]，

即d-24-320,

・・・(。-3)(a+1)20,

.•.卜-3>0或卜-3<0,

[a+l)0la+l40

解得或aW-1.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键.

11.(2023•延庆区一模)在平面直角坐标系尤。)，中，点A(4,m)在抛物线丁=/-2法+1

上.

(1)当"?=1时，求。的值；

(2)点(M),〃)在抛物线上，若存在OVxoVb,使得加=〃，直接写出。的取值范围.

y八

5-

4-

3-

2-

1

-5-4-3-2-1012345x

-1

【分析】(1)利用待定系数法求解；

(2)构建不等式解决问题即可.

【解答】解：(1)当m=1时，点A的坐标为(4,1),

点A在抛物线y=/-2bx+\上，

J1=42-26X4+1上，

，6=2；

(2)；抛物线的对称轴x=b,

观察图象可知，当x=6>2时，且8=4时，存在O<xo<b,使得机=〃，

；.6>2且b/4.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握待定系数法，学会构

建不等式解决问题.

12.(2023•大兴区一模)在平面直角坐标系xOy中，点(-2,yi),(2,”)，(3,

在抛物线y=x1-2fx+尸+1上.

(1)抛物线的对称轴是直线(用含，的式子表示)；

(2)当yi=",求/的值；

(3)点(m,k)(mW3)在抛物线上，若"VyjVyi,求f取值范围及机的取值范围.

【分析】(1)利用对称轴公式即可求解；

(2)根据抛物线的对称性即可求解；

(3)利用二次函数的性质即可得出关于〃?的不等式组，解不等式组即可.

【解答】解：(1);抛物线丫=f-2a+於+1,

，抛物线的对称轴是直线x=--2t=t；

2X1

(2)•点(-2,yi),(2,*),(3,”)在抛物线y=--2fx+P+l上，且yi=”，

•••抛物线的对称轴为直线x=22=o,

2

.*.Z=0;

(3),・,点(加，”)("W3)在抛物线上,

抛物线对称轴为直线x=f=三生，

2

V)^2<y3<yi,

/<-2+3<t<2+3t即工<<5,

2222

.「2+3<m+3gp-2<m<2.

222

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次

函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

13.(2023•顺义区一模)已知：抛物线丫=。/-4仪-3(a>0).

(1)求此抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称轴；

(2)已知点A(72,yi),S(n+L”)在该抛物线上，且位于对称轴的同侧.若|y2-yi|

W4,求〃的取值范围.

【分析】(1)当x=0时，求出y的值，即可确定抛物线与)，轴交点坐标，根据对称轴公

式尢=上求解即可；

2a

(2)根据点A(〃，yi),B(〃+1,y2)在该抛物线上，且位