2023-2024学年黑龙江省大庆市肇州县高二年级下册开学考试数学（含答案）

2023-2024学年黑龙江省大庆市肇州县高二下册开学考试数学

一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的).

1.己知双曲线的一个焦点为(石,0),渐近线方程为x±^y=0,则该双曲线的标准方程为

()

22

A.--x2=lB.=1

22

22

C.x2-^-=lD.--->2=1

22-

2.己知数列｛%｝满足凡+i=ga“，若。4+%=3,则4+%=()

1

A.-B.1C.6D.12

9

3.已知抛物线C：V=-4x,直线/过定点尸(0,1),与C仅有一个公共点的直线/有()

条

A.1B.2C.3D.4

4.设等差数列｛““｝的前〃项和为S”，若q+出+%=。4+%，55=60,则%=()

A.16B.20

C.24D.26

丫22

5.尸是双曲线"号=1上一点，耳,工是双曲线的两个焦点，且冏1=9,则|叫=()

A.1B.17C.1或17D.2或18

6.设正项等比数列｛%｝的前〃项和为5“，若邑=2见+74,则公比夕为()

A.2或一3B.3C.2D.-3

7.过抛物线C：y?=2px(2>0)的焦点F的直线/与抛物线C交于两点A,8,若3A尸=5FB，

则直线/的斜率欠=()

A.土屈B.±2五C.+y/5D.±73

8.已知双曲线C：W-1=l(a>08>0)的左、右焦点分别为的、尸”过尸2作垂直于实轴的弦

a-b

jr

PQ,若NP"Q=1，则C的离心率e为()

A.V2-1B.V2C.72+1D.亚+2

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四

个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分,

有选错的得0分）

22

9.若方程+工=1表示的曲线为C,则下列说法正确的有（）

4Tt-2

A.若2<f<4,则曲线。为椭圆B.若曲线C为双曲线，则/<2或/>4

C.若曲线C为椭圆，则椭圆的焦距为2r

D.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则2<r<3

10.数列｛q｝的通项公式为。,,="+3.若数列｛%｝单调递增，则实数a的值可以是（）

n

A.-1B.0C.1D.2

11.设等比数列｛a〃｝的前甘项和为且满足的此多,则（）

A.数列｛“〃｝的公比为2B.数列｛助｝的公比为8

12.已知抛物线丁=2*（〃>0）的焦点为尸，过点尸且倾斜角为7的直线/与抛物线相交于

A,5两点，|A@=8,过A,8两点分别作抛物线的切线，交于点。.下列说法正确的是（）

A.QArQBB.^AOB（。为坐标原点）的面积为2夜

C.而+血=2D.若P是抛物线上一动点，则1PMi+|PF|的最小值为g

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知数列｛4｝,｛么｝均为等差数列，且其前〃项和分别为$“和7”.若争=景|，则

&=

A-------

14.设等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且a,用=S,,+2（〃eN*）,则a.=.

15.设尸为抛物线C：/=16y的焦点，直线/：y=-1,点A为C上任意一点,过点A作

于P,则||AP|_|4F||=.

22

16.已知离心率为G的椭圆C1：之■+与=l（q>4>0）和离心率为e2的双曲线C2：

坪

r22

与-£v=1（%>0/2>0）有公共的焦点，其中耳为左焦点，尸是C1与C2在第一象限的公共点.

线段。耳的垂直平分线经过坐标原点，则4e；+说的最小值为

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的步骤或文字说明或证明过程)

17.(1)设抛物线f=2py(p>0)上第一象限的点〃与焦点尸的距离为4,点M到V轴的

距离为廊，求抛物线方程；

(2)求与双曲线片-片=1有共同的渐近线，且过点(-3,26)的双曲线标准方程.

916

18.已知数列｛q｝满足4=1,+.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列标)的前“项和

19.设等差数列｛4｝的首项为1,数列圾｝满足：仇=1,4=2,且凡'也,-“川

(HeN*).

⑴求等差数列｛q｝的通项公式；

(2)求数列］彳——匕~\的前〃项和S”.

20.己知等比数列｛4｝的首项为由,公比为勺，且关于X的不等式qx2-*-12>0的解集为

(-00,-2)<J(6,+oo).

(1)求凡;

(2)设〃=4+啕4,求数列也｝的前“项和却

22

21.已知双曲线C:三-£=l(a>0力>0)的渐近线方程为产环实轴长26

(1)求C的方程;

(2)若直线/过C的右焦点与C交于A&，x),5(孙％)两点，中2=6,求直线/的方程.

22.已知抛物线C:y2=2px过点A(l,l),过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于两个不同

的点(均与点A不重合).

⑴求抛物线C的方程及焦点坐标；

⑵设直线40,4V的斜率分别为勺，包,求证：勺网为定值，并求出该定值.

答案：

1.D

【分析】先确定焦点位置，再求出即可.

【详解】解：由题意得：双曲线的焦点在X轴上，且c=6,2=变，再由‘2=/+〃，解

a2

得：(T=2,b-=\,该双曲线的标准方程为

故选D.

2.D

【分析】由4可知数列｛4｝是公比为q=g的等比数列，再由题意结合等比数列的通

项公式代入可求出答案.

【详解】由“向=1an可知数列｛可｝是公比为q=g的等比数列，

所以%+%=3=%-Q2+«3,Q2=(生+。3>42=；(42+%)>

解得.％+%=12

故选：D

3.C

【分析】过抛物线外一定点「(()」)的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两种情况分别

讨论，一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切，根据这两种情况进而求解.

【详解】过点P(O，D的直线/与抛物线C：V=-4x仅有一个公共点，则该直线/可能与抛物线

的对称轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：

当直线/与抛物线的对称轴平行时，则直线/的方程为：y=i,满足条件；

当直线/与抛物线相切时，由于点P(O,D在x轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛物

线相切，易知I：x=0是其中一条，

不妨设另一条直线/的方程为、=履+1,联立直线/与抛物线方程可得：

k2x2+(2k+4)x+l=Q,则有A=(2k+4)2-4%2=0,解得：k=—l,

所以过点尸(0,1)的直线/的方程为：y=l或x=o或y=T+l,

故选.C

4.A

【分析】利用等差数列通项和求和公式化简已知等式可求得4,d,由%=4+44可得结果.

【详解】设等差数列｛《,｝的公差为"，

q+4+4=4+〃5,「Sq+34=2〃]+7d,解得：4=4d,

5x4

S5=5a]+2d=30d=60,解得：d=2,，q=8,

%=4+4d=16.

故选：A.

5.B

【分析】利用双曲线的定义即可求解.

22

【详解】由双曲线方程为土-乙=1可得：叱4,。=6,

1620

22

因为p是双曲线三-汇=1上一点，6,K是双曲线的两个焦点，

1620

由双曲线的定义可知：||「用-1尸或=24=8,又因为|P周=9,

所以归国=1或17,由题意可知：\PF2\>c-a=2,所以归闾=17,

故选.B

6.B

【分析】根据已知条件列方程求得q.

【详解】依题意$3=2%+7《，

即4+生+%=2%+7apa3-a2+64,

442=44+64,依题意q>0,

所以/-q-6=0,由于4>0,故解得4=3.

故选：B

7.A

【分析】根据给定条件，设出直线/的方程，与抛物线方程联立，借助韦达定理及向量关系

求解作答.

【详解】抛物线C：9=2力的焦点F(5,0),显然直线/不垂直于y轴，设直线/的方程为

p

i万

_E

22

由，“=)'+,消去x并整理得：y-2pty-p=0,设4为,％),例々，必)，则

y2=2px

%+以=2",丫跖=-P：

AF=(^--xA,-y,'),FB=(x2-^,y2),由3AF=5尸B得：X=-g%，而％+%=28,

贝IJ有乂=50,乃=-30，因此X%=-15。)2=-。2,解得f=±£,则％=1=±巫,

“5t

所以直线/的斜率氏=土后.

故选：A

8.C

首先根据已知条件建立等量关系，进一步利用通径和焦距间的等量求出双曲线的离心率.

【详解】解：双曲线的左右焦点分别为写、8,过K作垂直于实轴的弦PQ,若=

则：△?耳。为等腰直角三角形.

由于通径P。=生2b2，

a

则：2c=—»

解得：c2-a2-2ac=0,

所以：e2-2e-1=0,

解得：e=\±5/2;

由于e>l,

所以：e=l+6,

故选：C.

本题考查通径在求离心率中的应用，等腰直角三角形的性质的应用.属于基础题型.

9.BD

【分析】根据f的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可.

4-r>0

【详解】对于A,当，-2>0时，即2y<3或3<，<4,此时曲线C为椭圆，故A错；

4THf-2

对于B,若曲线C为双曲线，则(4T).(f—2)<0,即f<2或f>4,故B对;

对于C,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则椭圆的焦距为2n-2)=2>/^方,

若曲线C为焦点在，轴上的椭圆，则椭圆的焦距为2”-2-(4-)=26二,故C错；

对于D,曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则4T>，-2>0,解得2<f<3,故D对.

故选：BD.

10.ABC

【分析】根据数列｛%｝单调递增，即a<〃2+〃，〃wN*恒成立求解.

【详解】解：因为数列｛q｝单调递增，

所以

即〃+1+------>〃+—,

〃+1n

整理得a<"2+〃，即a<〃2+〃，〃eN"恒成立.

因为/5)=〃2+〃在〃wN*时的最小值为2,

所以a<2.

故选：ABC.

11.AD

【分析】由题意，若等比数列｛〃〃｝的公比为4，有六8求根据等比数列前〃项和公式求

苓，即可判断各选项的正误.

【详解】••.等比数列｛“〃｝的前〃项和为Sn,且满足%=8%，

.•谭=八8,解得q=2,

U3

9M=l+/=9.

S3i-q

故选：AD.

12.AB

【分析】对于A：先根据弦长公式求出P得出方程，再分别求出斜率相乘即可验证；

对于B：代入面积公式转化为韦达定理即可求解；

对于C:通分代入韦达定理所得的式子即可求解；

对于D：根据抛物线的定义即可求解.

【详解】•；/过点F且倾斜角3，

4

・•・直线/的方程为x=y+g与抛物线方程联立，得），2-20，-/=0,

设A（%，x）,3（%2，%），则弘+%=2。，%为=-「2,

-x,+x2=3p,中=.（』内）_=2,

1-4p24

,/\A^=p+xl+x2=4p=89

P=2,则y2=4苫，

不妨设y>o,当y>o时，

•••过点A的切线的斜率为心=Mf=在，

同理可得过点B的切线的斜率为原=)'Lf=一忑，

,,12

V«=~7==一一=-1,AQAA.QB,故A项正确；

P

SAA.=gI。尸|,M-必|=gJ(M+先J-4y跖=；=2夜，故B正确;

11114P2

----1----=-------1------=-------------------=—=1

\AF\\BF\J'Pp(\p2p,故c错误;

%l222占*2+§国+*2)+勺

设点M到准线的距离为d,若"（1,1）,则|则+|叩2"=1+勺2,故D错误.

故选：AB.

【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的：=:詈，再由等差数列的求和公式,

转化为率，从而得到答案.

15

【详解】因为数列｛凡卜也｝均为等差数列，且争=案',

5（q+一）

所以。_4+%_5_$5J5-2=13

-

2/bt+bs5屹+4）T5~10+111

2

+J3

故77

14.2"

【分析】由题知当"22时，a„=Sn_l+2,进而结合已知得公比为2,再求得q=2即可求解.

【详解】解：因为“,用=S,,+2（〃eN*）

所以，当〃22时，a„=S.T+2,

所以a,I+t-an=S„-S,-=an,即”,出=2an,

所以，等比数列｛q｝的公比为2,

所以，当〃=1时，/=S|+2=4+2,

所以24I=q+2,解得％=2,

所以。“=22一=2"

故2"

15.3.

【分析】设点A坐标为（七,%）,利用抛物线的焦半径公式可得|AF|=%+4,由点到直线的

距离公式可得IAP|=%+1,代入||”|-|AF||即可得解.

【详解】由/=16），可得焦点坐标为尸（0,4）,准线方程为y=T,设点A坐标为（毛,%）,由

抛物线的定义可得|AE=%+曰=%+4,

因为过点A作于P,可得|42|=%-（-1）=%+1,

所以||AP|-|A邦=|%+1-（%+4）|=3.

故答案为.3

9

16.一##4.5

2

【分析】设尸2为右焦点，半焦距为J尸耳=%尸入=》,由题意，PFi1PF29则

222

x-by=4c,x+y=2a^x-y=2a2f所以（2q+（2%）?=,从而有4+4"=2,最

e\e2

后利用均值不等式即可求解.

【详解】解：设尸2为右焦点，半焦距为%尸6=x，尸乙=y,由题意，尸耳，尸鸟，则

22

x+y=4c2,x+y=2a^x-y=2a2,

11

所以（2aJ9+（2%）9-=2-4c2,即-7+^=2,

e\e2

故（4e；+e；）-y+-y=5+当~+乌..5+2，与ig=9,当且仅当/时取等，

'"（e：el）纭e：N%e；2

9

所以4e[+e；…5,

故答案为成9

17.①f=10y；②?4-1.

4

【分析】（1）设M（x,y）,根据抛物线上第一象限的点M到V轴的距离为而，求得M的

坐标，再利用抛物线的定义求解;

(2)设与双曲线$=1有共同的渐近线的双曲线的方程为

,再由双曲线过

916916

点(-3,2白)求解.

【详解】(1)设M(x,y),

因为抛物线x2=2py(p>0)上第一象限的点M到>轴的距离为而，

所以x=万，

则(再了=2外，

3

解得y=],

又因为点M与焦点F的距离为4,

由抛物线的定义得，4=4,

22

解得P=5,

所以抛物线方程是x2=10y；

(2)设与双曲线片-《=1有共同的渐近线的双曲线的方程为=

2,

916916

因为双曲线过点(-3,2石)，

所以所求双曲线标准方程是可一彳二1

4

18.(1)a„=nT-'.(2)5„=2"-1.

【分析】(1)利用数列递推式中的累乘法求通项.

⑵利用等比数列的公式法求和.

1(1、a,,2(〃+1)

【详解】⑴由彳4川=1+一。“可得3二三~--

2I«„«

所以"=2X£,幺=2X]旦=2X(，…，2—=2x号(〃..2),

a}1a22a33an_{n-1

以上各式左右两边分别相乘可得

生生。4/-r-'J2x3x4xxn]

a2a3an-\(123n-\)

即"=2"T.〃,所以a=〃.2"T(*2),

公式对“=1也适合,所以

⑵因为（2"T,所以数列为等比数列，

且公比为2,首项为1,通项组=2"T

n

由公式法可得数列的前“项和s=-0-2"）=2"_1.

〃1-2

19.⑴4=2〃-1

⑵S"=岛

【分析】⑴根据题意将〃=1代入递推公式中，求出的，进而得出等差数列的公差，利用定

义法求出等差数列的通项公式：

（2）由⑴可知。”的通项公式，代入递推公式，变形可得%=%,即［4］为常数列，求出",

利用裂项相消求和法即可求出S„.

⑴

ahb

因为„n+i~„=4+也,一%（"eN"）

所以当九=1时，。也一乙=。24一优=%=3,则。2-4=2

所以等差数列｛4｝的公差为2,

由等差数列的通项公式可得：

（2）

由（1）可知4出=2〃+1,代入anbn+l-b„=an+lbn-b„+l中可得:

用一々=（2〃+1）々一〃田=箝=勺，故数列为常数列,

hb

又g=l,故字=ln»=〃，

【分析】（1）首先把不等式转换为方程，进一步求出首项和公比，再利用等比数列的定义求

出数列的通项公式.

(2)利用(1)的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和.

【详解】(1)等比数列｛q｝的首项为4,公比为4,且关于X的不等式4/-於-12>0的解

集为(YO,—2)U(6,+OO).

则-2和6为4/-/-12=0的两根，

所以(-2)+6=",(-2"6=_匕

解得4=1,q=4.

所以4=4广=4"，

(2)由(1)得〃,=a“+log4a“=4"T+〃-l,

所以％=1+4+...+4"—+(1+2+…+〃-1),

4"-1n(n-l)

=--------F----------，

4-12

4〃一1n2-n

=-------+--------.

32

本题主要考查了求等比数列的通项公式，考查了分组求和，属于中档题.

x22

21.⑴C:hJv=1

22

(2)2%+丁-4=0或2%-丁-4=0.

【分析】(1)根