2022-2023学年河北省唐山市开滦高一年级下册6月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省唐山市开滦高一下学期6月月考数学试题

一、单选题

1.已知复数Z满足z+3=4^+5i,i是虚数单位，则z?=()

A.-2iB.2iC.1+iD.1-i

【答案】B

【分析】设z=“+%SeR,BeR),代入题目条件，然后列方程求出则可得复数z,进而可得

z2.

【详解】设2=。+历,(。6尺8€1<),

.z+3=4z+5i

.,.a+例+3=4（a-Z?i）+5i,

+3+/=4a+（5-4/7）i,

a+3=4a

b=5-4b

z2=（l+i）2=2i.

故选：B.

A.景区4这7年的空气质量优良天数的极差为100

B.这7年A,8景区空气质量优良的天数在2016年相差的最多

C.景区B这7年的空气质量优良天数的第60百分位数为273

D.这7年景区A的空气质量优良天数的标准差比景区B的空气质量优良天数的标准差大

【答案】D

【分析】根据折线图依次计算判断每个选项即可.

【详解】对A,景区A这7年的空气质量优良天数的极差为313-203=110,故A错误；

对B,这7年A,B景区空气质量优良的天数在2018年相差的最多，故B错误；

对C,景区8这7年的空气质量优良天数数据从小到大为255,262,262,266,280,283,293,

因为7x60%=4.2,所以景区8这7年的空气质量优良天数的第60百分位数为280,故C错误.

对D,由折线图可知这7年景区A的空气质量优良天数的数据波动比景区B的空气质量优良天数的

数据波动大，所以景区A的空气质量优良天数的标准差比景区B的空气质量优良天数的标准差大，

故D正确.

故选：D.

3.已知AfiC的斜二测画法的直观图为.A'B'。，若A'B'=4,*C'=3,ZA'B'C'=60。,则..ABC的面

积为（）

A.3上B.逗C.6瓜D.12x/6

4

【答案】C

【分析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解.

【详解】由条件可知，S*gc=；x4x3x*=3G，

由*==乎，解得.c=6折

故选:c.

4.已知口=4;•力=-6应，且向量°在向量上的投影向量为-手農则b的模为（）

A.1B.2夜C.3D.9

【答案】C

【分析】根据投影向量的公式计算即可

【详解】由题，设a,b的夹角为依则^cos0=芹，故-竿W=解得W=3

故选：C

5.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角的大小为（）

A.60°B.45°C.30°D.75

【答案】A

【分析】由锥体的体积公式求出正四棱锥的高，再由二面角的定义即可求解.

【详解】设正四棱锥的高为厶，底面动长为。，

则/+储=（2"『=24,解得a=2百，

17=9％=4〃=12,解得〃=3,

设侧面与底面所成的二面角为9（04"90）,

tan0=—=+

则£，即e=60•

2

故选：A

6.由下列条件解一ABC,其中有两解的是（）

A./?=20,A=45°,C=80°B.a=30,c=28,8=60。

C.a=14,c=16,A=45。D.tz=12,c=10,A=120°

【答案】C

【分析】只有是已知两边及一边的对角，且已知角为锐角才可能出现两解，此时先求另一边所对的

角，再结合边角关系来判断解的个数

【详解】对于A,8=180-A-C=55，由正弦定理可得三=々7=，/,

sinAsinnsinC

,匕sinA力asinC工日日上点4左力

由〃=——和C=.-可知。和c只有唯一解，

sinnsinA

所以A5C只有唯一解，所以A错误；

对于B,由余弦定理〃=/+02-2〃8058可知6只有唯一解，

,222

由余弦定理可得cosA=2~匕=■，又0＜厶＜乃且卜=85在（0,乃）上单调递减，

2bc

所以A只有唯一解，同理可知C也只有唯一解，

所以_MC只有唯一解，所以B错误；

对于C,由正弦定理可得号=二,所以sinB=更吧，由可知3＞厶，

sinAsinoa

因此满足sinB=^^的B有两个，

a

所以一ABC有两解，所以C正确；

对于D.由余弦定理c?=/+〃-2"cosC可知c只有唯一解，

由余弦定理可得cosA=，又0<A〈》且V=COM在（0,%）上单调递减,

2bc

所以A只有唯一解，同理可知8也只有唯一解，

所以ABC只有唯一解，所以D错误

故选：C

7.如图，在正方体ABC。-A8CA中，E是CC,的中点，则异面直线AE是AA所成角的余弦值等

A巫B.@C,—D.—

6363

【答案】C

【分析】以。点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两异面直线的方向向量，利用向量夹

角公式，即可求出结果.

【详解】以。点为坐标原点，分别以D4,DC,所在直线为x轴，V轴，z轴，建立如图所示

设正方体ABC。-4耳GA的棱长为2,

由题意，可得A（2,0,0）,4（2,0,2）,E（0,2,l）,D,（0,0,2）,

所以AE=(-2,2,-1),物=(-2,0,2),

.一八\E-AD,4-272

I此|AE，AZ)||J4+4+IXJ4+46，

所以异面直线AE是AR所成角的余弦值等于走.

6

故选：C.

【点睛】方法点睛：

求空间角的常用方法：

(1)定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题

中条件，解对应三角形，即可求出结果；

(2)向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角(直线方向向量与直线方向向量、直

线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量)余弦值，即可求岀结果.

8.已知。为正三角形A8C内一点，且满足OA+，OB+(l+/l)OC=0,若的面积与QAC的面

积之比为3,则2=()

A.；B.-C.-D.-

2442

【答案】A

【分析】分别取AC、BC的中点。、E,连接OE、AE,由平面向量的线性运算可得OO=-XOE，

进而可得SA°.C=；S：,即可得解.

【详解】分别取AC、8c的中点。、E,连接。E、AE,如图，

所以OE是4BC的中位线，

因为OA+/lO3+(l+/l)OC=0,所以OA+OC=-/1(O8+OC),

所以0£>=-；l0E,所以。、E、。三点共线,

所以SAOAC=彳S&OAB=7S^ABC~~S△,底,

363

所以。。=丄EO即0。=-丄OE,所以-4=-丄即4=丄.

3222

故选：A.

【点睛】本题考查了平面向量共线、线性运算及基本定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归

思想，属于中档题.

二、多选题

9.已知复数2=空，则下列说法正确的是（）

1+1

A.|z|=13B.z的虚部为一2

C.z在复平面内对应的点在第四象限D.z的共辗复数为—3-2i

【答案】BC

【分析】根据复数的除法运算法则求出z,再根据复数的模长公式、复数的概念、复数的几何表示

以及共辆复数的概念可得答案.

5+i_(5+i)(l-i)

【详解】Z=T7T-(l+i)(l-i)=3-2i

|z|=j32+（-2尸=岳,故A不正确:

z的虚部为一2,故B正确；

z=3-2i在复平面内对应的点（3,-2）在第四象限，故C正确；

z=3-2i的共规复数为乞=3+2i,故D错误.

故选：BC

10.设“、6是两条不同的直线，尸是两个不同的平面，下列说法错误的是（）

.i1

A.右n“丄bua,则a丄aB.若a〃6，buP,则6〃c

C.若aua,buP,aL/3,贝心丄,D.若a丄a,a〃尸，则a丄

【答案】AC

【分析】根据线面、面面关系的性质定理与判定定理一一判断即可；

【详解】解：对于A：若：丄力，bua,则。丄。或a//a或aua或。与a相交不垂直，故A错误;

对于B：若a〃£,bu/3,根据面面平行的性质可得b〃夕，故B正确；

对于C：若aua,bu。，a丄£,则：丄力或a〃。或。与6相交或。与b异面，故C错误；

对于D：若“丄a,alIp,根据面面垂直的判定定理可得&丄力，故D正确;

故选：AC

11.在J1BC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,有如下判断，其中正确的判断是（）

A.若A>B,则sinA>sin8

B.若acosA=6cos8,则ABC是等腰三角形

C.若_ABC为锐角三角形，则sinA>cosB

D.若cos?A+cos?8-cos2c>1，贝！］.ABC是钝角三角形

【答案】ACD

【分析】A：由大角对大边，及正弦定理判定：利用正弦定理及二倍角公式判断B；根据正弦函数的

性质及诱导公式判断C；根据余弦定理判断D；

【详解】解：对于A：在中，若/>6,则。>〃，

则2RsinA>2RsinB,则sinA>sin8,故正确；

对于B：acosA=bcosB,sinAcosA=sinBcosB,

.•.sin2A=sin23,:.A=B,或24+23=180°即A+B=90°,

为等腰或直角三角形，故不正确.

jr7171

对于C：当一ABC为锐角三角形时，A+B>-,->A>--B>0,

sinA>sin（^-B）=cosB,可得sinA>cosB成立，故C正确.

对于D：若cos?A+cos?8-cos2c>1，则1一sin?A+l-sin?B-l+sin2c>1,

即sirOsirB+sii?A,HPc2>&2+a2,即d-（庁+叫>0所以cosC<0,

即C为钝角，故一AfiC是钝角三角形，故D正确：

故选：ACD.

12.如图，棱长为2的正方体中，P为线段片。上动点（包括端点）.则以下结论正

确的为（）

A.三棱锥尸-48。体积为定值4;

B.异面直线A。，BQ成角为45

C.直线AA与面AB。所成角的正弦值且

3

D.当点P为BQ,中点时，三棱锥尸-AB。的外接球表面积为1E

【答案】ACD

【分析】易证4R〃平面A8。，故三棱锥尸-48。体积为定值；易得B、D"/BD,ABD为等边三

角形，故B错误；由向量法可判断C正确；转化顶点，易证4/丄平面利用正、余弦定理求

出的外接圆半径，将所求问题转化为圆柱外接球问题，进而判断D项.

【详解】因为DD,&BB、,所以四边形BDD国为平行四边形，所以BQJ/BD,

又因为与鼻0平面A/。，Mu平面AB。，所以平面A/。，又产为线段8Q上动点，所以

产到平面A/。距离为定值，故三棱锥P-AB。体积为定值，当点尸与。重合时，

1114

VP-A,BD==35AAOCi,^S=-X-x2x2x2=-,故A正确；

因为B\D\"BD,故4。与BQ所成角等价于AQ与8。所成角，人8。为等边三角形，所以异面直线

AQ,8a成角为60,故B项错误；

以D4方向为x轴，0c方向为了轴，。。方向为z轴建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0),A(2,0,0),8(2,2,0)，A(2,0,2),想=(0,0,2),0A=(2,0,2),DB=(2,2,0),

n-DA.=0fx+z=0

设平面AB。的法向量为〃=X,y,z,则',即c，令x=l,得y=z=-l,故

n-DB=0[x+y=0

〃=(L-1,-1),设直线AA1与面A所成角为。，

所以AP丄旦8,BB\CBR=Bi，u平面3BQ。，所以A|P丄平面8BQO,即4/丄平面切》,

,BD=2&,CP=DP=R,

所以cosNB必旷媼7庁=言=g,sinNBPO=当，ABDP的外接圆半径为

BD_2废_3鼻

r=2sinZfiDP=^^=2,故所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为厶=4尸=虚的圆柱的

2x-----2

3

外接球表面积,设三棱锥P-AB。的外接球半径为R,则R2=/+图=泊=?，故三棱锥P-4亜

的外接球表面积为S=4兀紹=4兀x?=1E,故D项正确.

故选：ACD

三、填空题

13.某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽

取50名学生，则应抽取的女生人数是人

【答案】20

【分析】根据分层抽样等比例的性质求应抽取的女生人数.

【详解】由题意，应抽取的女生人数是50x黑=20人.

故答案为：20

14.已知向量a=(l,2),5=(-2,y),若a"b，则Ra-*.

【答案】4非

【分析】根据平行关系得到y=v,利用平面向量坐标运算法则求出答案.

【详解】由a//6可得2x(—2)=0,解得y=T,

则2a-b=(2,4)—(-2T)=(4,8),所以"-同=,4?+8?=4非.

故答案为：4亚

15.如图所示，PC为竖直立于广场上的旗杆，在点A、点B处分别测得旗杆底端C点位于北偏东45

方向和北偏西30方向(点A、B、C位于同一水平面内，且点8在点A的正东方向)，从点8处仰

望旗杆顶端P的仰角为60,已知AC=15m,则旗杆PC的高度为m.

北

7^东

【答案】15五

【分析】利用正弦定理可求得BC,然后在Rt./3C可求得PC,即可得解.

【详解】由已知，在一A8C中，ZBAC=45.NABC=60,AC=15m,

ACBCACsin45

山正弦定理可得BC==5#m,

sin60sin45sin60

在Rt_PBC中，ZPCB=90,NPBC=6O,8c=5#m,

所以，PC=BCtan60=15^m.

故答案为：150.

16.如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为2,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,

绕圆锥爬行一周后回到点尸处，若该小虫爬行的最短路程为2石，则这个圆锥的体积为.

81

【分析】根据题意，画岀圆锥的展开图，由小虫爬行的最短距离，求出圆锥底面圆半径，推出圆锥

的高，进而可求岀结果.

【详解】画岀该圆锥的展开图，如图所示，

P'

则该小虫爬行的最短路程为PP',即PP'=2x/3，

又圆锥母线长为/=2,

所以。03//0尸，_22+22_（2抬）_1,因此NPOP』斗,

2x2x223

则弧尸产的长为与-2=^,

设圆锥底面圆半径为「，圆锥的高为厶，

则2"一=4号4，解得〃=2

所以/?=y]l2-r2=,

因此该圆锥的体积为：丫=丄仃2右=纟土逑=应红.

339381

故答案为：电红.

81

四、解答题

17.已知非零向量。力满足忖=4忖,且（4-2〃）丄b.

（1）求a与6的夹角；

（2）若卜+q=0T,求w的值.

7T

【答案】（1）y；（2）1.

【分析】（1）由向量垂直转化为数量积为0求得“为，再由数量积的定义求得夹角;

（2）把已知等式平方，模的平方转化为向量的平方，即向量的数量积运算可得.

【详解】(1)^a-2b^Lb,:.a-b-2b2=0,.'.|a|-|^|cos<«,Z>>-2|fe|2=0,

21

卜|=4也|,.二4怜12cos,泊〉一2b|=0,/.cos<a,b>=—

2

*力与人的夹角为?，

(2)\a+h^=>/2\,:^a+h|2=21,即卜|2+|/?|2+2,H.-cos<〃,/2>=21,

冋=4同,又由(1)知cosca/>=3，.皿|2=1,，忖=1

18.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防

疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产

的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100

个，将其质量指标值分成以下六组：[40,50),[50,60),[60,70),…，[90,100],得到如下频率分

布直方图.

(1)求出直方图中机的值；

(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组

中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0。1).

【答案】(1)///=0.030；(2)平均数为71,中位数为73.33.

【解析】(1)利用频率之和等于1进行求解即可

(2)利用平均数和中位数的计算公式进行求解即可

【详解】(1)E1310x(0.010+0.015+0.015+7n+0.025+0.05)=l,得租=0.030.

(2)=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71,

设中位数为〃，则0.1+0.15+0.15+(〃-70)*0.03=0.5,得,=手=73.33.

故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71,中位数为73.33.

19.在斜三角形A8C中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且满足

asinA+4/?sinCcos2A=fosinB+csinC.

（1）求角A的大小；

（2）若a=2,且BC上的中线4）长为G，求斜三角形A3C的面积.

【答案】（1）A=W

Q）上

【分析】（1）根据正弦定理将已知式子进行化简，再利用余弦定理即可求出角A的大小；

（2）根据为AO为BC上的中线得AO=g（A8+AC）,结合余弦定理求出儿=4,进而求出面积.

【详解】（1）因为asinA+4力sinCcos2A="sin8+csinC,

所以由正弦定理可得：a2+4bccos2A=b2+c2,

即4bccos2A=b2+c2-a2,

所以2cos2A=纟士£———=cosA,

2bc

Tl1

又Aw「，所以cosA=7，

22

所以A=?

（2）因为AO为BC上的中线，所以AZ）=：（AB+AC）,

21/\2

BPAD=-（AB+AC）,

所以4AD?=AB3+2gAC+AC，,

BP12=c2+2bccosA+b2,

所以12=从+儿+。2①，

由余弦定理可得：a2=h2+c2-2Z?ccosA,

所以4=/+。2一机，②

①■②得：be=4,

所以SABC=gbesinA=>]3.

20.如图，直三棱柱A3C-AUG中，。是5c的中点，E是AA.的中点.

（1）证明：平面BEG；

（2）若AC=8C=2,AB=AAt=2yf2,求四棱锥G-的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）2竝.

【分析】（1）取BG的中点。，连接。。，0E,根据四边形4DOE为平行四边形，可得EO〃A£）,

根据直线与平面平行的判定定理可证ADH平面BEG;

（2）现根据长度可得底面时等腰直角三角形，其斜边上的高为四棱锥的高，再根据棱锥的体积公式

可得结果.

【详解】（1）取BG的中点。，连接。£）,0E,如图：

则OO2；CC|,AE必CC[,：.OD/JAE,

四边形AQOE为平行四边形，，EO//AD,

：EOu平面BEG，＜Z平面BEC-...AD//平面BEC一

（2）因为AC=8C=2,AB=26，所以ACSBC,所以AG丄与G，

所以斜边AM上的高为正，即四棱锥G-AgBE的高为核，

.SAB,BE=；X&X&X2&=2&.

【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，考查了棱锥的体积公式，属于基础题.

21.在二A3C中，4民C所对的边分别为a,，,c,向量m=(q,6-2c),〃=(cosB,cosA),且加丄〃.

(1)求角A的大小；

(2)若丿归。外接圆的半径为2,求/WC面积的取值范围.

【答案】(1)I；(2)(0,3^].

【分析】(1)依题意得4COsB