2023届浙江杭州余杭区中考数学模拟试题含解析

2023年中考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月

多440辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,则所列方程正确的为（）

A.1000（1+x）2=1000+440B.1000（1+x）2=440

C.440（1+x）2=1000D.1000（l+2x）=1000+440

2.下列命题中，真命题是（）

A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离

B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切

C.如果一条直，线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切

D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离

3.如图，OO中，弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC,若NA=60。，NADC=85。，则NC的度数是（）

A

A.25°B.27.5°C.30°D.35°

4.纳米是一种长度单位，1纳米=10-9米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉

的直径为（）

A.3.5x104米B.3.5xl（）T米c,3.5x10-米D.3.5x10-9米

5.某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任

务.设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为（）

210210「210210匚

A.----------=5B.--------=5

x1.5xXx—1.5

210210「210,「210

C.—5D.=1.5+——

1.5+xx5X

6.下面的图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）

D.4个

7.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20。的方向行60海里到

达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则NNOF的度数

D.80°

8.在实数0,~n,百，一4中，最小的数是（）

A.0B.-reC.百D.-4

9.已知x'=2,xb=3,则X?a-2b等于（）

8

-1c

9B.17D.72

10.设X”X2是一元二次方程F-2x-5=0的两根，则42+由2的值为（）

A.6B.8C.14D.16

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，在△ABC中，NC=90。，BC=16cm,AC=12cm,点P从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移

动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts,当t=

时，ACPQ与ACBA相似.

12.若一个多边形的每一个外角都等于40°,则这个多边形的内角和是.

13.已知矩形ABCD,AD>AB,以矩形ABCD的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在矩形ABCD的其他边上,

则可以画出的不同的等腰三角形的个数为.

14.2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地

到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达

益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是.

会龙山大桥

・益阳火车站

龙州大桥

15.从一副54张的扑克牌中随机抽取一张，它是K的概率为.

16.某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，则商品的

定价是______元.

17.如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树

的高度为米.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图1,在直角梯形ABCD中，AB±BC,AD〃BC,点P为DC上一点，且AP=AB,过点C作CE±BP

交直线BP于E.

⑴若一，求证：；

DOJnrr3rle

(2)若AB=BC.

①如图2,当点P与E重合时，求一的值;

②如图3,设NDAP的平分线AF交直线BP于F,当CE=L时，直接写出线段AF的长.

-3Q--=S

2Q4

19.（5分）如图，已知A是。O上一点，半径0C的延长线与过点A的直线交于点B,OC=BC,AC=-OB.求证:

2

AB是。O的切线；若NACD=45。，OC=2,求弦CD的长.

20.（8分）全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同，回答下列问题：甲家庭

已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是;乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求

至少有一个孩子是女孩的概率.

21.（10分）某化工材料经销公司购进一种化工材料若干千克，价格为每千克40元，物价部门规定其销售单价不高于

每千克70元，不低于每千克40元.经市场调查发现，日销量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=70时，y

=80；x=60时，y=l.在销售过程中，每天还要支付其他费用350元.求y与x的函数关系式，并写出自变量x的

取值范围；求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当销售单价为多少元时，该公司日

获利最大？最大利润是多少元？

22.（10分）如图，已知等腰三角形A8C的底角为30。，以3C为直径的。。与底边AB交于点。，过。作OE_LAC,

垂足为E.证明：OE为。。的切线；连接OE,若8C=4,求AOEC的面积.

23.（12分）已知：如图，NABC,射线BC上一点D,

求作：等腰APBD,使线段BD为等腰APBD的底边，点P在NABC内部，且点P到NABC两边的距离相等.

BDC

24.（14分）甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际

出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元.求甲乙两件服装的进价各是多少元；由于乙服装

畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率：若每件乙服

装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】

根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题.

【详解】

解：由题意可得，

1000（1+x）2=1000+440,

故选：A.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.

2、D

【解析】

根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可.

【详解】

A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，A是假命题；

B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切或内切或相交，B是假命题；

C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切或相交，C是假命题;

D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离，D是真命题；

故选：D.

【点睛】

本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r,两圆圆心距为d,则当d>R+r时两圆外离；当心R+r时两圆

外切；当R-rVd<R+r(心r)时两圆相交；当d=R-r(/?>/•)时两圆内切；当0，<K-r(K>r)时两圆内含.

3、D

【解析】

分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出NB以及NODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和

定理得出答案.

详解：VZA=60°,ZADC=85°,

.,.ZB=85°-60°=25°,NCDO=95°,

.•.ZAOC=2ZB=50°,

:.ZC=180o-95°-50o=35°

故选D.

点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出NAOC度数是解题关键.

4、C

【解析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO-n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是

负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】

35000纳米=35000x10-9米=3.5x104米.

故选C.

【点睛】

此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO,其中iw|a|V10,n为由原数左边起第一个不为零的

数字前面的0的个数所决定.

5、A

【解析】

设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为L5x个，根据提前5天完成任务，列方程即可.

【详解】

设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为L5x个，

210210「

由题意得，--------=5

x1.5%

故选：A.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即

可.

6、B

【解析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各个图形进行逐一分析即可.

【详解】

解：第一个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；

第二个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；

第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；

第四个图形即是轴对称图形，又是中心对称图形；

•••既是轴对称图形，又是中心对称图形的有两个，

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中

心对称图形是要寻找对称中心，旋转180。后两部分重合.

7、C

【解析】

解：：OM=6()海里，ON=80海里，MN=1(M)海里，

.".OM2+ON2=MN2,

.••ZMON=90°,

VZEOM=20°,

:.ZNOF=180°-20°-90°=70°.

故选C.

【点睛】

本题考查直角三角形的判定，掌握方位角的定义及勾股定理逆定理是本题的解题关键.

8、D

【解析】

根据正数都大于0,负数都小于0,两个负数绝对值大的反而小即可求解.

【详解】

•正数大于0和一切负数，

...只需比较-7T和-1的大小，

V|-7T|<|-1|,

，最小的数是4.

故选D.

【点睛】

此题主要考查了实数的大小的比较，注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内,

只需比较被开方数的大小.

9、A

【解析】

Vxa=2,xb=3,

8

x3a_2b=(xa)3-r(xb)2=84-9=

故选A.

10、C

【解析】

根据根与系数的关系得到Xl+X2=2,Xl・X2=-5,再变形X3+X22得到(X1+X2)然后利用代入计算即可.

【详解】

,一元二次方程X2-2X-5=0的两根是xi、X2,

/.X1+X2=2,Xl*X2=-5,

/•Xl2+X22=(X1+X2)2-2XI*X2=22-2X(-5)=1.

故选C.

【点睛】

bc

考查了一元二次方程ax2+bx+C=0(a#))的根与系数的关系：若方程的两根为X“X2,则Xl+X2=--，X1・X2=一.

aa

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

-64

11>4.8或打

【解析】

根据题意可分两种情况，①当CP和C8是对应边时，△CPQs2\CA4与②CP和CA是对应边时，4CPQS&CAB,

根据相似三角形的性质分别求出时间t即可.

【详解】

①CP和C8是对应边时，△CPQs△CBA,

所以乌=丝，

CBCA

16-2rt

即an-------=—,

1612

解得t=4.8；

②CP和CA是对应边时，ACPQSACAB,

CPCQ

所以

CACB

即哈t

=9

16

解得t=JY

64

综上所述，当，=4.8或元时，ACP0与AC8A相似.

【点睛】

此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是分情况讨论.

12、1260°

【解析】

根据任何多边形的外角和都是360度，先利用36()。+40。求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式(n-2)・180。

计算即可求解.

【详解】

解：多边形的边数是：360。+40。=9,

则内角和是：(9-2)•180°=1260°.

故答案为1260°.

【点睛】

本题考查正多边形的外角与边数的关系，求出多边形的边数是解题的关键.

13、8

【解析】

根据题意作出图形即可得出答案,

【详解】

如图，AD>AB,ACDEi,AABE2,△ABEj,ABCE4,△CDE5,AABE6,△ADE7,△CDEs,为等腰三角形，故

有8个满足题意得点.

【点睛】

此题主要考查矩形的对称性，解题的关键是根据题意作出图形.

1

14、

3

【解析】

由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，根据概率公式计算即可.

【详解】

解：由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，

21

所以恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率=;=4.

o3

故答案为—.

3

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列

表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

2

15、一

27

【解析】

根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.

【详解】

一副扑克牌共有54张，其中只有4张K,

42

,从一副扑克牌中随机抽出一张牌，得到K的概率是次=药，

2

故答案为：—.

27

【点睛】

此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事

件A的概率P(A)=-.

16>300

【解析】

设成本为X元，标价为y元，根据已知条件可列二元一次方程组即可解出定价.

【详解】

0.75y+25=xx=250

设成本为x元，标价为y元，依题意得八八.cc，解得

0.9y—20=x[y=300

故定价为300元.

【点睛】

此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程再求解.

17、1

【解析】

根据题意，画出示意图，易得：RtAEDC-RtAFDC,进而可得一=——；即DC?=ED?FD,代入数据可得答案.

DCFD

【详解】

根据题意，作AEFC,

树高为CD,且NECF=90。，ED=3,FD=12,

易得：RtAEDC^RtADCF,

-EDDCnr,,

有——=——，即DC2=EDXFD,

DCFD

代入数据可得DC2=31,

DC=L

故答案为1.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)证明见解析；(2)①,；②3.

【解析】

(1)过点A作AF_LBP于F,根据等腰三角形的性质得到BF=BP,易证RtAABFsRsBCE,根据相似三角形的性质

得到____，即可证明BP=.CE.

正=三=三=73

⑵①延长BP、AD交于点F,过点A作AG_LBP于G证明AABGgzXBCP,根据全等三角形的性质得BG=CP,设

BG=1,则PG=PC=1,BC=AB=7,在RtAABF中，由射影定理知，AB2=BGBF=5,即可求出BF=5,PF=

5-1-1=3,即可求出的值；

二二

nc

②延长BF、AD交于点G,过点A作AH_LBE于H,证明△ABH注ZkBCE,根据全等三角形的性质得BG=CP,设

BH=BP=CE=L又，，得到PG=,BG=根据射影定理得到AB2=BH・BG,即可求出AB=_,

口口口口1XU

3D*DD=427~

根据勾股定理得到

.「-根据等腰直角三角形的性质得到二二=,二二二=十

一二二、一二‘一二二‘二十

【详解】

解：⑴过点A作AFLBP于F

VAB=AP

ABF=BP,

VRtAABF^RtABCE

/.△ABG^ABCP(AAS)

ABG=CP

设BG=L贝！JPG=PC=1

，BC=AB=L

在R3ABF中，由射影定理知，AB2=BGBF=5

ABF=5,PF=5-1—1=3

②延长BF、AD交于点G,过点A作AHLBE于H

VAB=BC

AAABH^ABCE(AAS)

设BH=BP=CE=1

2SSD4

，PG=.,BG=

二u

j7

VAB2=BHBG

「AF平分NPAD,AH平分NBAP

AZFAH=ZBAD=45°

AAAFH为等腰直角三角形

【点睛】

考查等腰三角形的性质，勾股定理，射影定理，平行线分线段成比例定理等，解题的关键是作出辅助线.难度较大.

19、(1)见解析；(2)

【解析】

(D利用题中的边的关系可求出AOAC是正三角形，然后利用角边关系又可求出NCAB=30。，从而求出NOAB=90。,

所以判断出直线AB与。O相切；

(2)作AELCD于点E,由已知条件得出AC=2,再求出AE=CE,根据直角三角形的性质就可以得到AD.

【详解】

(1)直线AB是。O的切线，理由如下：

连接OA.

I

VOC=BC,AC=-OB,

2

.•.OC=BC=AC=OA,

/.△ACO是等边三角形，

.•,ZO=ZOCA=60°,

又TNB=NCAB,

.•,ZB=30°,

.,.ZOAB=90°.

.'AB是。O的切线.

(2)作AEJ_CD于点E.

VZO=60°,

.•.ND=30°.

VZACD=45O,AC=OC=2,

.,.在RtAACE中，CE=AE=V2;

VZD=30°,

.♦.AD=2日

【点睛】

本题考查了切线的判定、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质以及圆周角定理、等边三角形的判定和性质等

知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

13

20、(1)-；(2)-

24

【解析】

(1)根据可能性只有男孩或女孩，直接得到其概率；

(2)列出所有的可能性，然后确定至少有一个女孩的可能性，然后可求概率.

【详解】

解：(1)(1)第二个孩子是女孩的概率=,；

2

故答案为不；

2

(2)画树状图为：

男女

/\

男女男女

共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3,

3

所以至少有一个孩子是女孩的概率7

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

21、(l)y=-2x+220(40<x<70)；(2)w=-2x2+300x-9150；(3)当销售单价为70元时，该公司日获利最大，为2050

元.

【解析】

(1)根据y与x成一次函数解析式，设为y=kx+b(厚0),把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y

与x的解析式，并求出x的范围即可；

(2)根据利润=单价x销售量，列出w关于x的二次函数解析式即可；

(3)利用二次函数的性质求出w的最大值，以及此时x的值即可.

【详解】

(l)^y=kx+b(k^0),

70%+〃=80

根据题意得《

60k+6=100

解得：k=-2,b=220,

；.y=-2x+220(40<x<70)；

(2)w=(x-40)(-2x+220)-350=-2x2+300x-9150=-2(x-75)2+21；

(3)w=-2(x-75产+21,

V40<x<70,

Ax=70时，w有最大值为w=-2x25+21=2050元，

.••当销售单价为70元时，该公司日获利最大，为2050元.

【点睛】

此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题

的关键.

22、(1)证明见解析；(2)同

2

【解析】

试题分析：(1)首先连接OD,CD,由以BC为直径的。O,可得CD_LAB,又由等腰三角形ABC的底角为30。，可

得AD=BD,即可证得OD〃AC,继而可证得结论；

(2)首先根据三角函数的性质，求得BD,DE,AE的长，然后求得△BOD,AODE,△ADE以及△ABC的面积，

继而求得答案.

试题解析：(1)证明：连接OD,CD,

：BC为。O直径，

:.ZBDC=90°,

即CD_LAB,

•••△ABC是等腰三角形,

/.AD=BD,

VOB=OC,

AOD是小ABC的中位线,

AOD/ZAC,

VDEXAC,

.*.OD±DE,

TD点在。O上,

.♦.DE为。O的切线

(2)解：VZA=ZB=30°,BC=4,

:.CD=；BC=2,BD=BC*cos30