2019-2023全国各高考数学真题按分项汇编 概率与统计（理选填题）含详解

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

与集14椭率与统计（理送蟆）

高存•存叛分析

概率与统计题型主要包含二项式定理，排列组合，随机抽样，统计与概率等主要考查题型为:

考点01排列组合与二项式定理

考点02事件概率

考点03随机事件分布列

备存真魅精折

考点01：排列组合与二项式定理

一选择题：

1.（2023年新课标全国I卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门

或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

2.（2020年高考课标II卷理科）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至

少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

二、填空题

1.（2023年天津卷）在12x3—!）的展开式中，/项的系数为.

442

2.（2021年IWJ考浙江卷•）已知多项式（％-以+（%+1）=x+a/?+a2x+a3x+tz4,则%=,%+%+。4=

3.（2020年高考课标III卷理科）（f+-）6的展开式中常数项是（用数字作答）.

X

4.（2020年浙江省高考数学试卷）设（1+2x）5—Q]+，则。5二；。1+。2+。3二

5.（2022新高考全国I卷[X+＞）8展开式中必于的系数为

（用数字作答）.

6.（2021高考天津）在的展开式中，的系数是

7.（2021高考北京）在（三-'）4的展开式中，常数项为.

X

8.（2020天津高考）在卜+怖j的展开式中，/的系数是.

9.（2019•浙江・）在二项式（0+x）9的展开式中，常数项是,系数为有理数的项的个数是

10.（2019•天津•理•）的展开式中的常数项为.

考点02事件概率

1.（2023年天津卷）甲乙丙三个盒子中装有一定数量黑球和白球，其总数之比为5:4:6.这三个盒子中黑球占总

数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；

将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为.

2.（2022年高考全国甲卷数学（理）•）从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为.

3.（2022年高考全国乙卷数学（理））从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率

为.

4.（2021高考天津・）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方

获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和J,且每次活动中甲、乙猜对与否

65

互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为,3次活动中，甲至少获

胜2次的概率为.

5.（2020天津高考・）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为g和;.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙

两球都落入盒子的概率为;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.

6.（2020江苏高考♦）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是.

7.（2019•上海•）某三位数密码锁，每位数字在0-9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是.

8.（2019•江苏•第6题）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少

有1名女同学的概率是.

考点03随机事件分布列

1.（2020年浙江省高考数学试卷）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红

球即停，设拿出黄球的个数为之则尸但=0）=；E©=.

2.（2022年浙江省高考数学试卷）现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取

3张，记所抽取卡片上数字的最小值为则尸6=2）=,E©=.

3.（2019•全国I•理•）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结

束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客

场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是.

4.（2021年高考浙江卷）袋中有4个红球m个黄球，。个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为J,若取出

的两个球都是红球的概率为二，一红一黄的概率为二，则相-〃=___________,E（J）=___________.

63

5.（2022新高考全国II卷）.已知随机变量X服从正态分布NQ,4），且p（2<XW2.5）=0.36,则尸（X>2.5）=

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

与集14椭率与统计（理送蟆）

高存•存叛分析

概率与统计题型主要包含二项式定理，排列组合，随机抽样，统计与概率等主要考查题型为:

考点01排列组合与二项式定理

考点02事件概率

考点03随机事件分布列

备存真魅精折

考点01：排列组合与二项式定理

一选择题：

1.（2023年新课标全国I卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门

或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

【答案】64

【解析】：（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C；C：=16种；

（2）当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C；C：=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有cjc；=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

2.（2020年高考课标II卷理科）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至

少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

【答案】36

【解析】：4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同

学二先取2名同学看作一组，选法有：C：=6

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：看=6

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6x6=36种

故答案为：36.

二、填空题

1.（2023年天津卷）在£丁—4］的展开式中，/项的系数为.

【答案】60

【解析】：展开式的通项公式（M=C（2X3广4］=（-1）"X26^XC^XX18-4^

令18—4左=2可得，k=4,则/项的系数为（_i）4x26-4xc：=4x15=60.故答案为：60.

44

2.(2021年高考浙江卷•)已知多项式(％-以+(x+l)=x+%%2+a3x+a4,则%=,a2+a3+a4=

【答案】（1）.5;（2）.10.

【解析】：（x-I）3=X3-3x2+3x-1,（尤+1）4=%4+4尤3+6/+4x+l,

所以q=1+4=5,〃2=-3+6=3,4=3+4=7,4=—1+1=。，所以。2+4+4=1。故答案为5,10.

3.（2020年高考课标III卷理科）（/+2）6的展开式中常数项是（用数字作答）.

【答案】240

【解析】：［x2+2］其二项式展开通项：

加=仁.仁厂.（口=以.铲口⑵“，

=6（2）'万2-3，当］2—3厂=0,解得r=4

二12+2］的展开式中常数项是：C；"=C；.16=15x16=240.故答案为：240.

【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握（。+6）”的展开通项

公式（+i=C，"7/,考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

4.（2020年浙江省高考数学试卷）设（1+2x）5=%+/工+%X2，贝！］。5=；。1+。2+。3=

【答案】⑴.80（2）.122

【解析】：（1+2%）5的通项为4+1=。；（2封=2,仁/,令r=4,则4=24。；/=80/,...%=80；

.•.囚+%+。5=21^+23^+25Cf=122

5.（2022新高考全国I卷•）］-?1x+y）8展开式中炉1的系数为（用数字作答）.

【答案】-28

＞『=(x+y)8-2(x+y)8,

【解析】：因为

JC

所以的展开式中含必；/的项为C；fy6—2c江3y5=-28%2/,

X

x+的展开式中x2y6的系数为-28故答案为:-28

6.（2021高考天津）在Qd+：］的展开式中，/的系数是

【答案】160

【解析1：,3+1的展开式的通项为Tr+X=C；（2?厂，［=26Tq.，

令18—4r=6,解得r=3,所以/的系数是23。；=160.故答案：160.

7.（2021高考北京）在（工3一,）4的展开式中，常数项为.

X

【答案】-4

【解析】小1的展开式的通项7—,'|：|<j1.

\**/\工）

令12—4/•=（）,解得3故常数项为।||（:4.

8.（2020天津高考）在上的展开式中，/的系数是.

【答案】10

【解析】因为'+的展开式的通项公式为Tr+i=禺x5-O=玛・2'•丁-3,（r=0,1,2,3,4,5）,令5—3厂=2,

解得厂=1.所以苫2的系数为C；x2=10.故答案为：10.

9.（2019•浙江・）在二项式（应+x）9的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是.

【答案】160,5

【解析】（0+尤）9展开式的通项为&i=C；（后）91«=0,1,2,,9）,当厂=。时，可得二项式（&+x）9展开式

的常数项是7］=C：（&）9=16&.若系数为有理数，则（9-r）为偶数即可，故/可取1,3,4,5,7,9,即

岂工黑。共5项.

10.（2019•天津•理•）［2x-的展开式中的常数项为.

【答案】28

【解析】：的展开式中的常数项为C；•（2x）6.=28x64x—=28.

64

考点02事件概率

1.（2023年天津卷）甲乙丙三个盒子中装有一定数量黑球和白球，其总数之比为5:4:6.这三个盒子中黑球占总

数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；

将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为.

3

【答案】①.0.05②.-##0.6

【解析】：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5",4",6",所以总数为15〃，

所以甲盒中黑球个数为40%x5"=2〃，白球个数为3〃；

甲盒中黑球个数为25%x4〃=〃，白球个数为3”；

甲盒中黑球个数为50%x6〃=3〃，白球个数为3”；

记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A,所以,

P（A）=0.4x0.25x0.5=0.05；

记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B,

黑球总共有2"+〃+3〃=6〃个，白球共有9〃个，

9〃33

所以，P=二―二《.故答案为：0.05；—.

15M55

2.（2022年高考全国甲卷数学（理）•）从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为.

【答案】*

【解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有〃=C；=70个结果，这4个点在同一个平面的有相=6+6=12个,

故所求概率P=—.故答案为：—.

n703535

3.（2022年高考全国乙卷数学（理））从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概

率为.

3

【答案】—

10

【解析】：从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

3

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率「=而

3

故答案为：—

4.（2021高考天津・）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方

获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为3和工，且每次活动中甲、乙猜对与否

65

互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为,3次活动中，甲至少获

胜2次的概率为.

220

【答案】①.鼻②.百

J乙/

542

【解析】：由题可得一次活动中，甲获胜的概率为：x—=—；

653

则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为c；x[2]x-+f-^=—.故答案为：

3327327

5.（2020天津高考・）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为:和假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙

两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.

12

【答案】（1）.-（2）.-

63

【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为!―，且两球是否落入盒子互不影响,

23

所以甲、乙都落入盒子概率为:义:=）,

236

甲、乙两球都不落入盒子的概率为a-3x（i-2）=L

233

212

所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为二.故答案为：

6.（2020江苏高考•）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是.

【答案】|

【解析】根据题意可得基本事件数总为6x6=36个.

点数和为5的基本事件有（1,4）,（4,1）,（2,3）,（3,2）共4个.

411

出现向上的点数和为5的概率为P=—=-.故答案为：

3699

7.（2019•上海•）某三位数密码锁，每位数字在0-9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是.

97

【答案】——

100

【解析】法一：P=型与G=21（分子含义:选相同数字X选位置X选第三个数字）

103100

法二：尸=1_1+0=与（分子含义:三位数字都相同+三位数字都不同）

103100

8.（2019•江苏•第6题）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少

有1名女同学的概率是.

7

【答案】-

10

37

【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中不含女生的方法有3种，因此所求概率为1—.

1010

考点03随机事件分布列

L（2020年浙江省高考数学试卷）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红

球即停，设拿出黄球的个数为之则尸但=0）=；E©）=.

【答案】（1）.1（2）.1

【解析】：因为&=。对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，

所以P（J=0）=；+；xg=g,

随机变量&=0,1,2,

…，、212111211

P(<r=l)=—X—+—X—X—+—X—X—=—,

434324323

P（^=2）=l-1-1=1,所以EG）=0xg+lx；+2xg=L

2.（2022年浙江省高考数学试卷）现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取

3张，记所抽取卡片上数字的最小值为则P（J=2）=，E4）=.

125

【答案】①.—##1-

77

【解析】：从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有C；种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值

为2的取法有C；+C©种，所以陛=

由已知可得自的取值有1,2,3,4,

噂=1)=$=2尸("2)=9，上=3)=1|=1，P(.4)=U

,l，八,15〜16c3.112辽公4皿1612

所以E(J)=1义行