北京市顺义区名校2023年数学九年级上册期末综合测试模拟试题（含解析）

北京市顺义区名校2023年数学九上期末综合测试模拟试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.如图是小玲设计用手电来测家附近“新华大厦”高度的示意图.点尸处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平

面镜反射后刚好射到大厦CO的顶端C处，已知且测得AB=L2米，BP=L8米，PD=24

米，那么该大厦的高度约为()

C.24米D.36米

ArAft

2.如图所示，给出下列条件：①/B=/ACD；②/ADC=/ACB；③——=——；©AC^AD-AB.其中

CDBC

单独能够判定,ABCs.ACD的个数为()

C.2D.1

3.如图，CD为。。的弦，直径AB为4,ABJLCD于E,NA=30°,则扇形BOC的面积为()

4.若反比例函数＞=((%*0)的图象过点(-2,1),则这个函数的图象一定过点()

A.(2,-1)B.(2,1)C.(-2,-1)D.(1,2)

5.如图，四边形ABCO中，ZBAD=ZACB=90,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为x,四边形ABC。的

面积为y,则),与x之间的函数关系式是()

224、

B.y=—%2C.y=-x-D.y=—x~

25-55

6.一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球,随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀

后再随机摸出一球.两次都摸到红球的概率是（）

3993

A.B.C.D.

1025205

7.在R/AA8C中,ZC=90°,ZB=43°,若BC=m,则AB的长为().

m

A.B.m^cos43C.m*sin43D.m•tan43

cos43

8.如图，把一个直角三角板AACB绕着30。角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接

CD,则NBDC的度数为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

2

9.下列各点在反比例函数y=—-图象上的是（）

x

A.(-2,-1)C.(一1,一2)D.(2,1)

10.如图，点。在以AC为直径的。。上,如果N5&C=20。,那么NACb的度数为（）

A.20°B.40°C.60°D.70°

填空题（每小题3分，共24分）

11.某学校的初三（1）班，有男生20人,女生23人.现随机抽一名学生，贝！J：抽到一名男生的概率是.

AR3EF

12.在。4BCD中，NA8c的平分线5厂交对角线AC于点E,交A。于点足若——=-,则——的值为

BC5BF

13.方程（x-1）（x-3）=0的解为.

14.如图，这是二次函数y=x2-2x-3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为

15.若点A（3,8）、在同一个反比例函数的图象上，则加的值为

16.若圆弧所在圆的半径为12,所对的圆心角为60。，则这条弧的长为.

17.三角形两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2-13x+36=0的根，则该三角形的周长为

18.如图，点A,B,C都在。。上NAOC=130°,ZACB=40°,AAOB=,弧8C=.

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，抛物线yn-gd+Zx+g与x轴相交于两点，点B在点A的右侧，与>轴相交于点C.

⑴求点A,民C的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以ACM,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,

求点N的坐标；若不存在，请说明理由.

20.(6分)如图，在RjABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为。，AE平分NC4B,交CD于点E，交CB于

点F.

⑴若ZB=30°,AC=6,求CE的长；

(2)过点尸作的垂线，垂足为G,连接EG,试判断四边形CEG/的形状，并说明原因.

21.(6分)先阅读，再填空解题：

(1)方程：%2+X-2=0的根是：玉=,々=，则玉+工2=，%%2=.

(2)方程2/-7%+3=0的根是：芯=,%2=，贝iJX|+%2=，玉々=.

(3)方程f-4》一5=0的根是：玉=,%2=，则X|+%2=，百工2=.

(4)如果关于X的一元二次方程灰+c=()(。。0且4、b、C为常数)的两根为当，々，

根据以上(D(2)(3)你能否猜出：%+%，与系数。、b、C有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由.

22.(8分)有A、B两组卡片共1张，A组的三张分别写有数字2,4,6,B组的两张分别写有3,1.它们除了数字

外没有任何区别，

(1)随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；

(2)随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游

戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜.请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？

23.(8分)一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球1个，若从中随机

摸出一个球，这个球是白球的概率为:

(1)求袋子中白球的个数

(2)随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次都摸到白球的概率.

24.(8分)在平面直角坐标系X。)，中，抛物线G：)，=侬2+2/我+加-1沿％轴翻折得到抛物线。2・

(1)求抛物线C?的顶点坐标;

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.

①当加=1时，求抛物线G和G围成的封闭区域内（包括边界）整点的个数；

②如果抛物线C和C2围成的封闭区域内（包括边界）恰有7个整点，求m取值范围.

25.（10分）计算：-俨19+|石-2|+2cos31"+<2-tan61"）*.

26.（10分）如图，已知二次函数y=ax?+bx+3的图象交x轴于点A（1,0）,B（3,0）,交y轴于点C.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求ABCP面积的最大值：

（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当ABMN是等腰三角形时，直接写出m的值.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、B

【分析】根据光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CO的顶端C处，可知NAPB=NCPD,再由

AB1BD,CD1BD,可得AABPs,cDP,从而可以得到笔=器，即可求出CD的长.

【详解】•••光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦8的顶端C处

:.ZAPB=ZCPD

•••AB1BD,CDA.BD

ZABP=NCDP=*

：.AABP-O)p

ABBP

~CD~~PD

=米，BP=L8米，PO=24米

•L2J-

*'CD-24

.,.CD=16（米）

【点睛】

本题考查的知识点是相似三角形的性质与判定，通过判定三角形相似得到对应线段成比例，构成比例是关键.

2、B

【解析】由已知△ABC与△A3O中NA为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答.

【详解】解：：①；N3=ZACD，NA为公共角，,△ABC^AAC£)；

②•••NAC6=NADC,NA为公共角，二△ABCs^ACZ)；

AfAfi

③虽然丁="，但NA不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似;

CDBC

ACAQ

©VAC^AD.AB,又"A为公共角，.

综上，单独能够判定△ABCsaAC。的个数有3个，故选B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

3、B

【解析】连接AC,由垂径定理的CE=DE,根据线段垂直平分线的性质得到AC=AD,由等腰三角形的性质得到NCAB

=ZDAB=30",由圆周角定理得到NCOB=60°,根据扇形面积的计算公式即可得到结论.

【详解】连接AC,

为。。的弦，A3是。。的直径,

：.CE=DE,

•：AB±CD,

：.AC=AD,

...NC4B=NOA8=30°,

・・.NCO3=60°,

...扇形BOC的面积='Ox、"=27，

3603

故选团

【点睛】

本题考查的是扇形的面积的计算，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关

键.

4、A

k2

【解析】先把(-2,1)代入尸一求出k得到反比例函数解析式为尸--,然后根据反比例函数图象上点的坐标特征,

xx

通过计算各点的横纵坐标的积进行判断.

【详解】把(-2,1)代入y=&得k=-2Xl=-2,

X

所以反比例函数解析式为y=--,

x

因为2X(-1)=-2,2X1=2,-2X(-1)=2,1X2=2,

2

所以点(2,-1)在反比例函数y=—-的图象上.

x

故选A.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数尸乙(k为常数，kWO)的图象是双曲线，图象上的点(x,

x

y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.

5、C

【分析】四边形ABCD图形不规则，根据已知条件,将AABC绕A点逆时针旋转90。到4ADE的位置,求四边形ABCD

的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE,下

底AC,高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积.

【详解】作AEJ_AC,DE_LAE,两线交于E点，作DF_LAC垂足为F点，

/.ZBAC=ZDAE

又；AB=AD,ZACB=ZE=90°

.,.△ABC^AADE（AAS）

.•.BC=DE,AC=AE,

设BC=a,贝！|DE=a,DF=AE=AC=4BC=4a,

CF=AC-AF=AC-DE=3a,

在RtZ\CDF中，由勾股定理得，

CF'+DF^CD1,即（3a）1+（4a）Z,

解得：a=土，

5

y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=5x（DE+AC）xDF

1、

=-xz（a+4a）x4a

2

=10a1

,2,

-X♦

5

故选C.

【点睛】

本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的

作用.

6、A

【分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率:

【详解】列表如下：

红红红绿绿

红---（红，红）（红，红）（绿，红）（绿，绿）

红（红，红）---（红，红）（绿，红）（绿，红）

红（红，红）（红，红）---（绿，红）（绿，红）

绿（红,绿）（红，绿）（红，绿）---（绿，绿）

绿（红,绿）（红，绿）（红，绿）（绿，绿）---

,•,所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种,

.p_A_A

••两次红20I。，

故选A.

7,A

【分析】根据余弦的定义和性质求解即可.

【详解】••,NC=90。，ZB=43°,BC=m

cosBcos43°

故答案为：A.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的问题，掌握余弦的定义和性质是解题的关键.

8、A

【分析】根据图形旋转的性质得出AABCgAEBD,可得出BC=BD,根据图形旋转的性质求出NEBD的度数，再由

等腰三角形的性质即可得出NBDC的度数.

【详解】•.'△EBD由AABC旋转而成，

.,.△ABC^AEBD,

；.BC=BD,NEBD=NABC=30。，

:.NBDC=NBCD,NDBC=180-30°=150°,

I、

:.NBDC=—（z180°-150°）=15°；

2

故选：A.

【点睛】

本题考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键.

9、B

【分析】将每个选项中点的横坐标代入反比例函数解析式中，看函数值是否一致，如果一致，说明点在函数图象上,

反之则不在.

22

【详解】A选项中，当％=-2时，y=—-=-r=l声T故该选项错误:

x-2

,22-

B选项中，当x=l时，y=—=--=-2=-2,故该选项正确；

x1

22

C选项中，当x=—l时，y=--=一一=2工一2,故该选项错误；

x-1

22

D选项中，当x=2时，y=--=-=-1^1,故该选项错误.

x2

故选B

【点睛】

本题主要考查点是否在反比例函数图象上，掌握反比例函数变量的求法是解题的关键.

10、D

【分析】由AC为。。的直径，可得NABC=90。，根据圆周角定理即可求得答案.

【详解】••FC为。。的直径，

.•.N48c=90。，

VZBAC=ZBDC=2Q°,

二ZACB=900-ABAC=70°.

故选：D.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，正确理解直径所对的圆周角是直角，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的

关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

20

11、—

43

【分析】随机抽取一名学生总共有20+23=43种情况，其中是男生的有20种情况.利用概率公式进行求解即可.

【详解】解：一共有20+23=43人卸共有43种情况，

20

...抽到一名男生的概率是

43

【点睛】

本题考查了用列举法求概率，属于简单题，熟悉概率的计算公式是解题关键.

12、

8

【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出边的关系，进而利用相似三角形的性质求解.

【详解】解：•••四边形A8C。是平行四边形，

.".AD//BC,

ZAFB=ZEBC,

•••〃尸是NABC的角平分线，

:.NEBC=NABE=NAFB,

：.AB=AF,

.ABAF3

'：AD//BC,

:.△AFEs^CBE,

.APEF_3

"BC-BE-5(

.EF3

.•---=一•

BF8'

故答案为：g.

o

【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质、角平分线的性质及相似三角形的判定

定理.

13、xi=3,X2=l

【分析】利用因式分解法求解可得.

【详解】解：V(x-1)(x-3)=(),

.".X-1=0或x-3=0,

解得X1=3,X2=l,

故答案为：Xl=3,X2=l.

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式

法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

14、-1<X<1.

【分析】根据图象直接可以得出答案

【详解】

如图，从二次函数y=*2-2x-l的图象中可以看出

函数值小于0时x的取值范围为：-1<X<1

【点睛】

此题重点考察学生对二次函数图象的理解，抓住图象性质是解题的关键

15、-6

【分析】设反比例函数的解析式为y=4(k为常数，k/)),把A(3,8)代入函数解析式求出k,得出函数解析式,

X

把B点的坐标代入，即可求出答案.

【详解】解：设反比例函数的解析式为y=人依为常数，原0),

x

把4(3,8)代入函数解析式得：*=24,

24

即Hny=—>

x

24

把B点的坐标代入得：机=一=-6,

-4

故答案为-6.

【点睛】

考查待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

16、4k

【分析】直接利用弧长公式计算即可求解.

60^x12

【详解】1=-------=4兀，

180

故答案为：47r.

【点睛】

本题考查弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长，=黑(〃是弧所对应的圆心角度数)

180

17、13

【分析】利用因式分解法解方程，得到玉=4,々=9,再利用三角形的三边关系进行判断，然后计算三角形的周长

即可.

【详解】解：：X2-13X+36=0，

.•.(x-4)(x—9)=0,

%=4,々=9,

V3+6=9,

:.%=9不符合题意，舍去；

，三角形的周长为：3+6+4=13；

故答案为：13.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系的应用，解题的关键是正确求出第三边的长度，以及掌握三角形

的三边关系.

18、80°50°

【分析】直接利用圆周角定理得到NAOB=80°,再计算出NBOC=50°,从得到弧3c的度数.

【详解】解：VZA(?/?=2ZACB=2X40o=80°,

：.ZBOC=ZAOC-ZAOB=13()°-80°=50°,

...弧8c的度数为50°.

故答案为80°,50°.

【点睛】

此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆周角定理的内容.

三、解答题(共66分)

19,(1)A(—1,0),3(5,0),ck|L(2)P[2,|)；(3)点N的坐标为3福)，(2+m,一力或「一排,一1

【分析】(1)把y=0代入函数解析式，解方程可求得A、B两点的坐标；把x=0代入函数解析式可求得C点的坐标.

(2)连接BC,交对称轴于P,P即为使PB+PC的值最小，设直线BC的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数,

进而求得解析式，令x=2时，即可求得P的坐标；

(3)分两种情况：

①当存在的点N在x轴的上方时，根据对称性可得点N的坐标为(4,-)；

2

②当存在的点N在x轴下方时，作辅助线，构建三角形全等，证明AOC纣M?DN?得DN?=OC=g,即N点的

纵坐标为列方程可得N的坐标.

2

【详解】⑴当％=o时，＞=g，c]呷

当y=0时，—J_X2+2X+』=O,化简，得

22

2

X-4X-5=0.

解得百=5,W=-1.

.•.A(-1,O),8(5,0)

（2）连接8C,交对称轴于点P,连接AP.

点A和点B关于抛物线的对称轴对称,

AP=PB.要使Q4+PC的值最小，则应使PB+PC的值最小,

所以8C与对称轴的交点P使得%+PC的值最小.

设8C的解析式为y=履+民

将B(5,O),C(o1

代入,

b=-

可得《2

5Z+b=0.

k=-L

2

解得《

,5

b=—

2

15

y=——x+—

-22

y—____2___—c/

抛物线的对称轴为直线1r

——x2

2

153

当x=2时，y=—x2+-=-,

222

」2,|

（3）①当N在x轴上方,

此时AM=CN,且AM//CN.则/Vj4,1

.•・四边形ACNM是平行四边形•

②当N在x轴下方；

作NzDLAM2，交AM?于点。.

1■

如果四边形ACM2N2是平行四边形.

AC//M2N2,AC=M2N2.

：.ZCAO=ZN2M2D.

又.NA0C=NM2DN2,

：.^AOC^M2DN2(AAS).

..£＞『=OC=g

当y=-2时，—，*2+2*+。=_3

■2222

：.Xy=2—V14,X2=2+V14.

•1-^2^2+714,—,Af3^2-V14,--1^

综上所述，点N的坐标为(4,0,(2+JIZ,-目或(2-疯-1)

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式.轴对称的性质、平行四边形的判定、三角形全等的性质和判定等知识，难

度适中，第2问解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定,采用分类讨论的思想和数形结合的思想解决问题.

20、(1)CE=26；(2)菱形，理由见解析.

【分析】(D根据题意易求得NAa)=NCAF=NBAF=30。，可得AE=CE,然后利用30°角的三角函数可求得。

的长、OE与AE的关系，进一步可得CE与C。的关系，进而可得结果；

(2)根据角平分线的性质可得CF=GF,根据HL可证RtZkACF名口△AGF,从而得NAbC=NA尸G,由平行线的

性质和等量代换可得NCE/=NC尸E,可得CE=CR进而得CE=fG,根据一组对边平行且相等可得四边形CEG尸

是平行四边形，进一步即得结论.

【详解】解：(1)VZACB=90°,NB=30。，：.ZCAB=60°,

VCDLAB,：.ZACD=30°,VAC=6,；•CO=ACcos300=6x走=,

2

平分NCAB,：.ZCAF=ZBAF=3Q°,

：.ZACD=ZCAF,DE=-AE,：.CE=AE=2DE,/.C£=-CD=-x3>73=2J3;

233

(2)四边形CEG尸是菱形.

证明：\'FG±AB,FC±AC,A尸平分NC4B,

AZACF=ZAGF=90°,CF=GF,

在RtZ\ACF与RtZ\AGF中，'：AF=AF,CF=GF,

ARtAACF^RtAAGF(HL),：.ZAFC=ZAFG,

'.'CDA.AB,FG1.AB,：.CD//FG,

:.NCEF=NEFG,:.NCEF=NCFE,：.CE=CF,

：.CE=FG,'：CE//FG,

...四边形CEGF是平行四边形，

•••CE=Cr，.•.平行四边形CEGF是菱形.

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质、角平分线的性质、锐角三角函数、菱形的判定和直角三角形全等的判定和性质等知识,

属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键.

173hc

21、(1)21,・1,2；(2)3,—,一,—；(3)5,-1>4,-5；(4)X)4-x2=--,Xj4-x2=—,理由见解析

222aa

【分析】(1)利用十字相乘法求出方程的解，即可得到答案;

(2)利用十字相乘法求出方程的解，即可得到答案；

(3)利用十字相乘法求出方程的解，即可得到答案；

(4)利用公式法求出方程的解，即可得到答案.

2

【详解】⑴Vx+x-2=0.

:.(x+2)(x-1)=0,

:,玉=-2,x2=1,

玉+工2=-1，X\X2--2;

故答案为：-2,1,-1,2；

(2)V2X2-7X+3=O,

:.(x-3)(2x-l)=0,

-3,%=5，

73

・・・%+工2=5，石工2=万，

173

故答案为：3,—■,—,—；

222

2

(3)VX-4X-5=0，

:.(x-5)(x+1)=0,

/.%=5,x2=-l,

:.%%=4,x}x2=-5,

故答案为：5,4,4,-5；

b

(4)%+马，X]%2与系数。、b、c的关系是：%+9=，M+X)=

a

理由是or?+法+c=()。0)有两根为

-b+yjb2-4ac-b-\/b2-4ac

X=-----------------9Xj=-------------，

1x2a22a

.一2bb从_伊_4qc)

••X]+%2=——,x,x.

a124a2

【点睛】

此题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根据方程的特点选择适合的解法是解题的关键.

22、（1）P（抽到数字为2）=-；（2）不公平，理由见解析.

3

【解析】试题分析：（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概

率，从而得解.

试题解析：（DP=7；

3

（2）由题意画出树状图如下：

开始

一共有6种情况，

42

甲获胜的情况有4种，P=-=-,

63

21

乙获胜的情况有2种，P=-=-,

63

所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平.

考点：游戏公平性；列表法与树状图法.

4

23、（1）袋子中白球有2个；（2）P（两次都摸到白球）=-

【分析】（1）设袋子中白球有x个，根据摸出白球的概率=白球的个数+红、白球的总数，列出方程即可求出白球的个

数；

（2）根据题意，列出表格，然后根据表格和概率公式求概率即可.

Y2

【详解】解：（1）设袋子中白球有X个，则;一

1+尤3

解得x=2,

经检验x=2是该方程的解，

答：袋子中白球有2个.

（2）列表如下:

红白1白2

红（红，红）（红，白1）（红，白2）

白1（白1,红）（白1,白1）（白1,白2）

白2（白2,红）（白2,白1）（白2,白2）

由上表可知，总共有9种等可能结果，其中两次都摸到白球的有4种,

4

所以P（两次都摸到白球）=-

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【点睛】

此题考查的是根据概率求白球的数量和求概率问题，掌握列表法和概率公式是解决此题的关键.

24、（1）（-1,-1）；（2）①整点有5个.②,<aw'.

94

【分析】（D可先求抛物线G的顶点坐标，然后找到该店关于x轴对称的点的坐标即为抛物线G的顶点坐标.

（2）①先求出当机=1时，抛物线G和C2的解析式并画在同一个直角坐标系中即可确定整点的个数；

②结合整点的个数，确定抛物线与X轴的一个交点的横坐标的取值范围，从而代入抛物线解析式中确定m的取值范围.

【详解】（1）Vy=mx'+2mx+m-1=m（x-1）"-1

.••G的顶点坐标为（LT）

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•••抛物线C1；y=mx+2iwc+阳一1沿x轴翻折得到抛物线C2.

的顶点坐标为（一1，1）

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