山东省青岛市2023-2024学年高一年级上册9月强基计划学生选拔测试数学试题

2023年青岛市高一数学强基计划学生选拔测试题

（时间：100分钟，满分120分）

一、填空题（共64分，其中每个小题8分）

1.已知关于x的方程||万一。卜母=5有解，则人的取值范围是.

k

2.如图，直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于点A8,与反比例函数y=—的图象交于点瓦尸.若

x

AB=2EF,则Z的值为.

3.实数aAh,且满足(a+l)2=3—3(a+l),9+1J=3-3伍+1),则的值为.

4.如图，在△ABC中，。为4c上一点，连接30,ZA+ZC^ZABD,BD=BA=2,BC=5,则△ABC

的面积是.

5.已知实数x,y,z满足x+y+z=5,且4*+yz+xz=3,则z的最大值为.

—2x-6（x<—4）

6.在同一平面直角坐标系中，直线y="一左与函数y=12（-4<x<l）的图象恰好有三个不同的交点，

-2x+4（尤>1）

则攵的取值范围是.

7.设〃是正整数，且是15的倍数，/7=15m.已知，〃是完全平方数，120x〃是完全立方数，36x〃是完全

5次方数，则〃的最小值是.

8.将形如3加和2"（M〃为正整数）的正整数从小到大排列，并依次记为4,％，4•若第左个数W=2022,

则攵的值为.

二、解答题（共56分，其中第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9.（本题满分16分）

如果实数x,y,z满足Y+,2+z?一（孙+yz+zx）=8,用A表示,一乂，的最大值，求A的

最大值.

10.（本题满分20分）

若一个两位正整数机的个位数为4,则称加为“好数”.

（1）求证：对任意“好数”加,加2一16一定为20的倍数；

（2）若〃?=且p闯为正整数，则称数对（p,q）为“友好数对"，规定：“（〃?）=旦，例如24=5?-俨，

称数对（5,1）为“友好数对”，则〃（24）=g,求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的“（加）的最大

值.

11.（本题满分20分）

如图，二次函数^=办2一36一40（4>0）的图象与彳轴交于点4（一1,0）,8,与y轴交于点。，点。是抛物

线的顶点，抛物线的对称轴/与BC交于点E,与x轴交于点尸.

（1）若DE=—,求抛物线y=口2—3这一4a>0）的表达式;

8

（2）在（1）的条件下，点G是第一象限内抛物线对称轴/上一点，且NBGC=/BCO,求点G的坐标.

2023年青岛市高一数学强基计划学生选拔测试题评分细则

一、填空题（共64分，其中每个小题8分）

1.b>52.-3.-234.叵5.—6.-2<k<--

4255

7.218X323X558.684

二、解答题（共56分，其中第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9.（本小题满分16分）

不妨设则/1=%—2,令元一y=a,y-z=b,贝ijx-z=a+h,

由+y2+z2—3+yz+2x)=8

可知,g[(x-y)2+(y-z『+(z-x)28,

a1+h2+(a+Z?y=16,化简得a?+b2+aZ?=8,

228

=a+Z?2+ah-3ah=S—3ah>0,ab<—9

...(4+4<8+号=%，+此坟

v7333

10.(本小题满分20分)

(1)证明：设加=10f+4,且f为整数,

.•.相2_16=(1Of+4)2—16=100产+80/+16—16=20(5/+47)

Vl<r<9,且f为整数，•••53+4才是正整数,

...机2—16一定是20的倍数;

(2),：m=p2-q2,且p均为正整数，,10f+4=(〃+q)(〃一4),

当£=1忖，10-4=14=1x14=2x7,没有满足条件的p,q,

当，=2时，10/+4=24=1x24=2x12=3x8=4x6,

Qi或p+q=6

满足条件的有

[pr=2p_q=4'

〃=7P=5或1，

解得4或<

q=5

当1=3时,1(^+4=34=1x34=2x17,没有满足条件的p,q,

当£=4时,10r+4=44=lx44=2x22=4xll,

p+q=22,，p=12,、105

.••满足条件的有”，解得《一,

Ip—q=2g=10V7126

当f=5时，107+4=54=1x54=2x27=3x18=6x9,没有满足条件的p,q,

当f=6时，107+4=64=1x64=2x32=4x16=8x8,

"=32或’p+q=16

•••满足条件的有《

p-q=2p-q=4

p=l7P10,,153

解得《或，

4=15q=6V7175

...小于70的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值为

11.(本小题满分20分)

解析：(1)..•抛物线解析式为y=o?_3方—生(。＞0),

-3a3

；•抛物线的对称轴是直线x=-——

2a2

•.•抛物线丁=分2_3依—4a(a＞0)与x轴交于A(—1,0)、8两点，.•.点3(4,0)；

3Q925

当x=一时，y=—a——a-4a=-----a,，点一,---a

2-424(24

:抛物线y=一3侬-4a(。＞0),与y轴交于点C,

.•.点C(0,-4a),又•••点8(4,0),...直线的解析式为y=4。,

33/5.占口(35)

当x=一时，y=-a-4a=——a，.•点£—,——a

222122J

,155251

DE=—,•・—=—ciH---a9・・a=一,

88242

I?

抛物线的解析式为y=]-守一2；

(2)如图，

•.•点3(4,0),点4(—1,0),点C(0,2),

.•.04=1,OC=2,08=4,AB^5,：.—=—=L,

OCOB2

又；ZAOC=ZBOC=90°，:.△AOCS.OB，,ZCAO=ZBCO,

•：4BGC=4