天津市南开区南开中学2024届高三年级上册统练6数学试题

天津市南开区南开中学2024届高三上学期统练6数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.己知集合/=卜卜--2<0},3={x|lgx<l},/巾=（）

A-(-2,10)B.(0,1)

0HRD-(-oo,10)

2.设xe'则“住一口<!”是“/<1”的

22

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.函数〃力=4的部分图象是

已知a=log0.5,6=0.5°2,。=log]0.4

4.02则Q,b,。的大小关系为（）

2

试卷第11页，共33页

AR「i~)

*a<b<c*a<c<b,b<c<a*c<a<b

5.将函数〃x)=2sin］2x-3的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变,

得到函数g(x)的图像，有下述四个结论：

①g(x)=2sin(x-j

②函数g(x)在(0,鼻上单调递增

③点［F，o］是函数g(x)图像的一个对称中心

④当x/-私斗时，函数且口)的最大值为2

_2.

其中所有正确结论的编号是()

A.①②③B.②③C.①③④D.②④

6.如图，在一'0中，/24。=岸而=§刀，尸为8上一点，且满足

刀=加叫加若小2,皿5,则网的值为()

A.叵B.叵C.叵D.史

4224

7.“Be是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角

试卷第21页，共33页

形，若万'=3痂，冏=3,且力=方+〃就，则％+"=()

159

A.B.-C.D.4719

19191919

o+AABC.AB=3AC=9T-->/点"是A/'C所在平面内一点，则当

8.在中,ACAB=AC，

.2.2.2

尸/+尸3+PC取得最小值时，PABC=()

A.24B.60C.2D.

2

9.己知函数"无)」("1)/+(。+2卜-1,X€(-1,1)有且只有3个零点，则实数。的取

(Q-l)%2+办+国,％任(-1,1)

值范围是()

A-(0,1)B-(-«,-8)U(O,l)

C[0,1)D-(-»,-8]U[0,1)

二、填空题

10.复数J：。一1(1为虚数单位)，则目=—.

-1+i

11.在(9一j)6的二项展开式中，/的系数为.

试卷第31页，共33页

12.若正a数，h。满足1_1L+_L=i,则，1Q+二的最小值

aba-\p-1

13.若==则期侬+与的值等于.

三、双空题

14.已知平行四边形"'8的两条对角线相交于点"，|"q=2,|/。卜1,

/DAB—60°甘尾上尸五合4r几MD匚口毋0—rr25Ir)p|—把工N曰隹

，其中点在线段上且满足4PCP=——，〃卜一一，右点是线

16

段45上的动点，则知.标的最小值为一.

四、填空题

①wRg(x)=®x/(x)(上)

2sincox+—,x>0,

I6j.若在〔"J

15.设函数/(、)=<上单调

32/1

—X+A-COXH—,X<0n,

122

递增，且函数与g(x)的图象有三个交点，则。的取值范围是

五、解答题

16.已知△48c的内角4B,C的对边分别为a,b,c,满足2c=Ga+26cos出

CD求角DR；

(2)若cos/=L求sin(2/+8)的值；

4

(3)右c=7,bsinA=6，求6的值，

试卷第41页，共33页

17.已知向量£=(cos|x,sinqx],向量6=(cosgx,—sin少£

0,-•求：

2j

⑴。力及；

(2)/(x)=°)-2/卜+4的最小值为一1,求t的值.

18.已知底面/BCD是正方形，P/_L平面/BCD，PAHDQ-PA=AD=3DQ=3，点

E、尸分别为线段尸8、。。的中点.

⑴求证：〃平面P/OQ;

(2)求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；

(3)线段℃上是否存在点新,使得直线""与平面0,。所成角的正弦值是运，若

存在求出C巴的值，若不存在，说明理由.

MC

19.如图，已知椭圆E：£_+「_=1(0>6>0)的离心率为斗，过左焦点尸卜6，°)且

斜率为左的直线交椭圆£于48两点，线段45的中点为直线/：x+4到=0交椭

圆E于C,。两点•

试卷第51页，共33页

(1)求椭圆£的方程；

(2)求证：点M在直线/上；

(3)是否存在实数左，使得5幼侬=3$叔3?若存在，求出土的值，若不存在，说明理

由.

2

20.已知函数/(x)=(x_2”i-gx2+x+；,g(x)=«x-x+4«cosx+ln(x+l))其

中aeR-

(1)讨论函数/(x)的单调性，并求不等式f(x)>0的解集；

(2)用max卜％"｝表示加,〃的最大值，记尸(x)=max｛/(x),g(x)｝，讨论函数尸(无)的

零点个数.

试卷第61页，共33页

参考答案：

1.B

【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合对数函数的单调性、集合交集的定义进行求

解即可.

【详解】因为“=卜—+》-2<()}=(-2,1),8=卜|脸<1}=(0,10),

所以108=(0,1),

故选：B

2.A

【详解】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.

详解:绝对值不等式/。…

由d<1OX<1.

据此可知<1是/<1的充分而不必要条件.

22

本题选择/选项.

点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生

的转化能力和计算求解能力.

3.A

【分析】根据奇偶性排除B,当x>l时，/5)=曾>0,排除CD,得到答案.

【详解】〃x)=4，〃-x)=^=-4x)，〃无)为奇函数，排除B

当X>1时，/@)=曾>0恒成立，排除CD

故答案选A

【点睛】本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.

答案第11页，共22页

4.A

【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可

【详解】因为a=log020.5=log02V025<log02Vol=1，

nv10•严<1

而6=0.5°2=/>-,且,

所以”万

又c=logj0.4=log2—>log22>1,

22

所以〃<b<c9

故选：A.

5.B

【分析】根据图象变换可得g(x)=2sinx~~71,结合正弦函数的性质逐项分析判断.

【详解】由题意可得：g(x)=2sin［x-故①错误；

因为xe］。,］，则x-蜀-且『Mx在［/j上单调递增,

所以函数g(x)在(0,?上单调递增，故②正确；

4兀，

因为g=2sin2sin7iO=

33

所以点(牛,0是函数g(x)图像的一个对称中心，故③正确;

答案第21页，共22页

因为-71,—，贝—---，

_2」336」

所以当答—5,即、二—兀时，函数8⑴的最大值为g(—3n,与故④

错误；

故选：B.

6.C

【分析】根据题意，利用平面向量的共线定理求得机=工，再结合向量的数量积和向量模

4

的运算公式，即可求解.

【详解】在中，由=而=2丽，尸为8上一点，

_________k1__k.o__k

且满足后=加就+—益，贝IJ万=用衣+_而，

24

又由尸三点共线，则机+之=1,即加=1,

44

因为|就|二2,|森|=5，

则|J-/。?+—AC-AB+—AB2=—x4+—x2x5x—+—x25=—,

11644164244

则I万I的值为叵.

2

故选：C.

7.A

【分析】由向量加减、数乘几何意义用在，就表示出Q，即可得结果.

答案第31页，共22页

______„__„___2__►__►2__.__►__►2__►2__-

【详解】由题设方=存+而=砺+]前=砺+§(团+函)=四+§(而+§区)

=AB+-BC+-(CA+AE)=AB+-BC+-U+^AF

393927

—►2——►—►4——►8——►1—►2—►8——►

=AB+-(AC-AB)——AC+-AF=-AB+-AC+—AF,

39273927

所以‘力/二上4台+士力。，BPAF=—AB+—AC,

27391919

^AF=AAB+JLIAC故…二”

故选：A

8.A

【分析】由条件可得cos/=,，所以可得8c=6正，进而判断/。=工，以0点为坐标原

32

点，建立如图所示的平面直角坐标系，设尸(x,y)，利用坐标计算强2+丽2+斤2,整理得

PA+PB+PC=3[(x-l)2+(y-2V2)2]+54>则可得当尸Q"应)时，PA+PB2+PC

得最小值，再计算二：即可得答案.

PA-BC

—__>_>2->―>—>

【详解】由=可得：|NC||N8|cosN=|NC『，

->->=qi

则|48|cos/=|/C|,又一,所以cosN=§,

由余弦定理得8c=6近，所以有3c?+"2=/笈，即/。=工，

2

答案第41页，共22页

以C点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则/(3,0)，5(0,6扬，设P(x,»)，贝I：

PA+PB2+PC2=(x-3)2+y2+x2+^y-642^+x2+y2

=3x2-6x+3/-12V2y+81=3[(x-l)2+(y-2V2)2]+54

当x=1j=2收，即P(1,2V2)时~PA+~PB+PC2取得最小值，

此时强.瑟=(2,-2也).(0,-6/)=24.

故选：A

【点睛】本题考查向量数量积的计算.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向

量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时

要注意数量积运算律的应用.

9.B

【分析】先求a=l时函数“X)的零点，再考虑awl时,函数/⑺在(_8,i]U[l,+oo)的零

点，由此确定函数/(x)在(-1,1)上的零点个数，结合二次函数性质求。的取值范围•

a=13x-l,xG(-1,1)

【详解】当时,/(x)=<X+X,XG[1,+00)*

0,XG

答案第51页，共22页

所以区间(Y°，T］内的任意实数和g都为函数/(X)的零点，不满足要求;

若工£(-00,-1卜贝U/(X)=((2-1)X2+6ZX-X?

令/(x)=0，可得x=0(舍去)，或％=-1,

所以尸―1为函数/(X)的一个零点;

若XG[1,4-00)»则/(x)=(d!-l)x2+QX+X，

令/(x)=0，贝品”1*+QX+X=0,

所以x=5,

a—1

若"Ul,BP°-a<1,则函数〃x)在[l，+8)上有一个零点;

若a>l或a<0时，则函数/(x)在［1,+00)上没有零点；

当04a<1时，函数/(x)在(-oo,_l］31,+oo)上有两个零点;

因为当0Wa<l时，函数/(x)在(-oo,-l］口［1,+8)上有两个零点;

又函数在R上有3个零点,

即方程(a-l)x?+(a+2)x-l=0在(-1,1)上有个根，

答案第61页，共22页

当a=0时，方程(”1)/+(0+2)口一1=0的根为4=1(舍去)，

故a=0时，方程(a_l*+(a+2)x-l=0在(一1,1)上没有根，矛盾

当0<。<1时，A>0)

设g(x)=(a-lW+(a+2)x-l,xe[-1,1]，

函数g(x)=("lW+(a+2)xT的对称轴为/2包>1,

2-2a

函数g(x)的图象为开口向下的抛物线，

由方程"lW+(a+2)x7=0在上有一个根可得g⑴>O,g(-l)<。，

所以(a-l)+(a+2)-l>0,(a-l)-(a+2)-l<0，

所以0<a<r

当a>l时，则函数[(x)在(-00,-1][[1,+8)上有一个零点；

又函数”X)在R上有3个零点，

所以函数/(力在(7,1)上有且只有两个零点，

即方程(._1)尤2+(4+2)尤_]=0在(_],1)上有两个根，

由g(x)=("l)x2+(a+2)x_l,xe[Tl]可得函数g(x)的图象为开口向上的抛物线，

函数g(x)=(aT*+(a+2)x-l的对称轴为x=±2,

答案第71页，共22页

贝l]A=(a+2)2+4(a-l)=a(a+8)>0,_]<"+2<],g(l)>O,g(-1)>。,

2—2Q

所以0>4，(«-1)+(0+2)-1>0,(0-1)-(«+2)-1>0'

满足条件的°不存在,

当a<0时，则函数/(力在(fOLUuM+oo)上有一个零点;

又函数/(x)在R上有3个零点，

即方程(°_1*+(a+2);<:-1=0在(-1,1)上有两个根，

由83=("1)/+伍+2)》-1,》€卜1,1]可得函数8(目的图象为开口向下的抛物线，

函数g(x)=("l)x2+(a+2)x-l的对称轴为x=£±l

2—2。

则A=(Q+2/+4(Q-1)=Q(Q+8)>0,_1<^+2<1,g(l)<0,g(-l)<0,

、2—2a

所以〃<-8，a<0，++<0,(Q_1)_(Q+2)_]<0，

所以〃<T

故实数a的取值范围是(_oo,_8)U(0,l>

故选：B

【点睛】关键点睛：含绝对值函数的相关问题的解决的关键在于去绝对值，将其转化为不

含绝对值的函数，分段函数的性质的研究可以分段研究.

。41

【分析】先利用复数的运算化简复数，再利用模长的公式求解模长.

答案第81页，共22页

【详解】z="£)=「，)=_]-

l+i1+i(l+i)(l-i)17

所以归=J(-1)2+(_1)2=后.

故答案为：6

［详解］试题分析：因为晨亭〜（子）22f-，，所以由3f=2得

r=1,因此产的系数为《（一1）2T=-|

考点：二项式定理

【方法点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定

项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，

即n,r均为非负整数，且n匕）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项的系数.

2.有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据

具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解.

12.6

■八工匚▼-r於0b、廿口11।-曰。>16>16z-l>0Z?-l>0,

【分析】正数，满足一+―=1,可得，且n；n即n，且n；由

ab

1+L=1变形为°-1=L；化J_+_2_为-1T+9（a-1）应用基本不等式可求最小值.

abb-\a-1b-1a~1

•••ah11-Z7>1A>1

【详解】解：正数，"满足_1+二1,且"1；

ab

答案第91页，共22页

11.,a+b:.ab=a+b:.ab-a-b=O(a-1)(Z)-1)=1

一+-=1变形为----=1，，，

abab

+言=M+9("D"N4"1)=6'

当且仅当一^=9(a-l),即a=l±1时取"一"(由于"'I故取。=3,

a-\3J

io

,+2的最小值为6；

a-1b-1

故答案为：6。

13.--/-0.5

2

【分析】由已知条件求出〃"的值，即可求解

【详解】因为％夕£0微

£

2

解…三，

所以cos(a+P)=cos^L——,

答案第101页，共22页

故答案为：-！

2

14且受

V256

【解析】根据题意，利用余弦定理求出0，/c=J7,根据平面向量的线性运算即

->->(T-»、->/->-»、->2->2

可得出NP=_PN=_[JW+A«J，CP=-^PM-MA\,得出NP.CP=PA/

即可求出由于点"是线段"'上的动点，可设/N=X(O4X42),则

->y->—>0y->___>y->—>

AN=-AB,NB=一一AB,由平面向量的三角形加法法则得出ND=--AB+AD,

222

NPJL_AAB+-AD,结合条件且根据向量的数量积运算，求得

(42)4

而击--04寸。崇℃力最后根据二次函数的性质即可求出

法>A加的最小值.

.、法则,六礼一皿5皿ABCD4f-ZDAB=60°

【详解】解：在平行四边形1中1，48=2，40=1，，

则在△22。中，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cosZDAB>

答案第111页，共22页

BP5Z>2=22+l2-2x2xlxi=3,

2

ABDA=90°,NABD=30°,则ZABC=120°，

在“BC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosAABC'

^AC2=22+l2-2x2xlx^-1^|=7，--AC=^,

,*>->->f->-»、ff(Tf->T、

AP=-PA=-\PM+MA,CP=-PC=-\PM+MC\=-\PM-MA

(f->AA->->2->225

:.AP-CP=\PM+MAt\PM-MA\=PM-MA=-—

^MA=-AC=—

22

T

:.PM-MA=PM—2=_竺，解得:PM

4164

DP=DMPM近_近=近;

244

由于点N是线段上的动点，

可设/N=x(OK2),则仁欣正♦必

—>—>—>—>—>y—>—>

...ND=NA+AD=-AN+AD=——AB+AD

2

———2—rt3f2—rt3，3t

:.NP=NB+BP=-----AB+-BD=——AB+-\AD-AB

24241

答案第121页，共22页

即宓=仕一AB+-AD，

U2)4

ND-NP=^-^AB+AD^-Q-|^+|^b

iif3.'

——x+-x2\AB+------x\ABAD+-AD

84JU8J4

112Q7)“3

—xH—x「x4+----xx一2x1xcos60H—

84JU8J4

—x2---x+1,(OWxV

8l

即而近4-%+1=

i+热。52)，

所以当x=11i■时，NfDNfP取得最小值，最小值为”115.

16256

故答案为：—.

4256

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的线性运算和数量积运算的实际应用，解题的关

键在于利用二次函数的性质求最值，考查转化思想和运算能力.

15.2.

3

答案第131页，共22页

【分析】利用/(X)在IK上单调递增可得工4o42,函数〃x)与g(x)的图象有三个

3,243

交点，可转化为方程3/+6°x+1=0在xe(-oo,0)上有两个不同的实数根可得答案•

【详解】当小和,3法母j

因为“X)在上单调递增,

兀兀,12

H----«一

6243

所以一题《二，解得

33

所以在xe(-oo,0)上函数〃x)与g(x)的图象有两个交点，

即方程3/+4a)x+—=tax在**(°0,°)上有两个不同的实数根,

22

即方程3/+68+1=0在》4-00,0)上有两个不同的实数根，

A36疗120>垂>

CD>——

所以-0<0,解得3

—xO2+6①xO+1>0

[2

当GO时，令/⑴_g(x)=2sin］力工+弓’8，

由x=0时，f(%)—g(x)=1>0,

答案第141页，共22页

当…誉不时，s=g

77r

此时，/(x)-g(x)=2--—<0,

结合图象,所以x20时，函数与g")的图象只有一个交点,

综上所述,732

G)€T53

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化为方程3/+6。、+1=0在xe(-oo,0)上有两个

不同的实数根.

16.(1)(2)34)-7.(3)晒

616

【解析】(1)由正弦定理化边为角后，由诱导公式和两角和的正弦公式化简后可求得B；

(2)由二倍角公式求得sin24cos24后再由两角和的正弦公式可求值;

(3)由正弦定理求得°,再由余弦定理求得人

【详解】(1)­2c=>/3a+2bcosA,

由正弦7E.理得，2sinC=A/3sin^4+2sinBcosA

答案第151页，共22页

••2(sinAcosB+cos4sin8)=sin4+2sinBcosA

即2sinAcosB=出sinA,

sin4w0

,•cosB=——

2

又0<5<小

(2)由已知得，sinZ=V1-COS2A=

•,sin24=2sinAcosA=---

8

2

cos24=2cosA-l=——

8

•7171c,•兀一/

•,sin(2Z+B)=sin(2Z+—)=sm2Acos—+cos2Asin—=--------

66616

(3)由正弦定理，_得。=史二

sinAsinBsinB

TC

由(1)知，B=N,

,,a=2A/3

由余弦定理得，＞2=a2+c2-2accosB=19,

：♦b=M

答案第161页，共22页

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、考查两角和的正弦公式、二倍角公式、诱导公式,

同角间的三角函数关系，考查公式较多，解题关键是正确选择应用公式的顺序.在三角形

中出现边角关系时，常常用正弦定理进行边角转换.

17.(l)cos2x,2cosx

⑵工

2

【分析】(1)根据向量的坐标运算结合三角恒等变换运算求解；

(2)由(1)整理得=cos2x-4/cosx=2cos2x-4?cosx-l，换兀令m=cosxG[0,1]>

原题意等价于g(M=2/-4加-1在[0,1]上的最小值为_3,

2

分类讨论，结合二次函数最值运算求解.

【详解】(1)由题意可得：a-b=cos-xcos—x-sin—xsin—x=cos|—x+—x'l=cos2x>

2222(22J

iriI_^3-3,i[i|T"i_r.iY,,

=Jcos—x+sin—x=l,|p|=Jcos—x+l-sm—xI=1

~~r'Tr__1V/---------------/-----丁

所以卜+H=+b)=+2a-b+b=Vl+2cos2x+l=V4cosx，

又因为xe0,4则c°sx",可得B++2COSX,

所以Q.B=COS2X；,+q=2cosx

(2)由(1)可得：f^x)=cos2x-4tcosx=2cos2x-4lcosx-lf

因为xe[o,],令机=cosxe[0,l],

答案第171页，共22页

原题意等价于g(")=2/-4桃-1在［0,1］上的最小值为-3,

2

注意到函数g(加)开口向上，对称轴为机=£,则有：

若£之1,则g(加)在［0川上单调递减,

可得当机=1时，函数8⑺取到最小值g(l)=l-4t=-|,

解得不合题意，舍去；

若则g(⑹在［0川上单调递减，在&1］上单调递增，

可得当机=’时，函数g(M取到最小值g0=-2/2_l=_|,

解得/=1或/=-工(舍去)；

22

若£40,则g(M在［0,1］上单调递增，

可得当机二°时，函数g(")取到最小值g⑼不合题意，舍去;

综上所述：t的值为

18.(1)证明见解析

⑵巫

7

PM,—PM1

⑶存在;标=1或指盘

答案第181页，共22页

【分析】（1）法一,：分别取4g、CD的中点G、H,连接EG、GH、FH,证明出平面

EGHFH平面ADQP,利用面面平行的性质可证得结论成立；

法二：以点人为坐标原点，以、、/尸所在直线分别为、、轴建立空间直角坐

42ADxyz

标系，利用空间向量法可证得结论成立；

（2）利用空间向量法可求得平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；

（3）假设存在点使得两=义定，其中;Le[O,l]，求出向量而的坐标，利用空间向

量法可得出关于力的方程，解之即可.

【详解】（1）证明：法一,：分别取/§、CD的中点G、H,连接EG、GH、FH'

由题意可知点E、尸分别为线段尸3、CQ的中点.所以EG//P4,FHHQD.

因为尸47DQ，所以EG//FH，所以点£、G、H、尸四点共面，

因为G、H分别为48、CD的中点，所以GH//4D'

因为4Du平面4DQP,G//O平面400尸，所以GH〃平面4DQP，

又因为FH/IQD，0。＜=平面/。0尸，尸〃0平面/。。尸，所以〃平面NDQP,

又因为尸〃^6〃=〃，FH、G/7陵平面EG/7F,所以平面EG//F〃平面ND0P,

因为既u平面EG£?F,所以斯〃平面400尸；

答案第191页，共22页

Q

法二：因为4gc£）为正方形，且尸/_L平面48CD，所以/尸、AB＞么。两两互相垂直,

以点A为坐标原点，以Ng、.所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间

直角坐标系，

则P（0,0,3）、C（3,3,0）、0（0,3,1）、*3,0,0）、后户,。上）F^,3,^

所以诙=（0,3,-1），易知平面PADQ的一个法向量0=（i,o,o），

所以〉砺=0，所以砺,小

又因为EFU平面尸，所以斯〃平面NDQP.

⑵解：设平面PC。的法向量注=（x,%z），正=（3,3,-3），诙=（-3,0,1），

m-PC=3x+3y-3z^0X=1m=(1,2,3)

则m-CQ=-3x+z=Q，取，可得

答案第201页，共22页

所以平面PCQ的一个法向量为碗=0,2,3），

易知平面。0。的一个法向量J=（o,i,o），设平面PC0与平面CQJ夹角为0,

nln_|_22_V14

贝ljcos6一|cos（w）|=I-I|一|----1.—I——=——

I'm.«lxVl+4+9V147

所以平面PC。与平面夹角余弦值为恒；

7

（3）解：假设存在点"，使得同7=4定=（343；1,-3；1），其中;le[0,l]，

则商=不+由=（0,0,3）+（3九34,-34）=（34,32,3-32），

由（2）得平面PC0的一个法向量为碗=0,2,3），

I/—.-\|\AM-m\I3A+6A+9-9AI屈

由题意可得卜os6此"=',.J,=」।2=♦，

।'/I卜必•网714^922+9^2+（3-3^）7

整理可得12万-82+1=0,gp（2A-l）（6A-l）=0,

因为I解得；I」其，所以，叫」或也=1.

6MC5MC

19.（1）0+4=1（2）详见解析（3）存在，且七=±1

41-4

【分析】（1）根据离心率和焦点坐标列方程组，解方程组求得出6的值，进而求得椭圆E

的方程.（2）写出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，求得中点"的坐标，

将坐标代入直线/的方程，满足方程，由此证得点〃在直线/上.（3）由（2）知43至卜的

答案第211页，共22页

距离相等，根据两个三角形面积的关系，得到M是0C的中点，设出c点的坐标，联立直

线/的方程和椭圆的方程，求得c点的坐标，并由此求得上的值•

c百a=2b=l

【详解】解：⑴解:由aW,解得，

c=6

22

所以所求椭圆的标准方程为土+匕=1

41

⑵设/（芭,M），B（x2,y2）'M（x0,y0）>

X

y=k（x+y/3\（4左2+1）、2_8Ak2%+12左2_4=0

消律

_玉+%_-4®2

解得『021+4〃

,,一切+二2.瓜

y°~2-1+4公

将M（Xo，%）代入到x+4®=0中，满足方程

所以点川在直线/上.

（3）由（2）知45至卜的距离相等，

若A5DA/的面积是ZUCM面积的3倍，得QM=3|CM，

有|。。|=卬,

••M是QQ的中点，

设C（X3，%）,则为=5,

答案第221页，共22页

x+4ky=0

联立解得％=±

x2+4y2=4

干是1J网

2，1+431+4公

解得如=；,所以仁土亨

【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系

数关系，考查方程的思想，属于中档题.要证明一个点在某条直线上，那么先求得这个点的

坐标，然后将点的坐标代入直线方程，如