一次函数的图象与性质

第8讲一次函数的图象与性质考点・方法・破译一次函数及图象：⑴形如y=kx+b（k,b为常数，且kWO）,则）/叫做x的一次函数，当b=0,kWO时,y叫做x的正比例函数.⑵正比例函数y=kx（kWO）的图象是经过（0,0）,（1,k）两点的直线，一次函数）/=kx+b（kWO）是经过（0,b）、（―g,0）两点的直线.k一次函数的性质：当k>0时，）/随自变量x的增大而增大；当k<0时，）/随x的增大而减小.函数y=kx+b中的系数符号，决定图象的大致位置的增减性.经典•考题•赏析【例1J（山东）函数y=ax+b①和y=bx+a②（abWO）在同一坐标系中的图象可能是（ ）【解法指导】4中①Q>0，b>0,②b<0,。<0矛盾.B中①a<0,b<0,矛盾.C中①a>0,b>0②b>0,a=0矛盾.。中①a>0,b<0②b<0,a>0,故选D.【变式题组】01.（河北）如图所示的计算程序中，y与01.（河北）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（）02.（安徽）已知函数y=kx+b的图象如左图，则y=2kx+b的图象可能是（）03.下列图象中，表示一次函数y=mx+〃与正比例函数y=m/ix（m、〃为常数，贝Um/iWO）【例2】（绍兴）如图，一次函数y=x+5的图象经过点P（a,b）和Q（c,d）则a（c—d）~b（c—d）的值为.【解法指导】因为点p（a,b）,Q（c,d）在一次函数图象上，・・.b=a+5,d=c+5・・・a—d=—5,c—c/=—5,a(c—c/)—d=—5,c—c/=—5,a(c—c/)—b(c—c/)=(c—c/)(a-b)=(-5)X(-5)=25【变式题组】01.如图一条直线/经过不同三点八（a,b）,B（b,a）CCa-b,b-a）则直线/经过（）X.第二、四象限B.第一、三象限C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限02.（南京市八年级竞赛试题）已知三点A（2,3）,B（5,4）C（—4,1）依次连接这三点，则（）人构成等边三角形B.构成直角三角形C.构成锐角三角形D.三点在同一条直线上03.（四川省初二数学联赛试题）已知一次函数y=ax+b的图象经过点（0,1）,它与坐标轴围成的图是等腰直角三角形，则。的值为.【例3】如图，已知正方形八BCD的顶点坐标为八（1,1）、B（3,l）,C⑶3）、。（1,3）,直线y=2x+b交4B于点E,交8于点F.直线与y轴的交点为（0,b）,则b的变化范围是【解法指导】直线y=2x+b是平行于直线y=2x的直线，当直线经过B点时，b最小，当x=3时，y=l：.l=2X3+b,b=~5当直线经过D点时，b最大,所以当x=l时,y=3.*.3=2Xl+d,b=l・•・一【变式题组】101.线段y=—,x+a（1WbW3）,当a的值由一1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（）A.6 B.8 C.9 D.1002.（新知杯上海）在平面直角坐标系中有两点P（-1,1）,Q（2,2）,函数y=kx―1的图象与线段PQ延长线相交（交点不包括Q）,则实数k的取值范围是.03.（济南）阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1W0）的图象为直线/1,一次函数y=k7+b2（k2W0）的图象为直线12,若k1=k2,且b1=b2,我们就称直线11与直线12平行：解答下面的问题： 2 1 21⑴求过点P（1,4）且与已知直线y=-2x-1平行的直线1的函数表达式，并画出

直线/的图象；⑵设直线/分别与y轴、x轴交于点八、B,如果直线m：y=kx+t(f>0)与直线平行且交于x轴于点C,求出△ABC的面积S关于t的函数关系式.2. I-I1I1J一。2 4飞工■【例4】已知一次函数y=kx+b,当自变量取值范围是2WxW6时，函数值的取值范围5<y<9.求此函数的解析式.【解法指导】⑴当k>0,y随x的增大而增大，・・・y=kx+b经过(2,5),(6,9)两点2k+b=56k+b=92k+b=56k+b=9，.*.y=x+3b=3⑵当k<0,y随X的增大而减小，・・・y=kx+b经过(2,9),(6,5)两点f2k+b=9[6k+b=5f2k+b=9[6k+b=5fk=-l<b=-ll，，所求解析式为y=x+3或y=-x+11【变式题组】01.已知一次函数y=kx+b,当一3WxWl时，对应y的值为lWyW9,则kb的值为()A.4B.-6C.—4或21D.—6或1402.(遂宁)已知整数x满足-5WxW5,)/]=x+l,%=2x+4,对任意一个x,m都取yl,、TOC\o"1-5"\h\zy2中的最小值，则m的最大值是() 2A.1 B.2C.24D.-9【例5】如图，直线y=-5x—5与x轴交于4与y轴交于B,直线y=kx+b与x轴交于C,与y轴交于B点，8，项交y轴于E.若CE=4B,求直线BC的产解析式. 丫【解法指导】由CE=AB,CD±AB^S^AAOB^AEOC, OB=OCW\o"CurrentDocument"y=-5x—5与y轴交于B \*,•8(0,-5)\o"CurrentDocument"••.C(5,0),而直线BC经过(0,-5),(5,0)可求得解析式y=x—5 1【变式题组】01.如图，在平面直角坐标系中，点Q(x,y)是直线y=—x+6第一象限上的点，点八⑸0),0是坐标原点，△勿。的面积S.⑴求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；⑵探究：当户点运动到什么位置时△以。的面积为10.，F… 1 ,,……… -、02.如图，直线/：y=—,x+2与x轴、y轴分别父于小B两点，在y轴上有一点C(0,4),动点M从八点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动.⑴求4B两点的坐标；⑵求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；⑶当t为何值时，△COM0A4OB,并求此时M点的坐标.03.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线y=kx+b经过八(0,2)、8(4,2)两点.⑴求直线4B的解析式；⑵点C的坐标为(0,1),过点C作8，八。交八B于D.x轴上的点户和小B、aD、。中的两个点所构成的三角形与△48全等，这样的三角形有个，请子啊图中画出其中两个三角形的示意图.【例6】如图，已知直线y=—x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B.另一条直线y=kx+b(kW0)经过(1,0),且把△AOB分成两部分.⑴若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值；⑵若△AOB被分成的两部分的面积比为1:5，求k和b的值.【解法指导】欲求k和b的值，需知道直线y=kx+b(kW0)经过两已知点，而点C(1,0)在直线上，因而只需求出另一点的坐标即可.解：⑴由题意得(2,0)、B(0,2),；.C为OA的中点，因而直线y=kx+b过OA中点且平分△AOB的面积时只可能韦中线BC.,.y=kx+b经过C（1,0）,（0,2）fO=kx+b・・・< , :.k=2b=22=b42⑵①设尸炊与。B交于M（。3则有S-UM/V//X轴，"3.TOC\o"1-5"\h\z（4 242 4k+b=2 伙=2\o"CurrentDocument"二直线y=kx+b经过77,77）,（1,0）.二<3 3/.<7 小33 77八 lb=—2k+b=0i【变式题组】01.如图，在平面直角坐标系xOy,已知直线AC的解析式为y=—1x+2,直线AC交x轴于点C,交于y轴于点A.⑴若一个等腰直角三角形OBD的顶点D与点C重合，直角顶点B在第一象限内，请直接写出点B的坐标；⑵过点B作x轴的垂线l,在l上是否存一点P,使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；⑶试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标.02.（浙江杭州）已知，直线y=-丁x+1与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边的第一象限内作等腰Rt△ABC,/BAC=90。，且点P（1,a）为坐标系中的一个动点.⑴求三角形ABC的面积S.小△ABC⑵证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；⑶要使得^ABC和^ABP的面积相等，求实数a的值.演练巩固•反馈提高01.（芜湖）关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）

02.一次函数）/=代一b和正比例函数y=kbx在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（）03.一次函数）/=（m—1）x+m+2的图象与y轴的交点的纵坐标是3,则m的值是（）04.直线yl=kx+b过第一、二、四象限，则直线y2=bx—k不经过（）人第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限05.已知一次函数y=（l-2m）x+m-2,函数y随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（）A.m>—B.mW2C.—<m<2D.—<mW22 2 206.如图，点A、B、C、D在一次函数y=—2x+m的图象上，它们的横坐标依次为一1,1,2,分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A.1B.3 C.3(m-1) D. -2(m-2)第6题图 糖7胞图 第后越国 就9尊困07.（绍兴）如图，在x轴上有五个点，它们横坐标依次为1,2,3,4,5.分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y=ax,y=（a+1）x,y=（a+2）x相交，其中a>0,则图中阴影部分的面积是（）A.12.5B.25C.12.5a D.25a08.（重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,动点P从点B出发，沿路线B一C-D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（）A fi C D09.（日照）如图，点A的坐标为（一1,0）,点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）

X.(0,0)X.(0,0).（义务）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征.甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x增大而增大.在你学习的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式..观察下列各直角坐标系中的直线AB,点户（x,y）是线段AB上的点，且x、y都是整数，请根据图中所包含的规律，回答下列问题：啸口金国 啸口金国 . 我2个电 钝3小明 电4中明⑴第5个图中满足条件的点P个数是；⑵第n个图中满足条件的点户个数m与n之间的关系是..（十堰）直线y=kx+b经过点八（一2,0）和y轴上的一点B,如果△ABOOO为坐标原点）的面积为2,则b的值为..如图，长方形OABC的顶点B的坐标为（6,4）,直线y=-x+b恰好平分长方形的面积，则b=..如图，点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k=.解】3解】3造图 第14触图 ^L5 讷I7SS图.（东营）正方形A1B1C1O1,A2B2c2c1,A3B3C3c2,…按如图所示的方式放置.点A1,A2,A3,…和C1,C2,C3,…分别在直线y=kx+b（k>0）和x轴上，已知点B1（1,1）,B2（3,2）贝UBn的坐标是. M2c”.点P为直线y=-3x+6上的一点，且点P到两坐标轴距离相等，则P点坐标为..已知直线y=x,y=1x+1,y=-4x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取1 2 3 3 5y1、y2、y3中最小的值，则y的最大值为..已知一次函数y=kx+b的图象经过点P（0,-3），且与函数y=1x+1的图象相交于点A8（3,0）.⑴求a的值；⑵若函数y=kx+b的图象与x轴的交点是B,函数y=1x+1的图象与y轴的交点是C,求四边形ABOC的面积（其中O为坐标原点）..定义［p,q］为一次函数y=px+q的特征数.⑴求一次函数y=—2(x-1)的特征数；⑵若特征数是b,4-21的一次函数为正比例函数，求k的值.1，一，.已知：二点八(a,1)、B(3,1)、C(6,0),点八在正比例函数y=5X的图象上.⑴求a的值；⑵点P为x轴上一动点，当△OAP与^CBP周长的和取得最小值时，求点P的坐标;手了J-1-2-1^~~~5~3~3-2~r培优升级•奥赛检测TOC\o"1-5"\h\za+bb+cc+a , 、 ,01.已知abcW0,且 = =---=t,则直线y=tx+1一定通过()cabA.第一、二象限 B.第二、三象限 仁第三、四象限 D.第一、四象限5 9502.一个一次