分类加法计数原理与分步乘法计数原理（一）课件高二下学期数学人教A版选择性

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（一）

本章我们一起来更科学的研究如何高效地“计数”你能回答下面两个问题吗?章节引言探究新知方案1用大写英文字母编号

26方案2用阿拉伯数字编号

1026+10=36完成一件什么事有多少种方法怎么完成这件事这里的“或”代表分类问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个

座位编号，总共能编出多少种不同的号码？完成一件事给座位编号分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有_______种不同的方法.N=m+n

例1：在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表，A大学B大学生物学数学化学会计学医学经济学物理学法学工程学问：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？追问1：例1中完成了一件什么的事情？追问2：在例1中,如果数学也是A大学的强项专业,则A大学共有6个专业可以选择,B大学共有4个专业可以选择,那么用分类加法计数原理,得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10.这种算法有什么问题?分类加法计数原理不仅对完成一件事有两类不同方案适用，对分三类的方案也适用。当然，对分n类方案也适用。你能仿照分类加法计数原理的内容，对有n类方案的分类加法计数原理推广吗？推

广完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，.....在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有

种不同的方法.N=m1+m2+……+mn特点:

各类中的各种方法相互独立即用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事利用分类加法计数原理的一般步骤分类：对完成这件事的方案进行分类，

要不重不漏；计数：对每一类进行计数;求和：得出总数.问题2：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1，A2…A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

1.确定英文字母2.确定阿拉伯数字A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9与字母A对应的编号有9种能用树状图列出所有可能的号码吗？完成一件什么事有多少种方法怎么完成这件事这里的“和”代表分步分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有

种不同的方法.N=m×n完成一件事选两人参加比赛第一步

从男生中选一人

30种

第二步

从女生中选一人

24种

完成一件什么事有多少种方法怎么完成这件事例2推

广完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，.....做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有

种不同的方法.N=m1×m2×……×mn

特点:

各个步骤相互依存

只单独完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.利用分步乘法计数原理的一般步骤分步：对完成这件事的方案进行分步，

要步骤完整；计数：对每一步进行计数;求乘积：得出总数.1.填空题(1)一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________；

(2)从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是_________.96微体验2.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.

(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法?

(2)从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法?3.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.

(1)从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?

(2)从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?解：(1)11种；(2)30种.解：(1)12种；(2)60种.微体验

如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路，从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，从甲地到丁地共有多少条不同路线？N=2×3+4×2=14微体验分类加法计数原理分步乘法计数原理联系区别注意都是完成一件事的不同方法种数的问题是方法的分类:“类类独立”即每类方法中的每一种方法都能独立地完成这件事分类要“不重不漏”分步要“步骤完整”是过程的分步：“步步相依”即各个步骤是相互依存的，必须每步都完成了，才算做完这件事题型一：分类加法计数原理的应用例1：在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为（）36题型二：分步乘法计数原理的应用例2：(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有多少种报名方法?

(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军每个项目只有一个冠军),共有多少种可能的结果?例3.

要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法?变式3：(2022·湖北武汉模拟)某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位,现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车,要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列,则不同的停车方法总数为书本7例题125题型三：计数问题间接法的应用例1给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1~9，最多可以给多少个程序命名？解:第一步：确定首选字符，由分类加法计数原理，首字符不同选法

的种数为:7＋6＝13.

第二步：中间字符。

第三步：最后字符，都从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.

由分步乘法计数原理，不同名称的个数是

13×9×9＝1053，即最多可以给1053个程序模块命名.追问：该例题的解答过程与之前的学习最大的不同在哪？“步中有类”思考你还能给出不同的解法吗?题型四：分类和分布综合应用例2：如图是某社区的街道示意图，一辆酒水车从A点出发不重复地经过所有街道又回到A点，那么酒水车行走的不同路线有()A.8种B.12种C.16种D.24种例1电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.(1)1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?(2)计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示?题型五：分类和分布实际应用例2.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成，如图，这是一个具有许多执行路径的程序模块。(1)这个程序模块有多少条执行路径？(2)为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A评04巩固应用归纳：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点:(1)要完成的“一件事”是什么;

(2)怎么完成这件事？需要分类还是需要分步.

分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.微专题练习组数问题例1：从0，1，2，3，4，5这六个数字中取四个数字组成一个四位数，问:(1)食能组成多少个四位数?

(2)能被5整除的四位数有多少个?变式1：用0,1,2,3…,9十个数字可组成不同的，小于500且无重复数字的三位奇数（）个涂色问题例2：将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有（）种(用数字作答)变式2：某学校将一块长方形空地分成如图所示的八块，计划在这八块空地上种