等差数列的前n项和第2课时课件高二上学期数学人教A版选择性

第4章数

列等差数列的前n项和（第2课时）学习目标1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式及应用；2.了解等差数列前n项和的一些性质，并学会运用性质解决具体问题；3.掌握等差数列前n项和的最值问题的解法．（公式一）（公式二）（二次型）Sn=an2+bn(a,b为实数，常数项为0)特别的：对数列{n}：等差数列前n项和公式的基本形式：1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(

)A．5

B．7C．9D．11自主练习：答案：A答案：C答案：15自主练习：答案：912自主练习：与等差数列各项的和有关的性质(2)若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，

则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．(3)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质：例1.

(1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a6＝100，则S11＝________；(2)若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，则这个数列的项数为________；(3)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn＝m，Sm＝n(n≠m)，则Sm＋n＝________.110039(3)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn＝m，Sm＝n(n≠m)，则Sm＋n＝________.将Sn＝m，Sm＝n代入，消去D并整理得：故填－(m＋n)．－(m＋n)跟踪练习：答案：D答案：60答案：A例2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.解法1.由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an，所以{an}是递减数列.由a1＝10，d＝－2，得an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12.可知，当n＜6时，an＞0；当n＝6时，an＝0；当n＞6时，an＜0.所以,S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…,也就是说，当n＝5或6时，Sn最大.例2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.解法2：因为由a1＝10，d＝－2，即5或6时，Sn最大，最大值为30.方法总结：求等差数列前n项和的最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个．跟踪练习：2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为(

)A．6B．7C．12D．13DC3.等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，

Sn有最大值？由图可知，当1≤n≤8时，Sn单调递增；当n≥9时，Sn单调递减，且S8＝S9.又n∈N*，∴当n＝8或9时，Sn有最大值．∵a1＞0，n∈N*，∴当n＝8或9时，Sn有最大值．3.等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，

Sn有最大值？又n∈N*，∴当n＝8或9时，Sn有最大值．3.等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，

Sn有最大值？例3.已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，数列{|an|}的前n项和问题：分类讨论探究：若Sn＝n2＋2n＋1，试求an.Sn与an之间的关系问题方法步骤：(1)由Sn构造Sn－1→(2)利用an＝Sn－Sn－1

→(3)验证n＝1

→(4)写通项公式an.解：当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2－n2＝2n＋1.

当n＝1时，a1＝1＋2＋1＝4，不适合an＝2n＋1，解：(1)由已知a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，

所以当n＞1时有a1＋3a2＋…＋(2n－3)·an－1＝2(n－1)，

所以两式作差可得：(2n－1)an＝2，与等差数列求和有关的裂项求和问题：解：解.(1)第10年的年末，依第一方案可得共加薪：1000＋2000＋3000＋…＋10000＝55000(元)．依第二方案可得共加薪：

300＋300×2＋300×3＋300×4＋…＋300×20＝63000(元)，因此在公司工作10年，选择第二方案好，多加薪63000－55000＝8000(元)．(2)如果第二方案中的每半年加300元改成每半年加a元，问a取何值时，总是选择第二方案比第一方案加薪多？(2)到第n年年末，依第一方案可得共加薪1000(1＋2＋…＋n)＝500n(n＋1)(元)．依第二方案可得共加薪a(1＋2＋3＋4＋…＋2n)＝an(2n＋1)(元)．由题意an(2n＋1)＞500n(n＋1)对一切n∈N*都成立，2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.与等差数列前n项和相关的实际问题求解要点：1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．跟踪练习1.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50m，最远一根电线杆距离电站1550m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工．若该汽车往返运输总行程为17500m，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？1.等差数列前n项和公式的基本形式：2.与等差数列各项的和有关的性质3.等差数列前n项和的最值4.与等差数列前n项和有关的几个典型问题（1）数列{|an|}的前n项和问题（2）Sn与an之间的关系问题（3）与等差数列求和有关的裂项求和问题（4）与等差数列前n项和相关的实际问题课堂小结达标训练1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为(

)A．30B．25C．20D．15解：S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以S10＋(S30－S20)＝2(S20－S10)，

所以12＋(S30－17)＝2×(17－12)，解得S30＝15.D2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2，Sn，an成等差数列，则S17＝(

)A．0B．2C．－2D．34解：2S1＝2＋a1，即2a1＝2＋a1，解得a1＝2，2S2＝2＋a2，即2(2＋a2)＝2＋a2，解得a2＝－2，2S3＝2＋a3，即2(2－2＋a3)＝2＋a3，解得a3＝2，2S4＝2＋a4，即2(2－2＋2＋a4)＝2＋a4，解得a4＝－2，…S17＝2－2＋2－2＋2－2＋2－2＋2－2＋2－2＋2－2＋2－2＋2＝2.B3．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，给出下列五个命题：①d＞0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{Sn}中的最大项为S11；⑤|a6|＞|a7|.其中正确命题的个数为(

)A．2B．3C．4D．5解：因为等差数列{an}中，S6＞S7＞S5，所以a1＞0，d＜0，故①不正确；因为S6＞S7＞S5，所以a6＝S6－S5＞0，a7＝S7－S6＜0，S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)＝11a6＞0，故②正确；因为S6＞S7＞S5，所以a6＋a7＝S7－S5＞0，所以S12＝12a1＋66d＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，故③不正确；因为a6＝S6－S5＞0，a7＝S7－S6＜0，所以S6最大，故④不正确；因为a6＝S6－S5＞0，a7＝S7－S6＜0，a6＋a7＝S7－S5＞0，所