高考数学开放探究题的特点及求解策略课件高三数学二轮复习

开放、探究题的特点及求解策略

开放类试题是一类具有开放性和发散性的问题，此类问题一般条件或结论不完备，没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要考生自己去探索，结合已知条件进行分析、比较和概括，因此是考查创新能力、数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型.其中开放类试题又可分为条件开放型、结论开放型、存在判断型、规律探究型等，每种题型的求解策略有所不同，因此在求解时，必须先辨明考查类型，再根据所属类型选择解题策略.一、条件开放型问题【例1】

（2021·新高考Ⅱ卷）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）：

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①f（x1x2）＝f（x1）f（x2）；②当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0；③f'（x）是奇函数.

答案

f（x）＝x2（x∈R）（答案不唯一）点评

求解条件开放型问题的一般思路：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，这是一种分析型思维方式.它要求解题者善于从问题的结论出发，逆行追索，由果寻因.

（1）若圆O和椭圆E有4个公共点，求直线AB和CD的斜率之积的取值范围；

（2）四边形ABCD的对角线是否交于一个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

点评

求解结论开放型问题的一般思路：要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归类、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象.然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维方式.它要求解题者要依据条件进行大胆合理的猜想，发现规律得出结论.三、条件、结论同时开放型问题【例3】

已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

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解析

∵α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，若①m⊥n，③n⊥β，则m∥β.又∵④m⊥α，∴②α⊥β.即①③④⇒②.若②α⊥β，③n⊥β，则n∥α.又∵④m⊥α，∴①m⊥n.即②③④⇒①.答案

①③④⇒②（或②③④⇒①）点评

此类题目不仅要求考生有较好的空间想象能力和逻辑思维能力，还要掌握发散思维方法和对陌生情景有较强的适应能力.解答该类问题需要考生去思考、分析、尝试、猜想、论证，极具挑战性和探索性.四、存在探究类开放型问题【例4】

已知向量m＝（2sinθ，sinθ＋cosθ），n＝（cosθ，－2－m），函数f（θ）＝m·n的最小值为g（m）（m∈R）.（1）当m＝1时，求g（m）的值；

点评

“存在”就是有，证明有或者可以找出一个即可.“不存在”就是没有，找不到.如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由，这类问题常用“肯定顺推”法.⁠1.已知函数f（x）为定义在R上的函数满足以下两个条件：①对于任意的实数x，y恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋1；②f（x）在R上单调递减.请写出满足条件的一个f（x）＝

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解析：由①②可设f（x）＝ax＋b（a＜0），由f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋1，可得a（x＋y）＋b＝ax＋b＋ay＋b＋1＝a（x＋y）＋2b＋1，化简可得b＝－1.故f（x）的解析式可为f（x）＝ax－1（