变化率问题（1）课件高二上学期数学人教A版选择性

引

入为了描述现实世界中的运动、变化现象,在数学中引入了函数.刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.在对函数的深入研究中,数学家创立了微积分,这是具有划时代意义的伟大创造,被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类科学问题直接相关.一、是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二、是求曲线的切线；三、是求函数的最大值与最小值；四、是求长度、面积、体积和重心等.引

入

牛顿（IsaacNewton，1643年－1727年），英国物理学家、数学家.在数学上，牛顿与莱布尼茨各自创立了微积分.并证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点.莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年－1716年），德国哲学家、数学家.在数学上,他独立创立了微积分，而且他所使用的微积分的数学符号被更广泛的使用,他还发现并完善了二进制.

历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分.引

入

导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法.导数的本质是什么？因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具.

在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想，通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义.物理瞬时速度是极短时间内的平均速度平均速度瞬时速度描述物体运动的快慢.粗略精确5.1.1变化率问题（1）第五章一元函数的导数及其应用2024/4/175.1导数的概率及其意义高二数学备课组引

入在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？引

入问题1

高台跳水运动员的速度探究新知探究在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢?问题1

高台跳水运动员的速度把整个运动时间段分成许多小段用运动员在每段时间内的平均速度

近似地描述他的运动状态hto探究新知

1.平均速度例题讲解探究新知探究新知

计算运动员在

这段时间里的平均速度思考：(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?显然，运动员在这段时间内平均速度是0m/s，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态.为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneousvelocity).2.瞬时速度思考：（1）瞬时速度与平均速度有什么关系？（2）你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？探究新知我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+Δt，Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0当∆t>0时，1十∆t在1之后，用运动员在时间段[1,1十∆t]内的平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬时速度；平均速度缩短时间段长度瞬时速度v(t0)探究新知Δt<0Δt>0-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001-0.0000010.000001-4.951-4.9951-4.99951-4.999951-4.9999951-5.049-5.0049-5.00049-5.000049-5.0000049思考：当Δt无限趋近于0时，平均速度

有什么变化趋势？无限趋近于-5给出Δt更多的值，计算探究新知数学中，我们把－5叫做“当△t无限趋近于0时，的极限”，记为思考：当Δt无限趋近于0时，平均速度

有什么变化趋势？无限趋近于-5从物理的角度看，当时间间隔|∆t|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t=1时的瞬时速度，

也就是说，当时间间隔|∆t|无限趋近于0时，平均速度在某一时刻t=t0的极限就是运动员在t=t0时的瞬时速度，即因此，运动员在t=1s时的瞬时速度v(1)=－5m/s.探究新知思考(1)求运动员在t=2s时的瞬时速度；

(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度?例题讲解探究新知（1）.求运动物体瞬时速度的3个步骤探究新知（2）.平均速度与瞬时速度的关系：①.平均速度：运动员在时间段[t0,t0＋Δt]内的平均速度为当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为②.瞬时速度：联系：两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值．平均速度是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关，

区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态．课堂练习1.求问题1中高台跳水运动员在t=0.5s时的瞬时速度.课本P61课堂练习2.火箭发射ts后，其高度(单位:m)为h(t)=0.9t2.求：(1)在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度；(2)发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度.课本P61课堂练习3.一个小球从5m的高处自由下落，其位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y(t)=－4.9t2.求t=1s时小球的瞬时速度.课本P62

对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx).这时，x的变化量为Δx＝(x0＋Δx)－x0；y的变化量为用Δy表示，探究新知其中∆y＝f(x0＋Δx)－f(x0).3.函数的平均变化率与瞬时变化率注：①x的变化量Δx≠0，但可正可负．②平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．③“Δx→0”的含义是Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.这里的极限思想就是无穷逼近思想．把平均变化率的极限，即

叫做瞬时变化率.例题讲解解：(1)因为f(x)＝3x2＋5，

所以从0.1到0.2的平均变化率为探究新知第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；（1）.求函数平均变化率的三个步骤（2）.求平均变化率的一个关注点练习：设函数f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为()

A.2.1B.1.1C.2D.0A课堂练习课堂练习×√×××√√课堂练习3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(

)

A．1B．－1

C．2D．－2√2．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝(

)A．f(x0＋Δx)

B．f(x0)＋Δx

C．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)√例题讲解√乙例题讲解例题讲解√课堂练习√1．函数y＝1在[2，2＋Δx]上的平均变化率是(

)A．0

B．1

C．2D．Δx2．已知一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其瞬时速度为(

)