2024年初三下册数学专项二次函数y=ax-h^2+k(a≠0)的图象与性质-巩固练习（基础）含答案

2024年初三下册数学专项二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题

1.抛物线的顶点坐标是（）A．(2，-3)B．(-2，3)C．(2，3)D．(-2，-3)2.函数y=x2+2x+1写成y=a(x－h)2+k的形式是（）A.y=(x－1)2+2 B.y=(x－1)2+C.y=(x－1)2－3 D.y=(x+2)2－13．抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是()A.y=(x+3)2－2B.y=(x－3)2+2C.y=(x－3)2－2 D.y=(x+3)2+24．把二次函数配方成顶点式为（）A． B．C． D．5．由二次函数，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线C．其最小值为1D．当时，y随x的增大而增大 6．（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）.A.B.C.D.二、填空题7.（2015•怀化）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为，对称轴是直线．8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是______.9．抛物线y=－3(2x2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为．11．将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是_______．12．抛物线的顶点为C，已知的图象经过点C，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．三、解答题13．已知抛物线的顶点（-1，-2），且图象经过（1，10），求抛物线的解析式．14.已知抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线；（1）求出a，h，k的值；（2）在同一直角坐标系中，画出与的图象；（3）观察的图象，当________时，y随x的增大而增大；当________时，函数y有最________值，最________值是________；（4）观察的图象，你能说出对于一切的值，函数y的取值范围吗？15．（2015•珠海）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．【答案与解析】一、选择题

1.【答案】D；【解析】由顶点式可求顶点，由得，此时，．2.【答案】D；【解析】通过配方即可得到结论.3.【答案】A；【解析】抛物线y=x2向左平移3个单位得到y=(x+3)2，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y=(x+3)2－2.4.【答案】B；【解析】通过配方即可得到结论.5.【答案】C；【解析】可画草图进行判断.6.【答案】D；【解析】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选D．二、填空题7．【答案】（﹣1，﹣1）；x=﹣1；【解析】∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，∴二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．8．【答案】x≥－1；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y随x的增大而减小，故x≥－1.9．【答案】向下，y轴；10．【答案】；【解析】设过点（1，－14）得，所以.11．【答案】；【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解.12．【答案】1；【解析】C(2，-6)，可求与x轴交于，与y轴交于(0，3)，∴.三、解答题13.【答案与解析】∵抛物线的顶点为（-1，-2），∴设其解析式为，又图象经过点（1，10），∴，∴，∴解析式为．14.【答案与解析】（1）由向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是．∴，，．（2）函数与的图象如图所示．（3）观察的图象，当时，随x的增大而增大；当时，函数有最大值，最大值是．（4）由图象知，对于一切的值，总有函数值．15.【答案与解析】（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，∴2a+b=0；（2）解：∵ax2+bx﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b﹣8=0，∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∴16a﹣8a﹣8=0，解得：a=1，则b=﹣2，∴ax2+bx﹣8=0为：x2﹣2x﹣8=0，则（x﹣4）（x+2）=0，解得：x1=4，x2=﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系；2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数与函数的图象与性质1.函数的图象与性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2.函数的图象与性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）【典型例题】类型一、二次函数图象及性质1．将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式．(1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位；(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；(3)以x轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．【答案与解析】抛物线的顶点为(1，3)．(1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变，所以a＝2，得到抛物线解析式为．(2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则，所得抛物线解析式为．(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于x轴对称，故新顶点应为(1，-3)．又∵抛物线开口反向，∴．故所得抛物线解析式为．【总结升华】当抛物线的形状确定以后，其位置完全决定于顶点，方向决定于a的符号，故可利用移动后的顶点坐标与开口方向求移动后的抛物线的解析式．举一反三：【高清课程名称：函数与函数的图象与性质高清ID号：391919关联的位置名称（播放点名称）：练习2】【变式】将抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为．【答案】.2．（2014•荆州）将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.【答案与解析】解：y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x﹣4）2﹣2．【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．举一反三：【高清课程名称：函数与函数的图象与性质高清ID号：391919关联的位置名称（播放点名称）：练习2】【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的．【答案】上；右.类型二、二次函数性质的综合应用3．（2014秋•安顺期末）二次函数y1=a（x﹣2）2的图象与直线y2交于A（0，﹣1），B（2，0）两点．（1）确定二次函数与直线AB的解析式．（2）如图，分别确定当y1＜y2，y1=y2，y1＞y2时，自变量x的取值范围．【答案与解析】解：（1）把A（0，﹣1）代入y1=a（x﹣2）2，得：﹣1=4a，即a=﹣，∴二次函数解析式为y1=﹣（x﹣2）2=﹣a2+a﹣1；设直线AB解析式为y=kx+b，把A（0，﹣1），B（2，0）代入得：，解得：k=，b=﹣1，则直线AB解析式为y=x﹣1；（2）根据图象得：当y1＜y2时，x的范围为x＜0或x＞2；y1=y2时，x=0或x=2，y1＞y2时，0＜x＜2．【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．4．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：，，．（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．【答案与解析】（1）列表：…-3-2-10123……202…描点、连线，可得抛物线．将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）．抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．【总结升华】先用描点法画出的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题．规律总结：．二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题

1.不论m取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都()A.在y=x直线上B.在直线y=－x上C.在x轴上 D.在y轴上2．二次函数的最小值是()．A．-2B．2C．-lD．13．如图所示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是()．A．B．C．D．，第3题第5题4．（2014•牡丹江）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（）．A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，7） 5．如图所示，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是()．A．B．C．D．6．若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（）A．=lB．>lC．≥lD．≤l二、填空题7．（2015•巴中模拟）抛物线y=x2+2x+7的开口向，对称轴是，顶点是．8．若点A（３，－４)在函数的图象上，则__.这个抛物线的对称轴是；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是．9．如果把抛物线向上平移－３个单位，再向右平移３个单位长度后得到抛物线，则求的值为；的值为.10．请写出一个二次函数，图象顶点为(-1，2)，且不论x取何值，函数值y恒为正数．则此二次函数为________．11．若二次函数中的x取值为2≤x≤5，则该函数的最大值为；最小值为．12．已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_____.三、解答题13．抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．14.（2014秋•湘西州期末）已知二次函数y=﹣x2+2（m﹣1）x+2m﹣m2的图象关于y轴对称，其顶点为A，与x轴两交点为B、C．（1）求B、C两点的坐标．（2）求△ABC的面积．15．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？【答案与解析】一、选择题

1.【答案】B；【解析】抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点为（-m,m）,所以顶点在直线y=－x上.2.【答案】B；【解析】当时，二次函数有最小值为2．3.【答案】B；【解析】由两抛物线对称轴相同可知，且由图象知，，．4.【答案】B；【解析】抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3），所以平移后抛物线解析式为y=x2+3，所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．故选：B．5.【答案】C；【解析】由顶点坐标P(1，3)知抛物线的对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小．6.【答案】C；【解析】画出草图进行分析得出结论.二、填空题7．【答案】上，x=﹣1，（﹣1，6）．【解析】∵y=x2+2x+7，而a=1＞0，∴开口方向向上，∵y=y=x2+2x+7=（x2+2x+1）+6=（x+1）2+6，∴对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，6）．8．【答案】５或１；直线x=5或直线x=1；或（－１，－４）；【解析】因为点A（３，－４)在函数的图象上，所以把点A（３，－４)代入函数得或；对称轴是直线x=5或直线x=1；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是或（－１，－４）.9．【答案】，；【解析】抛物线向上平移－３个单位得到，再向右平移３个单位长度得到，即与相同，故，.10．【答案】等；【解析】答案不唯一，只要抛物线开口向上即可，即，所以或等均可．11．【答案】50；5.【解析】由于函数的顶点坐标为(1，2)，，当时，y随x的增大而增大，当x＝5时，函数在2≤x≤5范围内的最大值为50；当x＝2时，函数的最小值为．12．【答案】；【解析】把代入y=x2+x+b2得，，，代入即可求得.三、解答题13.【答案与解析】∵抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A(2，0)，B(0，12)，∴S△AOB=12，△AOB的周长为14十．14.【答案与解析】解：由二次函数y=﹣x2+2（m﹣1）x+2m﹣m2的图象关于y轴对称，得m﹣1=0．解得m=1．函数解析式为y=﹣x2+1，当y=0时，﹣x2+1=0．解得x1=﹣1，x2=1，即B（﹣1，0），C（1，0）；（2）当x=0时，y=1，即A（0，1），S△ABC=×2×1=1．15.【答案与解析】（1）连接ME，设MN交BE交于P，根据题意得MB=ME，MN⊥BE．过N作NF⊥AB于F，在Rt△MBP和Rt△MNF中，∠MBP+∠BMN=90°，∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF，又AB=FN，Rt△EBA≌Rt△MNF，MF=AE=x．在Rt△AME中，由勾股定理得ME2=AE2+AM2，所以MB2=x2+AM2，即（2-AM）2=x2+AM2，解得AM=1-x2．所以四边形ADNM的面积S=×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-x2）+x=-x2+x+2．即所求关系式为S=-x2+x+2．（2）S=-x2+x+2=-（x2-2x+1）+=-（x-1）2+．当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，此时最大值是．二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系；2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数与函数的图象与性质1.函数的图象与性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2.函数的图象与性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）【典型例题】类型一、二次函数图象及性质1.已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a、h、k的值；(2)在同一坐标系中，画出与的图象；(3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?【答案与解析】(1)∵抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是，∴，，．(2)函数与的图象如图所示．(3)观察的图象知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x增大而减小，当x＝1时，函数y有最大值是2．(4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2．【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题．举一反三：【高清课程名称：《二次函数》专题第二讲：函数与函数的图象与性质高清ID号：391919关联的位置名称（播放点名称）：练习3】【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．（1）试确定a、h、k的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1,顶点坐标为（1，-5），当x≥1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大.2.已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D；【解析】函数的图象如图：，根据图象知道当y=3时，对应成立的x恰好有三个，∴k=3．故选D．【总结升华】此题主要考查了利用二