2022年北京初二（上）期末数学试卷汇编：分式的运算及其应用

第1页/共1页2022北京初二（上）期末数学汇编分式的运算及其应用一、单选题1．（2022·北京通州·八年级期末）八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（

）A． B． C． D．2．（2022·北京丰台·八年级期末）在物联网时代的所有芯片中，nm芯片正在成为需求的焦点.已知即纳米，是长度的度量单位，=．将用科学记数法表示正确的是（

）A． B． C． D．3．（2022·北京东城·八年级期末）肥皂属于碱性，碱性会破坏细菌的内部结构，对去除细菌有很强的效果，用肥皂洗手对预防传染疾病起到很重要的作用．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007m，将数字0.0000007用科学记数法表示应为（

）A． B． C． D．4．（2022·北京海淀·八年级期末）2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息.将数字0.000003用科学记数法表示应为（）A． B． C． D．二、填空题5．（2022·北京丰台·八年级期末）当时，式子的值为________．6．（2022·北京大兴·八年级期末）若，且，则分式中的值为______．7．（2022·北京东城·八年级期末）___．三、解答题8．（2022·北京西城·八年级期末）观察下列等式：①；②；③；④；……根据上述规律回答下列问题：(1)第⑤个等式是；(2)第个等式是（用含的式子表示，为正整数）．9．（2022·北京东城·八年级期末）列方程解应用题：2021年9月23日，我国迎来第四个中国农民丰收节．在庆祝活动中记者了解到：某种粮大户2020年所种粮食总产量约150吨．在强农惠农富农政策的支持下，2021年该农户种粮积极性不断提高，他不仅扩大耕地面积，而且亩产量也大幅提高，因此取得大丰收．已知他2021年比2020年增加20亩耕地，亩产量是2020年的1.2倍，总产量约216吨，那么2020年该农户所种粮食的亩产量约为多少吨？10．（2022·北京东城·八年级期末）解分式方程：．11．（2022·北京丰台·八年级期末）北京市以年冬奥会和冬残奥会为契机，大力提升城市服务保障能力，在永定河沿岸，紧邻北京冬奥组委和首钢滑雪大跳台建成冬奥公园．冬奥公园最大的亮点是拥有一条长全封闭的马拉松跑道．马拉松线路设计很有创意，分为智慧跑、公园跑、滨水跑和堤上跑．小明先进行了智慧跑，接着进行了堤上跑，共用时分钟．已知小明在堤上跑路段的平均速度是他在智慧跑路段的平均速度的倍，求小明在进行智慧跑和堤上跑时的平均速度．12．（2022·北京西城·八年级期末）（1）如果，那么m的值是，n的值是；（2）如果，①求的值；②求的值．13．（2022·北京西城·八年级期末）解方程：．14．（2022·北京顺义·八年级期末）列方程解应用题：某市为了缓解交通拥堵现象，决定修建一条轻轨铁路的延长线，为使该延长线工程比原计划提前1个月完成，在保证质量的前提下，必须把工作效率提高10%．问原计划完成这项工程需要用多少个月？15．（2022·北京延庆·八年级期末）列方程解应用题：第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口市联合举行．北京冬奥会的配套设施“京张高铁”——北京至张家口高速铁路，已经全线通车，全长约175千米．原京张铁路是1909年由“中国铁路之父”詹天佑主持设计建造的中国第一条干线铁路，全长约210千米，用“人”字形铁轨铺筑的方式解决了火车上山的问题．京张高铁的平均速度是原京张铁路的5倍，可以提前5小时到达，求京张高铁的平均速度．16．（2022·北京朝阳·八年级期末）阅读材料：对于两个实数a，b大小的比较，有如下规律：若a-b＞0，则a＞b；若a-b=0，则a=b；若a-b＜0，则a＜b.反过来也成立．解决问题：(1)已知实数x,则（填“＜”，“=”或“＞”）；(2)甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲用一半时间以每小时xkm的速度行走，另一半时间以每小时ykm的速度行走；乙以每小时xkm的速度行走一半路程，另一半路程以每小时ykm的速度行走.若x≠y，判断谁先到达B地，并说明理由．下面是小明参考上面的规律解决问题的过程，请补充完整：（1）（填“＜”，“=”或“＞”）；（2）先到达B地的是．说明：设甲从A地到B地用2th，则A，B两地的路程为（x+y）tkm，乙从A地到B地用h．17．（2022·北京朝阳·八年级期末）人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业.某物流园区利用A，B两种自主移动机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？18．（2022·北京门头沟·八年级期末）列方程解应用题：第24届冬奥会将于2022年2月在中国北京和张家口举行．为了迎接冬奥会，某公司接到制作12000件冬奥会纪念品的订单．为了尽快完成任务，该公司实际每天制作纪念品的件数是原计划每天制作纪念品件数的1.2倍，结果提前10天完成任务，求原计划每天制作多少件冬奥会纪念品？19．（2022·北京门头沟·八年级期末）已知，求代数式的值．20．（2022·北京石景山·八年级期末）列方程解应用题．某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？21．（2022·北京石景山·八年级期末）解分式方程：．22．（2022·北京房山·八年级期末）为了营造“创建文明城区、共享绿色家园”的良好氛围，房山某社区计划购买甲、乙两种树苗进行社区绿化，已知用1200元购买甲种树苗与用1000元购买乙种树苗的棵树相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少20元，问甲种树苗每棵多少元？23．（2022·北京平谷·八年级期末）我们已经学过如果关于x的分式方程满足（a，b分别为非零整数），且方程的两个跟分别为．我们称这样的方程为“十字方程”．例如：

可化为

∴再如：

可化为

∴应用上面的结论解答下列问题：（1）“十字方程”，则，；（2）“十字方程”的两个解分别为，求的值；（3）关于的“十字方程”的两个解分别为，求的值．24．（2022·北京海淀·八年级期末）在分式中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b（当N为常数时，），则称分式为次分式．例如，为三次分式．（1）请写出一个只含有字母的二次分式_________；（2）已知，（其中m，n为常数）．①若，，则，，，中，化简后是二次分式的为________；②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求的值．25．（2022·北京海淀·八年级期末）已知，求代数式的值．26．（2022·北京大兴·八年级期末）计算：．27．（2022·北京怀柔·八年级期末）计算：()÷[(6x+4)÷x]．28．（2022·北京昌平·八年级期末）列方程解应用题：同学们在计算机课上学打字．张帆比王凯每分钟多录入20个字，张帆录入300个字与王凯录入200个字的时间相同．问王凯每分钟录入多少个字．29．（2022·北京海淀·八年级期末）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？30．（2022·北京延庆·八年级期末）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：老师发现这两位同学的解答过程都有错误.请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正.（1）我选择哪位同学的解答过程进行分析.（填“甲”或“乙”）（2）该同学的解答从第几步开始出现错误（填序号），错误的原因是什么.（3）请写出正确解答过程.

参考答案1．C【分析】根据汽车的速度是骑车学生速度的2倍，得汽车的速度为2xkm/h，由一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达列得方程．【详解】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，可列方程为，故选：C．【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意确定题目中的等量关系是解题的关键，注意单位应统一，20min为．2．A【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解:==故选：A【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此即可得到答案.【详解】解：0.0000007=7×10−7.故选C

.【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1⩽|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．B【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，其中1≤<10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】故选：B．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法一般形式为a×10n，其中1≤<10，确定a和n的值是解题关键．5．-1【分析】先将原式括号内通分计算，再将两因式分子、分母因式分解，约分后代入求值即可．【详解】解：====∵∴∴原式=1-2=-1故答案为：-1．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．6．2【分析】直接利用已知代入分式化简得出答案．【详解】解：∵a−3b＝0，且a≠0，∴a＝3b，则分式＝＝＝2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了分式化简求值，正确对式子进行变形，化简求值是解决本题的关键．在解题过程中要注意思考已知条件的作用．7．4【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．【详解】解：4故答案为：4．【点睛】本题考查了负整数指数幂的知识，属于基础题，掌握其运算法则是解题关键．8．(1)(2)【分析】（1）观察前4个等式可以得出等式左边第1个减数的分母是被减数的2倍减1，第2个减数的分母是被减数分母的2倍，右边的分母是等式左边第1个减数与第2个减数的分母乘积，且结果为负数，由此可得结论；（2）由（1）可得结论．(1)第⑤个等式是：，故答案为：；(2)由（1）以及所给等式可以得出，第n个等式为：，故答案为：【点睛】本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．学生很容易发现各部分的变化规律．9．约为1.5吨【分析】设2020年所种粮食的亩产量约为x吨，则2021年所种粮食的亩产量约为1.2x吨，根据“2021年比2020年增加20亩耕地”列出方程即可．【详解】解：设2020年所种粮食的亩产量约为x吨，则2021年所种粮食的亩产量约为1.2x吨由题意，得．解得．经检验，是原分式方程的解，且符合实际．答：2020年该农户所种粮食的亩产量约为1.5吨．【点睛】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式方程要检验．10．【分析】观察可得最简公分母是（x−5），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：去分母，得．化简，得．解得．检验：把代入最简公分母．所以是原分式方程的解．【点睛】此题考查了分式方程的求解方法．注意掌握转化思想的应用，注意分式方程需检验．11．小明进行智慧跑的平均速度为7km/h，进行堤上跑的平均速度为10.5km/h．【分析】设小明进行智慧跑的平均速度为km/h，则小明进行堤上跑的平均速度为km/h.根据题意，列出分式方程，解方程求解即可，注意要检验【详解】设小明进行智慧跑的平均速度为km/h，则小明进行堤上跑的平均速度为km/h.根据题意，列出方程：．解方程，得．经检验，是原方程的解且符合实际意义．∴．答：小明进行智慧跑的平均速度为7km/h，进行堤上跑的平均速度为10.5km/h．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．12．（1）-1，-6；（2）①；②13【分析】（1）把左边利用多项式与多形式的乘法法则化简后，与右边比较即可求出m和n的值；（2）把左边利用多项式与多形式的乘法法则化简后，与右边比较求出a+b=-2，ab=；①利用多项式与多形式的乘法法则化简后，把a+b=-2，ab=代入计算；②先通分，再根据完全平方公式把分子变形，然后把a+b=-2，ab=代入计算；【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴m=-1，n=-6，故答案为：-1，-6；（2）∵，∴，∴，∴a+b=-2，ab=；①=ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4=-2×(-2)+4=；②=====13．【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法计算，完全平方公式的变形求值，分式的加减，熟练掌握完全平方公式和分式的加减运算法则是解答本题的关键．13．【分析】先给方程两边乘以（x+1）(x－1)，将分式方程化为整式方程，然后解方程即可解答．【详解】解：给方程两边乘以（x+1）(x－1)，得：，，，解得：，经检验，是原方程的解．【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验．14．【分析】设原计划完成这项工程需要用个月，则原计划的效率为实际的效率为再根据实际的效率比原计划的效率提高10%，再列方程，解方程即可.【详解】解：设原计划完成这项工程需要用个月，则整理得：解得：经检验：符合题意；答：原计划完成这项工程需要用个月.【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握“利用分式方程解决工程问题”是解本题的关键.15．京张高铁的平均速度为175km/h．【分析】设原京张铁路的平均速度为xkm/h，则新京张高铁的平均速度是5xkm/h，根据时间差为5h列出方程并解答．【详解】解：设原京张铁路的平均速度为xkm/h，则新京张高铁的平均速度是5xkm/h，依题意得：，解得x=35．经检验，x=35是所列方程的根，并符合题意．所以，km/h答：京张高铁的平均速度为175km/h．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．16．(1)＜(2)甲【分析】（1）通过阅读材料，可以通过做差法进行大小比较，对两边的式子进行做差比较；（2）根据题意，可以用甲所用的时间与乙所用的时间做差，进行比较．(1)故应填“＜”(2)

∵x≠y，∴∵x＞0，y＞0，t＞0，∴∴

所以甲先到达B地．【点睛】本题考查的是通过阅读材料，总结出可以通过做差的方法进行比较大小，理解并熟练掌握做差法比较大小是解本题的关键．17．A型机器人每小时搬运150kg化工原料，B型机器人每小时搬运120kg化工原料【分析】设B型机器人每小时搬运xkg化工原料，则A，B两种自主移动机器人完成各自工作的工作时间为小时，小时，再利用时间相等建立方程，再解方程即可.【详解】解：设B型机器人每小时搬运xkg化工原料．

根据题意，得.

解得

经检验，是原分式方程的解，且符合题意.

答：A型机器人每小时搬运150kg化工原料，B型机器人每小时搬运120kg化工原料.【点睛】本题考查的是分式方程的应用，准确的表示A，B两种自主移动机器人搬运化工原料的工作时间是解本题的关键.18．200件【分析】设原来每天制作x件，根据原来用的时间−现在用的时间＝10，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．【详解】解：设原计划每天制作x件冬奥会纪念品，则实际每天制作1.2x件冬奥会纪念品．根据题意，得：．解得：．经检验，是原方程的解，且符合题意．答：原计划每天制作200件冬奥会纪念品．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．19．5【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，进而根据分式的性质进行化简，最后根据已知式子的值，整体代入求值即可．【详解】解：，，，，，．当时，，∴原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的性质以及因式分解是解题的关键．20．30米【分析】设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，利用工作时间工作总量工作效率，结合共用22天完成了任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，依题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意．答：引进新设备前工程队每天建造道路30米．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．21．【分析】此题只需按照求分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后进行检验即可．【详解】解：去分母得，去括号得，移项得，合并得，系数化为1，得：经检验，是原方程的解，∴原方程的解是：【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．22．甲种树苗每棵120元【分析】设甲种树苗每棵x元，根据题意列出分式方程，故可求解．【详解】解：设甲种树苗每棵x元．依题意列方程：，解得：经检验是所列方程的解且符合题意，答：甲种树苗每棵120元．【点睛】此题主要考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列出方程求解．23．（1）－2，－4；（2）；（3）【分析】（1）按照“十字方程”的解法解方程即可；（2）根据“十字方程”的解法求出，，代入求值即可；（3）把方程转化为，求出方程的解，代入计算即可．【详解】（1）可化为，∴－2，－4；

故答案为：－2，－4；（2）解：∵∴∴∴，∴（3）解：∵为关于x的“十字方程”∴∴∴或∵∴或∴【点睛】本题考查了分式方程的特殊解法，解题关键是理解题意，按照题目中的方法进行求解．24．（1）（不唯一）；（2）①，；②或【分析】（1）理解新定义，直接根据作答即可；（2）①把，代入计算，化简后根据新定义进行判断即可；②先求解根据和为一次分式且分母的次数为1，可得分子是一次多项式，且含有或的因式，从而可列方程再解方程求解的值，于是可得答案.【详解】解：（1）根据定义可得：这个二次分式为：（不唯一）（2）①，，，，化简后是二次分式；所以不是二次分式；所以不是二次分式；所以是二次分式；②，，A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，且或且解得：或

或【点睛】本题考查的是分式的加减法，乘法以及乘方运算，新定义运算，理解新定义，按照新定义的规定进行判断是解本题的关键.25．1【分析】先化简分式得到原式，再将代入即可得到结果．【详解】解：，∵，∴，∴原式=1．【点睛】本题考查了分式的化简求值：先进行分式的乘除运算（把分子或分母因式分解，约分），再进行分式的加减运算（即通分），然后把字母的值代入(或整体代入)进行计算．26．a+1【分析】根据分式的除法法则和减法，先计算除法、后计算减法即可.【详解】解：