切线长定理课件北师大版数学九年级下册2

3.7切线长定理九年级下

北师版1.证明并探索切线长定理.2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.学习目标重点难点前面我们已经学习了切线的判定和性质，现知⊙O和⊙O外一点P.1.你能够过点P画出⊙O的切线吗？2.将这个图形沿着OP折叠，你能发现哪些边和角的数量关系？新课引入一

切线长的定义切线长的定义：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长．思考切线长和切线的区别和联系？POAB新知学习1.切线是直线，不能度量.2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．

如图，PA、PB

是⊙O的两条切线，A，B

是切点.（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？是轴对称图形，对称轴是直线OP.二

切线长定理OPAB（2）图中的PA与PB，∠APO=∠BPO有什么关系？PA=PB,∠APO=∠BPO探究如图，连接OA和OB.∵PA和PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又OA=OB,OP=OP.∴Rt△AOP≌

Rt△BOP.∴PA=PB,∠APO=∠BPO.POAB由此得到切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.PA、PB分别切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB几何语言:归纳例1 观察五粮液酒厂东大门的标志，我们从中得到了下图所示的数学图形，已知

AP，BP

分别与

⊙O相切与A、B两点，切线长

AP=1m，点

O

到点

P

的距离是2m.(1)BP=________；(2)⊙O的半径r=__________；(3)连接

OP，则∠OPA=__________°；(4)∠APB=__________°；(5)连接

AB，AB=__________.OABP1m60120mm如图，四边形ABCD

的四条边都与⊙O

相切，图中的线段之间有哪些等量关系？ABOCDEFGH结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.即AD＋BC＝AB＋CD.探究例2 PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.BPOACED（1）写出图中所有的垂直关系；OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.（2）写出图中与∠OAC相等的角；∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.（3）写出图中所有的全等三角形；△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.（4）写出图中所有的等腰三角形.△ABP

、△AOBBPOACED例3

如图，在Rt△ABC中，

∠C=90°，AC=10，BC=24，⊙O

是△ABC

的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O

的半径.解：连接OD，OE，OF，则OD=OE=OF,设OD=r.在△ABC中，AC=10,BC=24，∴AB

==26.分析：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.∵⊙O分别与AB，BC,AC相切于点D，E，F，∴OD⊥AB，OE⊥BC,OF⊥AC，BD=BE，AD=AF，CE=CF.又∵∠C=90°,

∴四边形OECF为正方形.∴CE=CF=r.∴BE=24-r,

AF=10-r.∴AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r.而AB=26,∴34-2r=26.∴r=4,

即

⊙O

的半径为4.归纳（3）连接圆心和圆外一点.（2）连接两切点；（1）分别连接圆心和切点；切线长问题辅助线添加方法1.下列说法正确的是(

)A．过任意一点总可以作圆的两条切线B．圆的切线长就是圆的切线的长度C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径C针对训练BPOA2.PA、PB是☉O的两条切线，A，B是切点，OA=3.（1）若AP=4，则OP=

；（2）若∠BPA=60°，则OP=

.563.△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.解:设AF=xcm，则AE=xcm.∴CE=CD=AC-AE=(9-x)cm，

BF=BD=AB-AF=(13-x)cm.ACBEDFO由BD+CD=BC，可得

(13-x)+(9-x)=14，∴AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.解得

x=4.ACBEDFO随堂练习1.如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，点E是BC边上一点，以AB为直径的半圆切DE于点F，则BE的长为_______2.如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，过点A，B的切线PM，PN交于圆外一点P，若∠C=135°，