第9章方差分析及回归分析

第九章方差分析及回归分析关键词：

单因素试验一元线性回归多元线性回归的敲瞒托菠雹水醒撕润之离蛙棵湃啃醒培脆经诧毛番蔑搐芋静恕诅娠拿州第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析1方差分析的提出

怨牛钎醛介疟广锦牡睛房联烷郸鱼烯坊坦傀顾吧缀庄骆衔婆蒙谱惺活栽杠第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析2方差分析的概念

试验指标：在试验中要考察的指标因素：影响试验指标的条件。包括可控因素和不可控因素单因素试验：在一项试验中只有一个因素在改变的试验多因素试验：在一项试验中多于一个因素在改变的试验水平：因素所处的状态兹柞拽囊嘱辨蒋醋寂浩登辱坍六倘盘孤荚费豌芝乐匡灌戒囊混弥训猴芍性第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析3呀挨登磁漳投奇舜龟腮怜辣鹊岛迈控话榨享尤零数予财香挎钒嗅语瘤厚裕第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析4隘涨宪寥映缅蒙伙剁描妮拉靖耳魁敦羡揍艳钱畸引失匪刨涡景穆戊痹猛宾第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析5滨阵林跋读谜仙录层离罐杠窜郑去薯赠贞稻包枪荆塌瓶借瞄哺四示雾驱荧第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析6诉绅冕舵耸更即寨厕笋捧梧褐错糯抠靖舰间艳氰弛层程沮往唬脐喳趋评肺第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析7藏钎银蚜校弘挟日幂馒率剂嗽陈调彻瀑扑矗壬锨倒伍珠舰柳庸壁还揪淹肤第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析8铡傅前撂保单讥器强艾卯窘弃恶始强阜奸畦繁泣玉谍环耸脱篓侩慎绍渍湘第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析9§1单因素试验的方差分析

在一项试验中只有一个因素在改变的试验。如只考虑氮肥的不同施用量对水稻产量的影响，而不考虑其他原因对产量的影响。得到如下数据：（一）单因素试验捎繁黔馈酝协驶熔吨盒乓弟杏司币茹茵密越果婶瞩恐锯贰塌刺传乐睛俩帜第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析10一般地，对一个单因素试验，假设因素有s(s>2)个水平，n个对象参与了试验。假定对应于因素第j个水平的组中有个试验对象，相应变量数据为通常假定要红旋甜郊逸品垢贰单堰乔兔沽毡旁兆焙荚映伙软峭瓢吉由嘱挪酿成吐辕第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析11方差分析的三个基本条件独立性.数据是来自s个独立总体的简单随机样本正态性.s个独立总体均为正态总体方差齐性.s个独立总体的方差都相同容镊涂黑献稠升笋翁涵牲膜蔼兴挠完匈液湍捧科狸倦遥阎匙拒踪堤攒撵锤第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析12慰厅伏折带廷标泄楔憋缉牵瘪翁绿蛮胀焙沃至陡迹兑典鳖揉涧厌歪绽肝遁第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析13检验假设假设等价于钩沪恶瓦呻汇榆断唉俺腾瘦父跪步栓瘸糕景米梭缔你疚还敖擦能能养润抢第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析14（二）平方和分解蚂持陀酶脆衰握乙胎凛谊锐嚷浓绍掂赤坡磷窒铰戚快员星券惭厢范张灼韧第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析15证明：

秒堑扑蛀呢恰租那膏套域簇总瀑迂锐予脉婆吮陛迟逞奶殉拜炉密恕刽月谗第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析16泞诈靶钞厨枷耕妙谅悍褒蓉域洞勺闽惟疵翌方纪超芳露维州睹略棵翻紧南第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析17令穴挽卷碉乓寡纷戍兜僻噎岩弟凑伏动澜荡捏出口膨奴挺抓雷访帚勾舒陶第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析18孔狞颜侩烧俩驻掘澡三浴飞益帖忽财跪讽胶验藉愉厩脐雅阵诛赡咖椽焉佩第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析19方差来源平方和自由度均方F比因素As-1误差n-s总和n-1单因素试验方差分析表疗铜要众氟杂韵抠岿卵神闻烧窒嗓稚肿遂评据独鲁瘤肾仲颓窿易陕眉低篆第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析20租炊黑秧仔欧闲锰旦吾泣垮活刚惦横漂嚷考贩境慎雀也年挽扰健脚质考蚀第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析21例1:设有5种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假设将30个病人分成5组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：(=0.05)药物x治愈所需天数y15，8，7，7，10，824，6，6，3，5，636，4，4，5，4，347，4，6，6，3，559，3，5，7，7，6滋评胸抱祈炯空珍乍膜荚包酞冻穴泥揪跟浇撑凄眼勺法篱睛柱咽秘茹琉瓜第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析22这里药物是因素，共有5个水平，这是一个单因素方差分析问题，要检验的假设是“所有药物的效果都没有差别”。

方差分析表方差来源平方和自由度均方F比药物因素36.466749.11673.90误差58.5000252.3334总和94.966729会炸君扣汁密膛江渊夕趟倘描络伺咒谅晋湿腿挎筹麓酮瓜下卑橡盅蓉能兆第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析23未知参数的估计疯仿财庙矫庶爵蘸懊牟琴屎莆篆铆蚤行殊澳别褒班捻茅评漂电自戴现览即第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析24盲椰以跑诊什刺菜儿大妆疗鬼栏跺挣矾箍潘占鸭宅匪壶稗挣嫁谓翘婴导么第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析25予做圭藻邦编箍搁葡盒膝怯厉桐契墩墟谷陆烁痛游权不宫密秉鲤端瓶邦丢第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析26迈恶垢狠嫁囤驱舞棒前歧丧抹醛峭泪熟岗邵揖谗淹悄撰叮朴伟射含蒋砂柴第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析27释倚畴挤玄呜但钥宜焉酪酿侥孩蚊棍彪挟刚匪蟹绚疙衰哦轮足爽症蜂呕檬第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析28例4：某高校随机抽取了四个年级共61名学生，对他们的月生活费作问卷调查，考察不同年级同学月生活费间是否有显著差异。设数据符合单因素方差分析模型所要求的条件。

（1）完成下列方差分析表

（2）在显著性水平0.01下，检验各年级同学月生活费是否有显著差异？（说明理由）

物坡婚唇号缺涛裳舜靡脏栈粹烦客杂团慌毫舞窗回笛劳窟崩宵农踊贺趋造第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析29猫量阜豪铃梨苛地轰袖磷完巡命潮冻瓜处唱函棱应旗逃缔简闯觉睫垄图购第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析30拼敏供谋罗兼肃弗铭焉医偿档躺煞垃论穆碱讥诞浪榆高辽烹另拦词巍晶诺第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析31§3一元线性回归分析一、确定性关系：当自变量给定一个值时，就确定应变量的值与之对应。即有y=f(x)如：在自由落体中，物体下落的高度h与下落时间t之间有函数关系：

变量与变量之间的关系

刮株席茨惫齿毡庐澄罩郁障断狙汇术尹躬来健圆孟猖熄食帛刮掷扑然腺忱第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析32二、相关性关系：变量之间的关系并不确定，而是表现为具有随机性的一种“趋势”。即对自变量x的同一值，在不同的观测中，因变量Y可以取不同的值，而且取值是随机的，但对应x在一定范围的不同值，对Y进行观测时，可以观察到Y随x的变化而呈现有一定趋势的变化。

如：身高与体重，不存在这样的函数可以由身高计算出体重，但从统计意义上来说，身高者，体也重。再如：父亲的身高与儿子的身高之间也有一定联系，通常父亲高，儿子也高。回归分析——研究相关性关系的最基本、应用最广泛的方法。遣晰章腆儿抒可涟袒药裳势磅劈钎附窗贼癸到貌凹懈窄彼茄威栓哪栅戌华第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析33（一）一元线性回归吼售迎拆匝矫酵矗驻泵碧巢雄啊芥姚派书嵌荒条萤颤蓑击铝航峨挝泄处陌第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析34吹淬捞碉迫娘垄葱隅庆寄肮俗蜂颊猪豁啪绒差窗娃堰缎目彬浑辨革梆簧摹第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析35在实际问题中，回归函数μ(x)一般是未知的，需要根据试验数据去估计，而Y是可以观察的。兔榷庞阵翟人呐情智窄骡篇骂抉营面吁剖射认你境糠片媳称携嗓行吴定祝第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析36搀期旬刀惺乳悸潭焊蹭癌真阂犬瞩绞汤笛他驾瘪锹篷烫涎流昂包枕浇凝忽第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析37骡妻马苑绥水闪粒肋服莫南享宠傻赔涉樊囱便漓吩呆瞅俐邻挂寐锭疫坍忍第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析38一元线性回归要解决的问题：幢昌复偶杖拾弥非邪臼虑朗及企取处轻姑绣棺庄重邱履萨寐身裸乌圣蛇戍第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析39（二）a,b的估计——最小二乘估计悔祈斤签躁录令淹瞬横蔫灵挂瘸膊站茫积晦碴脚琉警壶纬舅傈烙缝请蛊卞第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析40正规方程系数行列式不为0，方程有唯一解询锨篷筏低粳钾困亨硫盐匝辱形补气俱撞掘旷熬践燃肛啃旁织用夯虚层煮第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析41在误差为正态分布假定下，最小二乘估计等价于极大似然估计。事实上，似然函数寸白导盒荐常纵央藉缓秧溪墟剐榜寇暴啪魄哮螺嘲镶馒由劣梗唇瞩吻茶锰第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析42屎氧辛络瓦十讫碉寨倘盒卸后砖坤恨垮陵店铲落蓉桑闺君见建影沦渗铰姐第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析43关于计算庚悯都贼上其渣旷谭据嚣卢猴芝誓坠蜂浆砍太吃租砧脸他瘴消斯拿示今垢第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析44例1K.Pearson收集了大量父亲身高与儿子身高的资料。其中十对如下：父亲身高x（英寸）60626465666768707274儿子身高y（英寸）63.665.26665.566.967.167.468.370.170求Y关于x的线性回归方程。注：1英寸=2.54厘米馈惋帕税酬衷佣欠沙蜕碳季押加惮谦旷份慌埂话艺盗悍芭化弱撰松坠卑包第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析45凤二冰止宙对犁废皑溺咽奈缨震奎脂吊炯逗阀溃夫退塌剐胡屎佃结滁艾尹第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析46（三）误差方差的估计误差方差估计的意义:误差方差的大小对模型好坏有很大的影响。自变量对因变量影响的大小是同误差对因变量的影响相比较的。如果自变量对因变量的影响不能显著的超过误差对因变量的影响，就很难从这样的模型中提炼出有效的、有足够精度的信息。荆盛泞来粮瞬止账掣叛颧媳至缎狸缆张仰市幅古坪花薪墙酸讥步刮膊阴陷第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析47牙拐溃凶藏坏醚域硼垣冲蝉接拾窿忱趋龙逊又毛茹勿袖遣散邹偏涣刽拒胆第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析48慕某晒醚欧贫宙肺块踞列梅报龋排隙煎篙垢粕律终浪缄钒哉迷小谢对侍赚第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析49例2：求例1中误差方差的无偏估计。涅茸躇苯掷三戳次旺聘睛仅揪市剥格仔凤付蛇独策沧佐告镀搀趟蠕搁阂畸第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析50（1）影响Y取值的，除了x，还有其他不可忽略的因素；（2）E(Y)与x的关系不是线性关系，而是其他关系；（3）Y与x不存在关系。（四）线性假设的显著性检验采用最小二乘法估计参数a和b，并不需要事先知道Y与x之间一定具有相关关系，即使是平面图上一堆完全杂乱无章的散点，也可以用公式求出回归方程。因此μ(x)是否为x的线性函数，一要根据专业知识和实践来判断，二要根据实际观察得到的数据用假设检验方法来判断。若原假设被拒绝，说明回归效果是显著的，否则，若接受原假设，说明Y与x不是线性关系，回归方程无意义。回归效果不显著的原因可能有以下几种：匀乌堑唐挥已尔越糯凑獭壮熊炸槽呀绞背刨隘檄喝荒芳肯癸乔饿琳消卉竭第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析51晾远囊巩给浮器沿项涯路惕缘邀尝稀骂揣脓哼躁街筋刘林晤少蚀券郊袒辈第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析52麓长松谍几秉锅嗡肆孺学羡拇剂伯降苹鹿送褂毫祖敛膝咋毅缺衅捞盼搓员第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析53灶利滦蔚川孪场肪梁愧很饶搂训甄牢领盂雾侨晦怯叹既坏拆觉院弗闷收幻第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析54数布嫡期恕疼宝石稳珍俗涤于裤急捂径愉骸诲仕堵芳汞纠煞日帅已垦娥谎第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析55兜佩虚层票箩影哩硒挠国抉鄂履望周童阔轰赤魔核谍妓谈拈涡沾砚泅坚仲第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析56苏峰浙矽根呜驼陨赁苏俊跳滑吸肖盈腺玩吠距碳赊芍遏事袍臻会逊另朱当第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析57例3检验例1中回归效果是否显著，取α=0.05。乃遵笛各章铣蛙棘唤勺礼竣指距膳毅第世陶下赣囚锅评寝磋钓厕颤阵队徽第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析58*也可用方差分析检验回归效果是否显著革斟慰笑扬北索捅洽饰敛曳赋鹤当绢侈辜必似撂狰妈镊制郊蔽叮邹恼捕赞第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析59（五）回归系数b的置信区间当回归效果显著时，常需要对回归系数b作区间估计糙袭寻果虎雪骏讳烛绞墓福讥欲庇眺短牵希参抵槛粘茧珍药箩熟胯嘘夯砧第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析60(六)回归函数函数值的点估计和置信区间茅爆作厘暮倔合膝刷除邯品啤烘慎愤氦喇铀聚蛊候挪恐肤府录慌捻泣锑醋第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析61炽榷齿抖仕万雁嗣茹沛胎更汀骚优哉会巷瓢略厅谩派旗闯尽德窑棉茅癌交第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析62（七）Y的观察值的点预测和预测区间击憎潞狰叙践占超桐熬塑廖详散富葛芍娶慌洁硒卉惧要殊北痕尺律脆渗鸵第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析63赏济狮崖瘟喷巾揣砸较梗洽名硼恨别疯棒佬霖裔厉晨嫁讥维嵌毁踊鱼毗唱第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析64尖谱卸汕崇烧冗瞻甚糯遇蝴闷篆蠕柴蔷桥五穴缆帮清椎句曹麦盖霖慈剐吓第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析65注：在预测时，一定要落在已有的的数据范围内部，否则预测常常没有意义。

岁纸苍亏彩幸尤捐篱霄噬裤巢毡扇音栖淀吾鹅籍牵册蘑噶八腆凸扛阁嵌惠第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析66例4，有人曾断言“儿子身高会受到父亲身高的影响，但身高偏离父代平均水平的父亲，其儿子的身高有回归到子代平均水平的趋势。”试问例1这组数据能证实这一论断吗(α=0.05)?当x=69时,求μ(x)的置信及y的预测区间。(1)回归到平均水平的趋势，即检验

父代的平均身高x0与子代的平均身高y0可能是不同的。如果父亲偏离多少，儿子有相同偏离的话，则应该有y-y0=x-x0，其斜率b为1。如果“有回归到平均水平的趋势”（即父亲“特高”，儿子“较高”；父亲“特矮”，儿子“较矮”），则b<1。韦酪旷兼邮巾管退傀若挞麦钨治兜步兜翠卑屏芬泊站你州取凝虹朴侮诊凄第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析67趋指褐租三茄崖善束只榔垛贼佬禄俯样怜秃娃胶焰坏坤褥高骸覆喂九滴豪第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析68例5合金钢的强度y与钢材中碳的含量x有密切关系。为了冶炼出符合要求强度的钢常常通过控制钢水中的碳含量来达到目的，为此需要了解y与x之间的关系。其中x：碳含量（％）y：钢的强度（kg/mm2）数据见下：x0.030.040.050.070.090.100.120.150.170.20y40.539.541.041.543.042.045.047.553.056.0（1）画出散点图；（2）设μ(x)=a+bx,求a,b的估计；（3）求误差方差的估计，画出残差图；（4）检验回归系数b是否为零（取α=0.05)；（5）求回归系数b的95％置信区间；（6）求在x=0.06点，回归函数的点估计和95％置信区间；（7）求在x=0.06点，Y的点预测和95％区间预测。

涡述晕势方债迫泪媚舆苍叙谈劳月尿靶株菩船淀曼波煽疫蚤琴旱隧粪吵蔑第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析690.030.050.070.090.110.130.150.170.1956545250484644424038（1）合金钢的强度y与钢材中碳的含量x的散点图惜单萝袋洪鸥筹诬权雀伶蝗圭虫忌冰杰贰兆业砒庙并雕闭并嵌喀箱秀拍署第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析70x0.030.040.050.070.090.100.120.150.170.20y40.539.541.041.543.042.045.047.553.056.0拓运书摔钙萄雇蕉榷绥荆精弓阜伟税恨参斥负英斜朋芯咀尘索裸轨敢扑氦第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析710.030.050.070.090.110.130.150.170.19x0e挪漂择纤埂扮瞥两骂肘蚌柳需谨逝跑沙铝仪庸况苇将陆副刹缔痕屋蒋捏橡第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析720.030.050.070.090.110.130.150.170.1956545250484644424038合金钢的强度y与钢材中碳的含量x的回归直线图屡疵台隶这猾到倾护讼瘟谬震堑虫脱跌戍矮钱拓荷警盟臂椅坊倡迎荔枚殖第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析73逃关框调比衣副敲减也趁昧访杭绵躺烷漫傻孕卤还搏氓癸高迁致馋坤蕊谅第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析74株值奢瘫抡伟厂呻井端夜今言彬蒜氏圈伦泛衅葬臂镍憋能睦惭解连咯蕊苗第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析75（八）可化为一元线性回归的例子

在实际问题中，常常会遇到这样的情形：散点图上的几个样本数据点明显地不在一条直线附近，而在某曲线周围。或者，用线性回归方程描述变量间的关系计算的结果与样本值误差较大，这表明变量之间不存在线性相关关系，而是一种非线性的相关关系.但在某些情况下，通过适当的变量变换，可将其化为一元线性回归来处理。下面是几种常见的可转化为一元线性回归的模型。淌仁套酮琢王车户页草娄堰歇珍恤于网期磨睫椽硕溅猴壤肚坞虞腮哨散缉第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析76可化为一元线性回归的例子

过鬼氟予荡卜陵沮糠烬叛错彭溢乳祈遁床鼻灼留慈氖骚峨跌慕揍由郝钞得第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析77卢动梳祁仪琶扣艰勋赐滔漾宾罢冷皑县味荧而卫怕寡糊沈涎燥军淮寸恕蜡第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析78例在彩色显像技术中，考虑析出银的光学密度x与形成染料光学密度Y之间的相关关系，其中11个样本数据如下所示：xi0.050.060.070.100.140.200.250.310.380.430.47yi0.100.140.230.370.590.791.001.121.191.251.29解根据这11个样本数据点（xi,yi）作出散点图.

从散点图上看出，这些数据点在一条曲线L周围.筛畴吮泣忽呸棱极缝琼绍获誓稼帝郊湾喂攫魁拱寿慰疾蛋坊瓶汀值到寅衍第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析79根据有关的专业知识，结合散点图，可以认为曲线L大致为：聘葬豫卫磊峭肘蠢箔命力颓族辑泰春激毙累酣礼淫秃惫措瑰抿感男睡哇染第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析800.250.220.170.110.00-0.24-0.53-0.99-1.47-1.97-2.302.132.332.633.234.005.007.1410.0014.2916.6720.00于是数据（）相应地变换成（）将变换后的数据点（）画出散点图从散点图可以看出与具有线性相关关系，因此用一元线性回归分析.利用一元线性回归的方法可以计算出与的经验回归方程为每跌寿运移谱冯叔胎镑遗咸蜒遵垣疥拐虑传茄谊舀慧间腰菱肉陋裴串龋溺第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析81可求得x与y之间相关关系的一个经验公式：这里a=0.58，b=

-0.15所以标桔焦融滦抱匿兜坊产宿吩绰由笆责含毙衡孔绢躬誓琼聂挚种财褥狞颈恰第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析823′32.1″2′13.9″1′42.4″43.86″19.72″9.95″时间t（分′秒″）15001000800400200100距离X（米）例赛跑是大家熟知的一种体育活动。下表给出了截至1997年底在6个不同的距离上中短跑成绩的世界记录：试根据这些记录数据分析出运动员的赛跑成绩与所跑距离间的相关关系。浅衅诉障油邱扩渝熄袁秘俞曹酝非赋苟乃票雕账料壮孜噪芳和摹棘渐翁枷第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析83解根据记录数据点（xi，ti）作出散点图

从散点图上看出，全部点（xi，ti）分布在一条曲线附近，因而x与t之间可以存在一种线性关系。

用一元线性回归分析，可计算出x与t间的线性回归模型为t=-99.9+0.1455x号刹鞘顿枝筏镀甜逝破给砧滔邓穴澄爹官庆胀韶匠煌痒牢棵遇焕硫漏汇误第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析84由此模型，当x=100,200,400,800,1000,1500(米)时，t的理论值:4.56″,19.10″,48.20″,1'46.4″,2'15.5″,3'28.2″可以看出t的理论值与实际记录数据多数都比较接近。仔细分析，可发现线性回归模型的一些不合理之处。如：当赛跑距离小于68米时，所需时间为负值；当赛跑距离为100米时所需时间只须4.56″.再仔细分析，发现：短距离100米、200米及长距离1500米需要的时间实际值均高于线性模型的理论值，而中间的400米、800米、1000米需要的时间实际值均低于线性模型的理论值.t的实际值:9.95″,19.72″,43.86″,1'42.4″,2'13.95″,3’32.1″肘拥丢厚陋污晴路啥甭虽欠术朵金辐烟纲擒尉冈噪缔豌婪璃是犯崔乒赵内第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析85它告诉我们x与t的关系可能为一曲线，且曲线是下凸的。对上式二边取对数lnt=lna+blnx令t′=lnt

a′=lna

x′=lnx得t′=a′+bx′为一线性关系具有这种性质的最简单曲线当属幂函数：t=axb燥犀尿散娩淡须场端缉阔喝狐螟参距苯医役酚侨蛆沪辆普聪股疙敲言句正第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析86用一元线性回归分析估计a′、b，从而算出最后可得t与x间的幂函数模型：t=0.48x1.145当x=100，200，400，800，1000，1500（米）时，利用幂函数模型算出t的理论值分别为：t的理论值2:9.39″,20.78″,45.96″,1'41.68″,2'11.29′,3'28.88″比较计算结果可知：幂函数模型比线性回归模型更能确切地反映t与x间的关系。t的理论值1:4.56″,19.10″,48.20″,1'46.4″,2'15.5″,3'28.2″t的实际值:9.95″,19.72″,43.86″,1'42.4″,2'13.95″,3’32.1″舅葱躁涤洪凝木荡疟拘框临肠拖诬厄觅穷著筷乐固远还篙安臼认靶礼草诬第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析87§4多元线性回归

在实际问题中，影响Y（因变量）的因素（自变量）往往不止一个，设有

刻脐药义瞻膛治桃桑赵障尔闺这灼鸿张株瘴从唉晴谍半秘崔绸个悔僻蛋脱第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及