2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题24.11 圆章末题型过关卷（人教版）含解析

2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列第24章圆章末题型过关卷【人教版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2022秋•梁平区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A、B、C，已知A点的坐标是（﹣3，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（﹣1，1） D．（1，0）2．（2022•青羊区校级自主招生）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（）A．2 B．2 C．3 D．33．（2022秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．134cm C．154cm D．4．（2022•武汉模拟）如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABE的中点，CD⊥AB，垂足为D．若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为（）A．6 B．5 C．42 D．435．（2022•中山市三模）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（）A．4 B．5 C．3 D．26．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（）A．115° B．118° C．120° D．125°7．（2022•阳新县校级模拟）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．① B．② C．③ D．④8．（2022春•江夏区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（）A．5 B．2.5 C．3 D．29．（2022•江汉区模拟）如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（）A．5 B．22 C．52 10．（2022秋•孟村县期末）如图，点D是△ABC中BC边的中点，DE⊥AC于E，以AB为直径的⊙O经过D，连接AD，有下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（2022•平房区二模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为．12．（2022•任城区校级三模）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为．13．（2022•曹县三模）如图，正五边形ABCDE内接于圆O，P为弧DE上的一点（点P不与点D、E重合），则∠CPD的度数为．14．（2022秋•梁平区期末）如图四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，直径AB＝6，∠ADC＝140°，则劣弧BD的长为．15．（2022秋•梁平区期末）如图，已知扇形ACB中，∠ACB＝90°，以BC为直径作半圆O，过点O作AC的平行线，分别交半圆O，弧AB于点D、E，若扇形ACB的半径为8，则图中阴影部分的面积是．16．（2022秋•望城区期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．且AB＝8，AC＝15，BC＝17，则⊙O的半径是．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（2022秋•锡山区校级月考）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PA＝4，求△PED的周长．18．（2022秋•安徽期末）如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．（1）求证：DE平分∠CDF；（2）求证：∠ACD＝∠AEB．19．（2022秋•广陵区期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线与AB交于点E，与⊙O交于点D，P为AB延长线上一点，且∠PCB＝∠PAC．（1）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径及AD的长．20．（2022•宿迁）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．（Ⅰ）求证：RP＝RQ；（Ⅱ）若OP＝PA＝1，试求PQ的长．21．（2022•天心区二模）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，AB=AE，BE分别交AD、AC于点F、（1）证明：FA＝FG；（2）若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．22．（2022秋•梁平区期末）根据垂直定理解答下列问题：（1）如图①，在弓形ABC中，弓形高CD＝2米，弦AB＝12米，求弓形所在的圆的半径．（2）如图②中，作直径AC、BD，使得AC⊥BD，连接AB、BC、CD、DA，则四边形ABCD的形状是；（3）在途②中，作直径A′C′⊥AB于点E，交CD于点F，作直径B′D′⊥BC于点G，交AD于H，求证：八边形AA′BB′CC′DD′是正八边形；（4）在图②中，直径A′C′将弓形AA′B分成面积相等的两部分，请你将图③中弓形的面积分成相等的四部分，只说作法，不说理由．23．（2022•社旗县一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务；阿基米德折弦定理阿基米德（Arehimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al﹣Biruni（973年﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，过点M作MH⊥射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC．∵M是ABC的中点，∴MA＝MC．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）如图3，已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为AC上一点，∠ABD＝15°，CE⊥BD于点E，CE＝2，连接AD，则△DAB的周长是．专题24.2圆心角、弧、弦的关系【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1圆心角、弧、弦的概念】 1【题型2利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 4【题型3利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】 6【题型4利用圆心角、弧、弦的关系求周长】 9【题型5利用圆心角、弧、弦的关系求面积】 12【题型6利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】 16【题型7利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】 19【题型8圆心角、弧、弦中的证明问题】 22【题型9圆心角、弧、弦中的的倍数关系】 25【知识点1弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．

【题型1圆心角、弧、弦的概念】【例1】（2022秋•余姚市期中）下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．故选：A．【变式1-1】（2022秋•长沙县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，则下列正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．AB=AD D．∠BCA【分析】根据∠BAC＝∠DAC，得到BC=CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到BC＝【解答】解：∵∠BAC＝∠DAC，∴BC=∴BC＝CD，故选：B．【变式1-2】（2022秋•凯里市校级期中）如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．【解答】解：在⊙O中，AB=∴AB＝CD，故①正确；∵BC为公共弧，∴AC=∴AC＝BD，故②正确；∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．故答案为：①②③④．【变式1-3】（2022秋•武汉期末）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为CBD的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①CF=DF；②HC＝BF：③MF＝FC：④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：∵F为CBD的中点，∴CF=∴∠FCM＝∠FAC，∵∠ACF＝∠ACM+∠MCF，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴CH=∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴AH的度数+CF∴CH的度数+AF∴AH+故选：C．【题型2利用圆心角、弧、弦的关系求角度】【例2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，AE=BD，若∠AOE＝32°，则∠A．32° B．60° C．68° D．64°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AE=BD得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠【解答】解：∵AE=∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝32°∴∠COE＝32°+32°＝64°．故选：D．【变式2-1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙O中，AB=A．60° B．30° C．45° D．40°【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论．【解答】解：∵AB=∴∠2＝∠1＝45°，故选：C．【变式2-2】（2022秋•天河区期末）如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝120°．【分析】证明AC=【解答】解：∵AC＝BD，∴AC=∴∠BOD＝∠AOC＝120°，故答案为：120°．【变式2-3】（2022秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD＝34°，则∠【分析】由BC=CD=DE，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠【解答】解：如图，∵BC=CD=∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO=1故答案为：51°．【题型3利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】【例3】（2022春•永嘉县校级期末）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝22，则半径R的长为（）A．1 B．2 C．2 D．22【分析】连接OA，OD，由弦AC＝BD，可得AC=BD，继而可得BC=AD，然后由圆周角定理，证得∠ABD＝∠BAC，即可判定AE＝BE，由AE＝BE，AC⊥BD，可求得∠ABD＝45°，继而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得【解答】解：连接OA，OD，∵弦AC＝BD，∴AC=∴BC=∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，∵OA＝OD，∴AD=2R∵AD＝22，∴R＝2，故选：C．【变式3-1】（2022•桂平市二模）如图，在Rt△ACB中∠ACB＝60°，以直角边AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，⊙O的半径是6，则MD的长度为（）A．32 B．32 C．3 【分析】根据三角形内角和定理求出∠A＝30°，根据垂径定理求出OD⊥AE，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD，再求出MD即可．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴∠A＝30°，∵M为弧AE的中点，OM过圆心O，∴OM⊥AD，∴∠ADO＝90°，∴OD=12OA∴MD＝OM﹣OD＝6﹣3＝3，故选：C．【变式3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据垂径定理求出DE＝EF，AD=AF，求出ADC=DAF，求出AC＝DF，求出【解答】解：连接OF，如图：∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，AD=∵D为弧AC的中点，∴AD=∴ADC=∴AC＝DF，∵⊙O的直径为10，∴OF＝OA＝5，∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF=O∴DE＝EF＝4，∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8，故选：D．【变式3-3】（2022秋•曾都区期中）如图，在⊙O中，AC=12AB，直径BC＝25，BD=CD，则AD＝【分析】如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．证明四边形DEAF是正方形，可得AD=2AF，想办法求出AF【解答】解：如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∵BC＝25，AB＝2AC，∴AC＝2，AB＝4，∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∴四边形DEAF是正方形，∴AD=2AF∵∠DAB＝∠DAC，∴BD=∴BD＝CD，∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE＝CF，∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6，∴AF＝3，∴AD=2AF＝32故答案为：32．【题型4利用圆心角、弧、弦的关系求周长】【例4】（2022秋•龙口市期末）如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且AD=DC=A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB是等边三角形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系．【解答】解：如图，连接OD、OC．∵AD=∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；∵AB是直径，∴∠AOD+∠DOC+∠COB＝180°，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°；∵OA＝OD（⊙O的半径），∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OD＝OA；同理，得OC＝OD＝CD，OC＝OB＝BC，∴AD＝CD＝BC＝OA，∴四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB＝5OA＝5×1cm＝5cm；故选：B．【变式4-1】（2022秋•海口期末）如图，A、B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是AB的中点，则四边形AOBC的周长等于12．【分析】通过等弧所对的圆心角相等和∠AOB＝120°，得到△AOC和△BOC都是等边三角形，再求出四边形AOBC的周长．【解答】解：∵C是AB的中点∴∠AOC＝∠BOC，而∠AOB＝120°∴∠AOC＝∠BOC＝60°∴△AOC和△BOC都是等边三角形∴OA＝OB＝CA＝CB＝3所以四边形AOBC的周长等于12．故填12．【变式4-2】（2022秋•西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为9cm．【分析】由OA＝OB，得△OAB为等边三角形进行解答．【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝OB＝AB∵AB＝3cm，∴△AOB的周长为3+3+3＝9（cm）．故答案为：9cm．【变式4-3】（2022•江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝36，则⊙O的周长为63π．【分析】接AB，AO，DO，根据⊙O的弦AC＝BD求出BC=AD，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC=12（180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠【解答】解：连接AB，AO，DO，∵⊙O的弦AC＝BD，∴ABC=∴BC=∴∠BAC＝∠ABD，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABD＝∠BAC=12（180°﹣∠∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，即△AOD是等腰直角三角形，∵AD＝36，AO2+OD2＝AD2，∴AO＝33，∴⊙O的周长是2×π×33=63π故答案为63π．【题型5利用圆心角、弧、弦的关系求面积】【例5】（2022•海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是AB的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（）A．25 B．253 C．2534 【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．【解答】解：连OC，如图，∵C是AB的中点，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，∴S四边形AOBC＝2×1故选：D．【变式5-1】（2022•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝25π2【分析】由题意得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求得S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，根据三角形的面积公式得到S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，于是得到结论．【解答】解：如图，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∴S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，∵S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，∴S甲＝S乙=12S圆故答案为：25π2【变式5-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在⊙O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点（1）求证：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OC，∵AC=∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE；（2）解：∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∵∠CDO＝90°，∴∠OCD＝30°，∴OD=12∴CD=O∴△OCD的面积=12×OD×同理可得，△OCE的面积=12×OE×∴四边形DOEC的面积=3【变式5-3】（2022•浙江自主招生）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（）A．2 B．3 C．3+224【分析】连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，由AB＝OA＝OB＝1，得到∠AOB＝60°，弧AB的度数＝60°，而AB＝BC＝CD，得弧ABD的度数＝3×60°＝180°，所以AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°；再由AN＝AF＝OE，则AD平分NF，EF过O点，弧FD＝弧FA，得到△FAD为等腰直角三角形，可得FA=22AD=2，在Rt△AGF中，GF=12AF=22，AG=3GF=62【解答】解：连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，连OE交⊙O于N，连AN，如图，∵AB＝OA＝OB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴弧AB的度数＝60°，又∵AB＝BC＝CD，∴弧AB＝弧BC＝弧CD，∴弧ABD的度数＝3×60°＝180°，∴AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°，∵AN＝AF＝OE=2，∴AD平分NF，∴EF过O∴弧FD＝弧FA，∴△FAD为等腰直角三角形，∴∠FCA＝∠FDA＝45°，FA=22AD在Rt△AGF中，GF=12AF=22，AG在Rt△AGC中，CG＝AG=6∴S△ACF=12CF•AG=12×故选：D．【题型6利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】【例6】（2022•下城区校级四模）如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则DE的度数为（）A．50° B．25° C．80° D．65°【分析】连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出∠DOE＝50°，可得结论．【解答】解：连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥CB，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠DAC=12∠∴∠DOE＝2∠DAC＝50°，∴DE的度数为50°，故选：A．【变式6-1】（2022秋•亭湖区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28° B．64° C．56° D．124°【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠B＝64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝62°，∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴BD的度数为56°．故选：C．【变式6-2】（2022•新昌县模拟）如图在给定的圆上依次取点A，B，C，D，连接AB，CD，AC＝BD，设AC，BD相交于点E，弧AD＝100°，AB＝ED，则弧AB的度数为50°．【分析】连接BC，如图，由弧AD＝100°得到∠ACD＝50°，再证明AB=CD得到AB＝CD，∠ACB＝∠DBC，则CD＝ED，所以∠DEC＝∠DCE＝50°，然后计算出∠ECB的度数，从而得到弧【解答】解：连接BC，如图，∵弧AD＝100°，∴∠ACD＝50°，∵AC＝BD，∴AC=即AB+∴AB=∴AB＝CD，∠ACB＝∠DBC，∵AB＝ED，∴CD＝ED，∴∠DEC＝∠DCE＝50°，∵∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝2∠ECB，∴∠ECB=12∠∴弧AB的度数为50°．故答案为：50°．【变式6-3】（2022•浙江）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是（）A．120° B．135° C．150° D．165°【分析】直接利用翻折变换的性质得出∠BOD＝30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=12BO，AB∥可得∠EBO＝30°，故∠BOD＝30°，则∠BOC＝150°，故BC的度数是150°．故选：C．【题型7利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】【例7】（2022秋•顺义区期末）如图，在⊙O中，如果AB=2AC，则下列关于弦AB与弦ACA．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【分析】取弧AB的中点D，连接AD，BD，则AB=2AD=2BD，由已知条件AB=2AC，得出AD=BD=AC，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AD＝BD＝AC，又在△ABD中，根据三角形三边关系定理得出AD+BD【解答】解：如图，取弧AB的中点D，连接AD，BD，则AB=2AD=2∵AB=2AC∴AD=∴AD＝BD＝AC．在△ABD中，AD+BD＞AB，∴AC+AC＞AB，即AB＜2AC．故选：D．【变式7-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由．【分析】连接OC，OD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．【解答】解：连接OC，OD，∵AB＝OA+OB＝OC+OD，OC+OD＞CD，∴AB＞CD．【变式7-2】（2022秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定【分析】在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，推出弧FM＝弧AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM+EM＞FE即可．【解答】解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，则弧FM＝弧AB，∴AB＝FM，CD＝EM，在△MEF中，FM+EM＞EF，∴AB+CD＞EF．故选：C．【变式7-3】（2022天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．（1）若BC=3AD，CD=2（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．【分析】（1）根据弧和圆心角之间的关系可以得到圆周角的大小；（2）利用相等的弧所对的圆周角相等可以判断圆周角的大小关系．【解答】解：（1）∵BC∴∠BOC＝3∠AOD，∠COD＝2∠AOD∵∠BOC+∠COD+∠AOD＝180°∴∠AOD＝30°，∠BOC＝90°，∠COD＝60°∴∠DAB=12∠BOD=12（∠∠ABC=12∠AOC=12（∠（2）①若AD＜CB，则∠DAB＞∠②若AD=CB，则∠DAB＝∠③若AD＞CB，则∠DAB【题型8圆心角、弧、弦中的证明问题】【例8】（2022秋•自贡期末）如图，AB为⊙O的直径，BE=CE，CD⊥AB于点D，交BE于F，连接求证：BC＝CF．【分析】证明：连接AE，利用圆心角、弧与弦的关系证明即可．【解答】证明：连接AE∵CE∴∠A＝∠FBC，∵AB为直径，∴∠E＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∵CD⊥AB于D，∴∠FDB＝90°，∴∠CFB+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠CFB，∴∠FBC＝∠CFB，∴BC＝CF．【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB．求证：BD=【分析】方法一：由CE∥AB知AC=BE，再由∠BOD＝∠AOC知方法二：连接OE，知∠OCE＝∠OEC，根据AB∥CE知∠BOD＝∠OCE，∠BOE＝∠OEC，从而得∠BOD＝∠BOE，继而可得证．【解答】证明：方法一：∵CE∥AB，∴AC=∵∠BOD＝∠AOC，∴AC=∴BD=方法二：连接OE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵AB∥CE，∴∠BOD＝∠OCE，∠BOE＝∠OEC，∴∠BOD＝∠BOE，∴BD=【变式8-2】（2022秋•福清市期末）如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为AC的中点．【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠C，∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，求出∠AOD＝∠COD，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．【解答】证明：∵OB＝OC，∴∠B＝∠C，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，∴∠AOD＝∠COD，∴AD=即D为AC的中点．【变式8-3】（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）AD=（2）AE＝CE．【分析】（1）由AB＝CD，推出AB=CD，推出（2）证明△ADE≌△CBE可得结论．【解答】证明：（1）∵AB＝CD，∴AB=∴AC+∴AD=（2）∵AD=∴AD＝BC，∵∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB，∴△ADE≌△CBE（AAS），∴AE＝EC．【题型9圆心角、弧、弦的的倍数关系】【例9】（2022•原州区期末）在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，则CE与BE之间的等量关系是什么？请证明你的结论．【分析】连接OE，证出OD=12CO=12OE，得出∠DEO＝30°，求出∠【解答】解：CE=2BE连接OE，如图所示：∵CO⊥AB，∴∠BOC＝90°，∵DE∥AB，∴DE⊥CO，∴∠ODE＝90°，∵D是CO的中点，∴OD=12CO=∴∠DEO＝30°，∴∠DOE＝90°﹣30°＝60°，∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°，∴CE=2BE【变式9-1】（2022•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，则BC与AC的关系是（）A．BC=12AC B．BC=【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=12OE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=12BC，求得∠【解答】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，∵把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，∴OD=12∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OB，∴OD=12∴BC＝OE＝OB＝OC，∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°，∴BC=故选：A．【变式9-2】（2022•陵城区模拟）圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（）A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：2【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB=14×360°＝90°；求得△AOB是等腰直角三角形，过O作OC⊥AB【解答】解：弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．则弦所对的圆心角∠AOB=1∴△AOB是等腰直角三角形，过O作OC⊥AB于C，∴OC=12∴弦心距与弦长的比为1：2，故选：D．【变式9-3】（2022•长安区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BCA．AC＝3BC B．AC=3BC C．AC＝（2+1）BC D．3AC【分析】如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，证明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，设CD＝CB＝x，则AD＝BD=2x，计算AC和BC【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC=3BC∴∠AOC＝135°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝22.5°，∵OD是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝22.5°，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，设CD＝CB＝x，则AD＝BD=2x∴BCAC∴AC＝（2+1）BC故选：C．专题24.3垂径定理【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用垂径定理求线段长度】 1【题型2利用垂径定理求角度】 5【题型3利用垂径定理求最值】 9【题型4利用垂径定理求取值范围】 13【题型5利用垂径定理求整点】 18【题型6利用垂径定理求面积】 22【题型7垂径定理在格点中的运用】 26【题型9垂径定理与分类讨论中的综合运用】 33【题型10垂径定理的应用】 37【知识点1垂径定理及其推论】（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【题型1利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝213，则CD的长为（）A．1 B．3 C．2 D．4【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6 B．62 C．8 D．【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．5 B．23 C．42 D．2【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75° B．20°或70° C．20° D．30°【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60° B．90° C．120° D．135°【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=2（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12 B．1 C．32【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为（）A．1 B．233 C．33【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910 B．65 C．85【题型4利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤45 B．45＜m≤10 C．8＜m≤10 D．6＜m【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个 B．3个 C．6个 D．7个【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6 B．7 C．8 D．9【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【题型6利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．2 B．1 C．32 D．【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式6-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4 B．275π4 C．125π9【题型7垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）【变式7-1】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB上，若点P是BC的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式7-3】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4-26，0) B．(-4+26，0) C．【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1 B．7 C．8或1 D．7或1【变式9-2】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝23，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式9-3】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸【变式10-2】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式10-3】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，从A到B只有路AB，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：3≈1.732，π专题24.3垂径定理【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用垂径定理求线段长度】 1【题型2利用垂径定理求角度】 5【题型3利用垂径定理求最值】 9【题型4利用垂径定理求取值范围】 13【题型5利用垂径定理求整点】 18【题型6利用垂径定理求面积】 22【题型7垂径定理在格点中的运用】 26【题型9垂径定理与分类讨论中的综合运用】 33【题型10垂径定理的应用】 37【知识点1垂径定理及其推论】（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【题型1利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝213，则CD的长为（）A．1 B．3 C．2 D．4【分析】由垂径定理得出AC＝BC＝4，连接BE，由∠CBE＝90°及CE长度求出BE＝6，在Rt△ABE中求出AE＝10，从而得出半径OA＝OD＝5，再在Rt△AOC中求出OC，从而得出答案．【解答】解：∵OD⊥AB，AB＝8，∴AC＝BC＝4，如图，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵CE＝213，∴BE=C则AE=A∴AO＝OD＝5，在Rt△AOC中，OC=A则CD＝OD﹣OC＝2，故选：C．【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6 B．62 C．8 D．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决．【解答】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，∴四边形OEPF是矩形，OE＝6，同理可得，OF＝6，∴EP＝6，∴OP=6故选：B．【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．5 B．23 C．42 D．2【分析】因为∠AED＝30°，可过点O作OF⊥CD于F，构成直角三角形，先求得⊙O的半径为3，进而求得OE＝3﹣1＝2，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出OF=12OE＝1，再根据勾股定理求得DF的长，然后由垂径定理求出【解答】解：过点O作OF⊥CD于F，连接DO，∵AE＝5，BE＝1，∴AB＝6，∴⊙O的半径为3，∴OE＝3﹣1＝2．∵∠AEC＝30°，∴OF＝1，∴CF＝22，∴CD＝2CF＝42，故选：C．【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为23．【分析】先证明△AFO和△BCE是等边三角形，设DE＝x，根据CD＝5列方程，求出x得到AD=3【解答】解：如图，记DC与⊙O交于点F，连接AF、OF、OB，过点C作CT⊥AB于点T，连接OE，OT．∵D为半径OA的中点，CD⊥OA，∴FD垂直平分AO，∴FA＝FO，又∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠OAF＝∠AOF＝∠AFO＝60°，∵CE＝CB，CT⊥EB，∴ET＝TB，∵BE＝2AE，∴AE＝ET＝BT，∵AD＝OD，∴DE∥OT，∴∠AOT＝∠ADE＝90°，∴OE＝AE＝ET，∵OA＝OB，∴∠OAE＝∠OBT，∵AO＝BO，AE＝BT，∴△AOE≌△BOT（SAS），∴OE＝OT，∴OE＝OT＝ET，∴∠ETO＝60°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AED＝∠CEB＝60°，∴△CEB是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，设DE＝x，∴AE＝2x，BE＝CE＝4x，∴CD＝5x＝5，∴x＝1，∴AD=3∴AO＝23．故答案为：23．【题型2利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75° B．20°或70° C．20° D．30°【分析】设圆的半径是r，作直径BD，作BC关于直径BD的对称线段BE，连接EC，BE，ED，AC，再由直角三角形的性质即可解答．【解答】解：如图，设圆的半径是r，则AO＝r，BO＝r，作直径BD，作BC⊙O的弦BC，使∠DBC＝30°，作BC关于直径BD的对称线段BE，连接EC，BE，ED，AC，直角△BED中，可以得∠EBD＝30°，∵线段BE与线段BC关于直线BD对称，∴BC＝BE，∴BD垂直平分线段CE，∴DE=∴∠CBD＝30°而∠BCA=12∠在△ABC中，∠OAC＝180°﹣∠ABO﹣∠CBD﹣∠ACB﹣∠BAO＝15°．同理，当E为C时，∠OAC＝75°．故∠OAC的度数为15°或75°．故选：A．【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60° B．90° C．120° D．135°【分析】如图，延长CD交⊙O于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．根据垂径定理以及三角形的中位线定理，可得DE=12PT，当PT是直径时，DE的长最大，再证明∠【解答】解：如图，延长CD交⊙O于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．∵OA⊥PC，OB⊥CT，∴CD＝DP，CE＝TE，∴DE=12∴当PT是直径时，DE的长最大，连接OC，∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT，∴∠AOB＝∠COA+∠COB=12∠故选：B．【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=2（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【分析】（1）连接OB，先由垂径定理得OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2，再由勾股定理求出BE=2（2）先证△BOE是等腰直角三角形，得∠BOC＝45°，再由圆周角定理即可求解．【解答】解：（1）连接OB，如图所示：∵半径OC过弦AB的中点E，∴OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2，∴BE=O∴AB＝2BE＝22；（2）由（1）得：BE＝OE，OC⊥AB，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠BOC＝45°，∴∠CAB=12∠【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【分析】（1）根据垂径定理得到AB=AC，则AC＝AB＝6，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出∠C＝40°，然后利用ED＝EC得到∠CDE＝∠C＝40°．【解答】解：（1）∵BC⊥OA，∴AB=AC，∠∴AC＝AB＝6，∵点E为AC的中点，∴DE=12（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BAC＝100°，∴∠C=1∵点E为AC的中点，∴ED＝EC，∴∠CDE＝∠C＝40°．【题型3利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12 B．1 C．32【分析】因为CD⊥OC交⊙O于点D，连接OD，△OCD是直角三角形，则CD=OD2-OC2，因为半径【解答】解：连接OD，∵CD⊥OC交⊙O于点D，∴△OCD是直角三角形，根据勾股定理得CD=O∵半径OD是定值，∴当OC⊥AB时，线段OC最小，此时D与B重合，CD=OB∵OC⊥AB，∴AC＝BC=12AB∴CD=OB2故选：A．【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为（）A．1 B．233 C．33【分析】连接OA，如图，利用垂径定理得到AD＝BD，AC=BC，再根据OD＝DC可得到OD=12OA=12，所以AD=32，由勾股定理，则AB=3．△PAB底AB不变，当高越大时面积越大，即P点到AB距离最大时，△APB的面积最大．则当点P为AB所在优弧的中点时，此时PD【解答】解：连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AD＝BD，∵OD＝DC，∴OD=12OA∴AD=OA2-OD2当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1+1∴△APB的面积的最大值为=1故选：C．【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为83．【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD＝25，则利用面积法可计算出AH＝36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为43，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．【解答】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，BD=A∵12×AH×BD=12∴AH=20×15∵⊙O的直径为16，∴⊙O的半径为8，∴点O在AH上时，OH最短，∵HM=O∴此时HM有最大值，OH＝AH﹣OA＝4，则最大值为82-4∵OH⊥MN，∴MN＝2MH，∴MN的最大值为2×43=83故答案为：83．【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910 B．65 C．85【分析】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．【解答】解：过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM，∵DE＝3，∠ACB＝90°，OD＝OE，∴OC=12DE只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，∵OM=3∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，过C作CF⊥AB于F，∴G和F重合时，MN有最大值，∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB=B∵12AC•BC=12AB∴CF=AC×BC∴OG＝CF﹣OC=12∴MG=O∴MN＝2MG=12故选：D．【题型4利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤45 B．45＜m≤10 C．8＜m≤10 D．6＜m【分析】连接PD，DF，OC，BD，利用垂径定理可得AB是CD的垂直平分线，则PC＝PD；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式PD+PF≥DF（当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论．【解答】解：连接PD，DF，OC，BD，如图，∵CD⊥AB，BA为⊙O的直径，∴CE＝ED=12∵OC=12∴OE=O∴BE＝OE+OB＝8．∴BD=BE2∵P是直径AB上的动点，CD⊥AB，∴AB是CD的垂直平分线，∴PC＝PD．∵m＝PC+PF，∴m＝PD+PF，由图形可知：PD+PF≥DF（当D，P，F在一条直线上时取等号），∵点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，∴DC＜DF≤直径，∴8＜m≤10．故选：C．【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE＝BE=12AB，再根据勾股定理求出【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵AB＝8cm，∴AE＝BE=12AB=1∵⊙O的直径为10cm，∴OB=12×∴OE=OB2-∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有4条．【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可；（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB＝24，即可得出答案；②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，则弦AB即为所求；（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，连接OA，如图2所示：∵OP⊥AB，∴AP＝BP=O∴AB＝2AP＝24，∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，∴长度为25的弦有两条，∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，故答案为：4．【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【分析】（1）连接OA，根据勾股定理求出AH，根据垂径定理得出即可；（2）求出HC和HD的值，结合图形得出即可；（3）先找出符合条件时的位置，求出三角形的高和底边，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：（1）连接OA，如图1，∵点O到弦AB的距离OH＝3，∴AB⊥OC，∴∠OHA＝90°，AB＝2AH，在Rt△AHO中，OA＝5，OH＝3，由勾股定理得：AH＝4，∴AB＝2AH＝8；（2）延长CO交⊙O于D，如图2，∵CH＝5﹣3＝2，HD＝5+3＝8，∴点P只有两个时d的取值范围是2＜d＜8；（3）如图3，∵CH＝5﹣3＝2，HD＝5+3＝8，∴点P有且只有三个时，d＝2，如图，P在C、E、F处，连接OE，∵OC⊥AB，AB∥EF，∴OC⊥EF，∴EF＝2EM，∵OE＝5，OM＝5﹣2﹣2＝1，CM＝2+2＝4，∴由勾股定理得：EM=52-∴EF＝2EM＝46，∴S△CEF=12×EF×CM=1即点P有且只有三个时，连接这三个点所得到的三角形的面积是86．【题型5利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个 B．3个 C．6个 D．7个【分析】利用勾股定理得出线段AD和AC的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可．【解答】解：∵CD是直径，∴OC＝OD=12CD∵AB⊥CD，∴∠AMC＝∠AMD＝90°，∵AM＝4.8，∴OM=5∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6，∴AC=4．82+6．∵AM＝4.8，∴A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，故选：C．【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】首先利用勾股定理得出AC的长，求出AB长，再利用三角形边之间的关系进而得出AO≤AP≤AB，即可得出答案．【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB于点C，OB＝5，OC＝3，∴BC=5∴AB＝2×4＝8，∵AO≤AP≤AB，∴5≤AP≤8，∴AP的长度不可能是：9（答案不唯一）．故选：D．【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有12个．【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO＝BO＝4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．【解答】解：过C作直径UL∥x轴，连接CA，则AC=1∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB＝8，∴AO＝BO＝4，∠AOC＝90°，由勾股定理得：CO=A∴ON＝5﹣3＝2，OM＝5+3＝8，即A（﹣4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，﹣2），同理还有弦QR＝AB＝8，弦WE＝TS＝6，且WE、TS、QR都平行于x轴，Q（﹣4，6），R（4，6），W（﹣3，7），E（3，7），T（﹣3，﹣1），S（3，﹣1），U（﹣5，3），L（5，3），即共12个点，故答案为：3；12．【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】过O点作OC⊥AB，交⊙O于P，由OC＝3，OA＝5，得到PC＝2，即点P到直线AB的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，则还有两个点M，N到直线AB的距离为3．【解答】解：过O点作OC⊥AB，交⊙O于P，如图，∴OC＝3，而OA＝5，∴PC＝2，即点P到直线AB的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，∴在直线AB的这边，还有两个点M，N到直线AB的距离为2．故选：B．【题型6利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．2 B．1 C．32 D．【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则△AOB、△COD分别为等边三角形，等腰直角三角形，进而可得到AB、CD长；再过点O作OH⊥EF于点H，根据垂径定理可得EF＝2EH，∠EOH＝∠FOH＝60°，根据锐角三角形函数可求出FH，进而可得EF；再根据AB2+CD2＝EF2可判断以AB、CD、EF为边的三角形为直角三角形，即可求出其面积．【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则∠AOB＝60°，∠COD＝90°，∠EOF＝120°，在Rt△COD中，CD=1∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝1，过点O作OH⊥EF于点H，则EF＝2EH，∠EOH＝∠FOH＝60°，∴FH＝1×3∴EF＝2FH=3∵12+(2)2=(3)2，即∴以AB、CD、EF为边的三角形为直角三角形，∴其面积为：12故选：D．【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为96．【分析】先连接OH，根据BD＝12得出OD长，那么可得到圆的半径为OD+DF，利用三角形全等可得菱形边长等于圆的半径，再根据勾股定理求出OA的长，由S菱形ABCD＝4S△AOD即可得出结论．【解答】解：如图：连接OH，∵BD＝12，DF＝4∴⊙O的半径r＝OD+DF=12BD+DF∴OH＝10在Rt△HOD与Rt△ADO中，OD＝OD，AO＝HD，∠AOD＝∠HDO＝90°∴△AOD≌△GDO，∴OH＝AD＝10，在Rt△AOD中，∵AD＝10，OD＝6，∴OA=AD∴S菱形ABCD＝4S△AOD＝4×1故答案为：96．【变式6-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【分析】（1）根据全等三角形的判