2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题30 向量共线的坐标表示(解析版)-2023一轮数学讲义+题型细分与精练

专题30向量共线的坐标表示解决平面向量的共线问题，要熟记平行向量定理及其坐标表示，利用平行向量定理时，一定要注意其中一个向量为非零向量。从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大．类型一用向量的坐标判断向量共线例1：（2022·江苏淮安·高一月考）若向量=(1，2)，=(2，3)，则与+共线的向量可以是（）A．(2，1) B．(6，10)C．(－1，2) D．(－6，10)【答案】B【详解】由已知，只有，即只有与平行．故选：B．【变式1】（2022·上海·高一课时练习）若，、，，则与的关系是______.【答案】相等【详解】解：因为，、，，所以,所以，故答案为：相等【变式2】（2022·全国·高一课时练习）下列各组向量共线的是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，因，则，即与不共线；对于B，因，则，即与不共线；对于C，因，则，即与共线；对于D，因，则，即与不共线.故选：C【变式3】已知、、，，.（1）求点、及向量的坐标；（2）求证：.【答案】（1），，，，，；（2）证明见解析.【详解】（1）设点的坐标为，点的坐标为，则由可得，，，故有，解得，即点的坐标为，．由，可得，，，，即点的坐标为，，故，．（2）由于，，，满足，故．【痛点直击】用平面向量的坐标判断向量共线问题，要熟练掌握公式。类型二用平面向量的坐标判断三点共线例2.已知O为坐标原点，，，，求证：A，B，C三点共线．【答案】见解析【详解】证明：，，，，，所以与共线．因为，有公共点，所以，，三点共线．【变式1】在平面直角坐标系中，已知，，，求证：三点共线.【答案】证明见解析【详解】证明：由已知得，.因为，所以，有有公共点，因此三点共线.【变式2】已知，，，求向量，并判断三点是否共线.【答案】见解析【详解】解：，，，，.显然，.又与有公共点A，三点共线.【变式3】（2022·福建·莆田锦江中学高一期中）已知、，且、、三点共线，则点的坐标可以是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】设点的坐标为，因为、、三点共线，所以，因为，，所以，，则，整理得，将、、、代入中，只有满足，故选：C.【痛点直击】用向量判断三点共线，应先由三点构成两个向量，先证明两向量共线，进而判断三点共线。类型三由平面向量共线求参数的值例3.（2022·全国·高一单元测试）已知，，且，则锐角等于（）A．45° B．30° C．60° D．30°或60°【答案】A【详解】因为，所以，得，即，因为为锐角，所以，即.故选：A【变式1】（2022·全国·高一课时练习）已知向量，，若，则（）A． B． C． D．1【答案】B【详解】向量，，所以，，又，所以，解得．故选：B．【变式2】（2022·山东枣庄·高一期中）已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（）.A． B． C．1 D．2【答案】B【详解】因为向量，，所以，因为()∥，，所以，解得，故选：B【变式3】（2022·上海·高一课时练习）已知，.（1）当k为何值时，与共线？（2）若，且A，B，C三点共线，求m的值．【答案】（1）；（2）.【详解】(1)因，，则，，因与共线，则有，解得，所以当时，与共线；(2)因A，B，C三点共线，则有，λ∈R，即，而与不共线，于是得，解得，所以m的值是.【痛点直击】用平面向量共线求参数的值，要熟练运用向量平行的相关性质，若，，，则。【限时训练】1．（2022·全国·高一课时练习）已知向量，，且，那么t等于（）A．-4 B．-1 C．1 D．4【答案】A【详解】因为，，且，所以即，解得故选：A2．（2022·上海·高一课时练习）已知向量，，设，，若∥，则实数k的值为（）A．－1 B．－ C． D．1【答案】B【详解】∵＝(1，2)，＝(0，1)，∴，，∴即.故选：B3．（2022·全国·高一专题练习）已知向量，，若，共线，则实数x的值为（）A．-1 B．2 C．1或-2 D．-1或2【答案】D【详解】因为向量，，且，共线，所以，解得或，故选：D4．（2022·全国·高一课时练习）已知向量=(2，3)，=(-1，2)，若-2与非零向量m+n共线，则等于（）A．-2 B．2 C．- D．【答案】C【详解】因为向量=(2，3)，=(-1，2)，所以-2=(2，3)-(-2，4)=(4，-1)，m+n=(2m-n，3m+2n).因为-2与非零向量m+n共线，所以，解得14m=-7n，.故选：C5．（2022·全国·高一课时练习）若=(6，6)，=(5，7)，=(2，4)，则下列结论成立的是（）A．与共线 B．与共线C．与共线 D．与共线【答案】C【详解】解：，因为，所以与不共线；，因为，所以与不共线；，因为，所以与共线；，因为，所以与不共线.故选：C.6．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，若A，B，C三点共线，则___________.【答案】##【分析】由坐标得到向量与向量，由向量共线的坐标运算得出等式，求解即可.【详解】解：，，，则，，若A，B，C三点共线，则向量与向量共线，则有，解得：.故答案为：.7．（2022·重庆·西南大学附中高一月考）已知，，若，则_____________．【答案】10【分析】利用共线向量的坐标表示计算出实数的值，进而利用向量模的坐标表示可求得.【详解】因为，，且，，解得，则.因此，.故答案为：.8．（2022·全国·高一课时练习）已知点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x).（1）求实数x的值，使向量共线;（2）当向量共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上?【答案】（1）x=±2；（2）四点在一条直线上.【详解】解（1）=(x，1)，=(4，x).∵，∴x2=4，x=±2.（2）由已知得=(2-2x，x-1)，当x=2时，=(-2，1)，=(2，1)，∴不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上.当x=-2时，=(6，-3)，=(-2，1)，∴，此时A，B，C三点共线.又，∴A，B，C，D四点在一条直线上.综上，当x=-2时，A，B，C，D四点在一条直线上.9．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点.求证：（1）；（2）D，M，B三点共线.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图.令，则，因为，，所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为.（1）因为，，所以，即.（2）因为M为的中点，所以，所以，，所以，所以.又与有公共点，所