2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题31 平面几何中的向量方法(解析版)-2023一轮数学讲义+题型细分与精练_第1页
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文档简介

专题31平面几何中的向量方法平面向量可以解决平面几何中的夹角、垂直、平行、距离等问题。实际也可理解为用代数方法解决几何问题。平面向量的有关运算有线性运算、坐标运算。从近几年高考命题看,考查考查力度与以往基本相同,与之相关的题目,难度不大.【题型导图】类型一用平面向量解决垂直问题例1:(2022·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一月考)在△ABC中,若,则△ABC的形状是()A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【详解】,,则,,,则△ABC为直角三角形.故选:B.【变式1】(2022·云南省南涧县第一中学高一月考)在中,,动点M满足,则直线AM一定经过的()A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心【答案】B【详解】解:延长AC,使得AC=CD,则,因为,所以,因为,所以,所以是等腰三角形,所以点M在BD的中垂线上,所以AM平分,直线AM一定经过的内心.故选:B.【变式2】2022·全国·高一课时练习)如图所示,在等腰直角三角形ACB中,,,D为BC的中点,E是AB上的一点,且,求证:.【答案】证明见解析【详解】因为,所以,即,故.【变式3】(2022·江苏·高一课时练习)如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.【答案】证明见解析【详解】设=,=,=,=,=,则=+,=+,所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2,由条件知:2=2﹣2+2,所以·=·,即·(-)=0,即,所以AD⊥BC.【痛点直击】利用平面向量解决垂直问题,一种方法,可用已知向量作为基底,来证明向量的数量积为0,另一种方法,可以建立平面直角坐标系,写出向量的坐标,利用坐标坐标运算判断向量数量积为0,进而证得两线垂直。类型二用平面向量解决夹角问题例2.(2022·福建三明·高一期末)中,若,,点满足,直线与直线相交于点,则()A. B. C. D.【答案】A【详解】如图所示,以点为原点,为轴构建直角坐标系,因为,,所以,,,设,因为、、三点共线,所以,,,因为,、、三点共线,所以,联立,解得,,,因为,,所以,,因为,所以,故选:A.【变式1】在△ABC中,=,=,且0,则△ABC是()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形【答案】D【详解】由题意,∴,,,又是三角形内角,∴.∴是钝角三角形.故选:D.【变式2】已知,,,试求三个内角的大小.【答案】,,.【分析】由向量夹角的求解方法可求得,由可知.【详解】,,【变式3】如图,在中,已知,BC,AC边上的两条中线AM,BM相交于点P,求的余弦值.【答案】【分析】即为与的夹角,先用将与表示出来,求出以及,,代入公式即可.【详解】解:∵M,N分别是BC,AC的中点,.与的夹角等于.,,,.【痛点直击】利用平面向量解决夹角问题,要熟练运用向量的夹角公式,要注意向量夹角的范围与直线夹角范围不一样。与角的余弦值求角时,要注意角的范围。类型三由平面向量解决距离(长度)问题例3.(2022·江苏·南京市中华中学高一期中)平行四边形中,,E是的中点,F是的中点,则向量的模长是______.【答案】【详解】.故答案为:.【变式1】(2022·上海·高一课时练习)在中,是的中点,,,则线段长的最小值为___________【答案】【详解】由平方得:.又,所以.所以.当且仅当时,取最小值.故答案为:.【变式2】(2022·上海·高一单元测试)如图,平行四边形中,已知,,对角线,求对角线的长.【答案】.【详解】设,,则,,而,所以,所以,又,所以,即.【变式3】(2022·浙江·高一期末)已知的面积为,且.(1)求角的大小及长的最小值;(2)设为的中点,且,的平分线交于点,求线段的长.【答案】(1),;(2).【详解】(1)在中,由,得,由,得,所以,所以,,因为在中,,所以,因为(当且仅当时取等),所以长的最小值为;(2)在三角形中,因为为中线,所以,,所以,因为,所以,所以,由(1)知,所以,或,,所以,因为为角平分线,,,或2,所以,或,所以.【痛点直击】用平面向量解决距离(长度)问题,就是求平面向量的模,解决有关向量的模的问题,经常将向量的模平方,利用向量的线性运算求得模的平方,开方可求得所求距离(长度),另一种方法。可建立平面直角坐标系,利用坐标运算也可求向量的模。【限时训练】1.(2022·全国·高一专题练习)如图,以为直径在正方形内部作半圆(不含,两点),为半圆上一动点,下面关于的说法正确的是()A.无最大值,但有最小值 B.既有最大值,又有最小值C.有最大值,但无最小值 D.既无最大值,又无最小值【答案】A【详解】设正方形的边长为,以为原点,所在的直线为轴,过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系;则圆:,,,设,,则,所以,因为,所以,,所以,所以无最大值,但有最小值,故选:A.2.(2022·吉林·延边二中高一期中)在中,斜边长为2,O是平面外一点,点P满足,则等于()A.2 B.1 C. D.4【答案】B【详解】解:,,,为斜边的中线,.故选:B.3.(2022·江西·九江一中高一期中)在中,,点满足,若,则的值为()A. B. C. D.【答案】C【详解】取中点O,连接,,即,M为BC边上靠近C的三等分点,,,,,又,,.故选:C.4.(2022·江苏仪征·高一期中)设向量,,满足,,,的夹角为60°,则的最大值等于()A.2 B. C. D.1【答案】A【详解】,,故设,的夹角为60°,故,又,故四点共圆,设圆的半径为R,故当=2R时,取最大,易得故选:A5.(2022·全国·高一期中)已知矩形ABCD的一边AB的长为4,点M,N分别在边BC,DC上,当M,N分别是边BC,DC的中点时,有.若,x+y=3,则线段MN的最短长度为()A. B.2 C.2 D.2【答案】D【详解】当M,N分别是边BC,DC的中点时,有所以AD=AB,则矩形ABCD为正方形,设,则则,又x+y=3,所以λ+μ=1.故NC+MC=4,则(当且仅当MC=NC=2时取等号).故线段MN的最短长度为故选:D.6.(2022·全国·高一课时练习)非零向量与满足,且,则的形状为_______________________.【答案】等边三角形.【详解】和分别是和的单位向量,所以,,且在的角平分线上,因为,所以与垂直,所以,即是等腰三角形,因为,所以,因为,所以,所以是等边三角形,故答案为:等边三角形.7.(2022·浙江·宁波市北仑中学高一期中)已知是平面中的三个单位向量,且,则的最小值是____.【答案】【详解】根据题意可设,,设,则,,又为单位向量,所以,所以表示单位圆上的点到点,的距离之和,又过点,两点的直线方程为,即,所以圆心到直线的距离,所以直线与圆相交,所以的最小值距离为点,之间的距离.即的最小值为.故答案为:8.(2022·全国·高一课时练习)如图,在四边形中,,,,,且,且,则四边形是什么形状?【答案】四边形为正方形.【详解】解:四边形为正方形.证明如下:因为,所以,所以,即,因为,所以,即①同理可得②①-②,得,①变形为,再加②式得,即,.同理可得,故四边形是菱形.因为,所以,又因为,所以,即.所以,所以.故四边形为正方形.9.(2022·全国·高一课时练习)如图,在中,点E为边上一点,点F为线段延长线上一点,且,连接交于点D,求证:.【答案】证明见解析【详解】证明:如图,以点B为原点,所在的直线为x轴建立直角坐标系,不妨设设,,,,则,,所以,所以.所以,.因为E,D,F共线,所以,所以化简得.因为,所以.所以.10.(2022·山西省长治市第二中学校高一月考)在中,已知,

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