2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题34 复数的概念-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题34复数的概念题型一复数的概念及分类【例1】给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误【变式1-1】给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，③为真命题．故选B.【变式1-2】若x、y∈R，则“x＝0”是“x＋yi为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件【答案】B【解析】当x＝0，y＝0时，x＋yi是实数．【变式1-3】实数x分别取什么值时，复数z＝eq\f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【答案】（1）x＝5（2）x≠－3且x≠5（3）x＝－2或x＝3【解析】（1）当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15＝0，,x＋3≠0，))即x＝5时，z是实数．（2）当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x≠－3且x≠5时，z是虚数．（3）当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋3)＝0，,x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．【变式1-4】实数m取什么值时，复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分别是：（1）纯虚数；（2）实数．【答案】（1）m＝3（2）m＝－2或m＝－1【解析】（1）复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2＝1，,m2＋3m＋2≠0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3或m＝－1，,m≠－2且m≠－1，))所以m＝3.即m＝3时，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为纯虚数．（2）复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为实数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2>0，①,m2＋3m＋2＝0，②))解②得m＝－2或m＝－1，代入①检验知满足不等式，所以当m＝－2或m＝－1时，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为实数．【变式1-5】已知z1＝(－4a＋1)＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，则a的取值集合为________．【答案】{0}【解析】∵z1＞z2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2＋3a＝0，,a2＋a＝0，,－4a＋1＞2a，))∴a＝0，故所求a的取值集合为{0}．【变式1-6】复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b|B．a＜0且a＝－bC．a＞0且a≠bD．a≤0【答案】D【解析】复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.题型二复数相等【例2】已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))【变式2-1】若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2017i＝2－bi，则a2＋bi＝()A．2017＋2iB．2017＋4iC．2＋2017iD．4－2017i【答案】D.【解析】因为a＋2017i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2017，即a＝2，b＝－2017，所以a2＋bi＝4－2017i，故选D.【变式2-2】复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为()A．1B．1或－4C．－4D．0或－4【答案】C【解析】验证：当a＝0或1时，复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai不相等，排除A、B、D.【变式2-3】已知eq\f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0(x∈R)，求x的值．【答案】x=3【解析】由复数相等的定义得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋1)＝0,x2－2x－3＝0))，解得x＝3.∴x＝3为所求．【变式2-4】若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＝3，则实数x的值是__________．【答案】－2【解析】根据复数相等的充要条件，得log2x2−3x−1=3log2x2+2x+1=0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x－2＝8,题型三复数方程有实根问题【例3】关于x的方程3x2－eq\f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．【答案】a＝11或a＝－eq\f(71,5).【解析】设方程的实数根为x＝m，则3m2－eq\f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得a＝11或a＝－eq\f(71,5).【变式3-1】已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\r(2),k＝－2\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\r(2),k＝2\r(2))).【解析】设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(xeq\o\al(2,0)＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.由复数相等的条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋kx0＋2＝0,2x0＋k＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\r(2),k＝－2\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\r(2),k＝2\r(2))).∴方程的实根为x＝eq\r(2)或x＝－eq\r(2)，相应的k的值为k＝－2eq\r(2)或k＝2eq\r(2).【变式3-2】已知方程有实根，且，则复数等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由是方程的根可得，整理可得：，所以，解得，所以，故选A.【变式3-3】已知关于的方程有实数解，则_______.【答案】2或3【解析】因为关于的方程有实数解，所以使得成立.或.【变式3-4】已知关于t的一元二次方程，当方程有实数根时，则实数t的取值范围________.【答案】[−4，0]【解析】因为关于t的一元二次方程有实数根，得，由复数相等的充要条件可得：，消得，则所求点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，直线与圆有公共点，则，解得，故答案为：.【变式3-5】已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．【答案】m＝eq\f(1,12)【解析】设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－eq\f(1,2)且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2－eq\f(1,2)＋3m＝0，所以m＝eq\f(1,12).题型四复数与复平面内点的对应【例4】实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由题意可得复数z＝－2＋i，故在复平面内对应的点为(－2，1)，在第二象限.【变式4-1】实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点（1）位于第二象限；（2）位于直线y＝x上？【答案】（1）(－2，1)（2）a=1【解析】根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．（1）由点Z位于第二象限得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a－2<0，,a2－3a＋2>0，))解得－2<a<1.故满足条件的实数a的取值范围为(－2，1)．（2）由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.【变式4-2】已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称【答案】B【解析】在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．【变式4-3】i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝_____..【答案】－2＋3i【解析】复数z1＝2－3i对应的点为P1(2，－3)，则复数z2对应的点为P2(－2，3)，故z2＝－2＋3i.【变式4-4】设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为________．.【答案】eq\f(1,2)【解析】由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，∴tanθ＝eq\f(1,2).【变式4-5】设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则()A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0C．b＞0，a∈RD．a＞0，b∈R【答案】D【解析】复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．【变式4-6】求实数a分别取何值时，复数z＝eq\f(a2－a－6,a＋3)＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：在复平面的第二象限内；【答案】a＜－3.【解析】点Z在复平面的第二象限内，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a2－a－6,a＋3)＜0，,a2－2a－15＞0，))解得a＜－3.题型五复数与复平面内向量的对应【例5】已知在△ABC中，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为．【答案】－1－5i【解析】因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以＝(－1，2)，＝(－2，－3)，又＝－＝(－2，－3)－(－1，2)＝(－1，－5)，所以对应的复数为－1－5i.【变式5-1】四边形ABCD是复平面内的平行四边形，已知A、B、C三点对应的复数分别是1+3i，-i，2+i，则向量BD对应的复数是 ()A.1-2iB.2+2iC.2-2iD.3+6i【答案】D【解析】由题意得点A，B，C的坐标分别为(1，3)，(0，-1)，(2，1)，设点D的坐标为(x，y)，由AD=BC，得(x-1，y-3)=(2，2)，∴x-1=2，解得x=3，y=5，故D(3，5)，∴BD=(3，6)，则BD对应的复数为3+6i.故选D.【变式5-2】在复平面内，向量AB=(2，-3)对应的复数为()A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.-3-2i【答案】A【解析】由复数的几何意义，知AB=(2，-3)对应的复数为2-3i.故选A.【变式5-3】在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1+4i，-3i，2，O为坐标原点.（1）求向量OA+OB（2）求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.【答案】（1）1-4i（2）3【解析】（1）由已知得OA，OB则OA=(1，4)，OB=(0，-3)，OC=(2，0)，所以OA+OB=(1，1)，故OA+OB对应的复数为1+i，AC对应的复数为（2）解法一:由已知得，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(0，-3)，(2，0)，则AC的中点坐标为32由平行四边形的性质知，BD的中点坐标也是32设D(x0，y0)，则0+x02故D对应的复数为3+7i.解法二:由已知得，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(0，-3)，(2，0)，设D(x0，y0)，则AB=(-1，-7)，DC=(2-x0，-y0).因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB=所以-故D对应的复数为3+7i.解法三:由(1)知OA=(1，4)，OB=(0，-3)，OC=(2，0)，所以BA=(1，7)，BC=(2，3)，由平行四边形的性质得BD=所以OD=OB+BD=(3，7)，故题型六复数的模及其应用【例6】已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))【解析】由|z|＝eq\r(1＋4m2)≤2，解得－eq\f(\r(3),2)≤m≤eq\f(\r(3),2).【变式6-1】求复数z1＝6＋8i与z2＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)i的模，并比较它们的模的大小．【答案】|z1|>|z2|.【解析】∵z1＝6＋8i，z2＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)i，∴|z1|＝eq\r(62＋82)＝10，|z2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋－\r(2)2)＝eq\f(3,2).∵10>eq\f(3,2)，∴|z1|>|z2|.【变式6-2】设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1，1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】因为|z1|＝eq\r(a2＋4)，|z2|＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，所以eq\r(a2＋4)＜eq\r(5)，即a2＋4＜5，所以a2＜1，即－1＜a＜1.【变式6-3】已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝eq\r(a2＋b2)，代入方程得a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋8i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))【变式6-4】已知复数z满足z＝－|z|，则z的实部()A．不小于0B．不大于0C．大于0D．小于0【答案】B【解析】设z＝a＋bi(a、b∈R)，则a＋bi＝－eq\r(a2＋b2)，∴b＝0，a＝－|a|，∴a≤0，故不大于0.题型七共轭复数【例7】如果x－1＋yi与i－3x是共轭复数，则实数x＝_____，y＝________.【答案】eq\f(1,4)－1【解析】由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－3x,y＝－1))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4),y＝－1)).【变式7-1】下列命题中：①任意两个确