2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题41 空间点、直线、平面的位置关系-2023一轮数学讲义+题型细分与精练(解析版)

专题41空间点、直线、平面的位置关系题型一平面的概念与特点【例1】下列命题中正确命题的个数是()①三角形是平面图形；②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】根据基本事实3可知①④正确，②③错误．故选B.【变式1-1】关于平面的说法，正确的有（）①平面是绝对平的且是无限延展的；②平面的形状是平行四边形；③三角形可以表示平面；④某一个平面的面积为1m2；⑤8个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】对于①，由平面的概念可得平面是绝对平的且是无限延展的，故①正确；对于②，由平面的概念可判断②错误；对于③，可以用三角形表示平面，故③正确；对于④，平面是无限延展的，所以④错误；对于⑤，平面没有厚度，所以⑤错误.所以说法正确的有2个.【变式1-2】下列叙述中，一定是平面的是（）A．一条直线平行移动形成的面B．三角形经过延展得到的面C．组成圆锥的面D．正方形围绕一条边旋转形成的面【答案】B【解析】直线平行移动可以形成平面成曲面，只有在方向不变的情况下才能得到平面，所以A不对；组成圆锥的面叫曲面，所以C不对；正方形围绕一条边旋转形成的面可能是曲面，所以D不对.【变式1-3】有以下命题：①8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；②有一个平面的长是，宽是；③平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】根据平面的特点：没有厚度、宽度、长度、以及平面是无限延展的，三个命题均错.题型二符号的正确使用【例2】根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．（1）点P与直线AB；（2）点C与直线AB；（3）点M与平面AC；（4）点A1与平面AC；（5）直线AB与直线BC；（6）直线AB与平面AC；（7）平面A1B与平面AC.【解析】（1）点P∈直线AB.（2）点C∉直线AB.（3）点M∈平面AC.（4）点A1∉平面AC.（5）直线AB∩直线BC＝点B.（6）直线AB⊂平面AC.（7）平面A1B∩平面AC＝直线AB.【变式2-1】下列命题中，正确命题的个数为()①平面的基本性质1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α；②四边形的两条对角线必相交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】①中，l∈α不对，应为l⊂α；②中，当四边形的四个顶点不共面时，两条对角线不能相交；③中，平面是无限延展的，用平行四边形表示平面，但是平行四边形的边并不表示平面的边界线，故选A．【变式2-2】文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是()A．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A⊂α,A⊂a))⇒A⊂αB．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α,A∈a))⇒A∈αC．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∈α,A⊂a))⇒A∈αD．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∈α,A∈a))⇒A⊂α【答案】B【解析】点与线或面之间的关系是元素与集合的关系，用“∈”表示，线与面之间的关系是集合与集合的关系，用“⊂”表示．【变式2-3】如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝MD．l∩α＝N【答案】A【解析】∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l⊂α.题型三基本事实与推论理解【例3】下列说法错误的是（）A.平面与平面相交，它们只有有限个公共点B.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C.经过两条相交直线，有且只有一个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合【答案】（1）A（2）D【解析】A.平面与平面相交，它们只有有限个公共点；平面与平面相交成一条直线，因此它们有无限个公共点.A错误.B.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；直线和直线外一点确定一个平面，B正确C.经过两条相交直线，有且只有一个平面；两条相交直线确定一个平面，C正确D.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；不共线的三点确定一个平面，D正确故答案选A．【变式3-1】（多选）下列说法中错误的是（）A．不共面的四点中，任意三点不共线B．三条两两相交的直线在同一平面内C．有三个不同公共点的两个平面重合D．依次首尾相接的四条线段不一定共面【答案】BC【解析】由公理2易知选项AD正确；对于选项B：如正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内，故选项B错误;对于选项C:三个不同的公共点可在两平面的交线上.,故选项C错误;故选:BC【变式3-2】若一直线上有两点在已知平面外，则下列结论中正确的是（）A.直线上所有的点都在平面外B.直线上至少有一个点在平面内C.直线上有无数多个点都在平面内D.直线上有无数多个点都在平面外【答案】D【解析】一直线上有两点在已知平面外，则直线与平面平行或相交.直线与平面相交时，有且只有一个点在平面内，故A，C不对；直线与平面平行时，直线上没有一个点在平面内，故B不对.【变式3-3】下列命题中，正确的命题是（）A．任意三点确定一个平面B．三条平行直线最多确定一个平面C．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行【答案】C【解析】在A中，不共线的三点确定一个平面，故A错误；在B中，三条平行直线最多确定三个平面，故B错误；在C中，不同的两条直线均垂直于同一个平面，则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行，故C正确；在D中，一个平面中的两条相交直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行，故D错误．故选：C．题型四四点共面的证明【例4】如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H，分别为AB，AC，BD，CD的中点.求证E，F，G，H，四点共面.【解析】证明：∵E，F，G，H分别为AB，AC，BD，CD的中点，∴EF∥BC，GH∥BC由平行的传递性可知，EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面【变式4-1】如图，已知ABCD−A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且【解析】证明：如图，在DD1上取点N，使DN=1，连接EN，则AE=DN=1，CF=ND因为AE∥DN，ND所以四边形ADNE，CFD从而EN∥AD，且EN=AD，FD又因为AD=BC，AD∥BC，所以EN=BC，EN∥BC，故四边形BCNE是平行四边形，所以CN∥BE，从而FD因此E，B，F，D1【变式4-2】如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：E、C、D1、F四点共面。【解析】连接.∵分别是和的中点，∴.又，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴与确定一个平面，∴四点共面．【变式4-3】下列如图所示是正方体和正四面体，分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．【答案】①②③【解析】在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．题型五多线共面的证明【例5】已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.求证：直线AB，BC，AC共面．【证明】法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α.因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α.因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB⊂α.同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α.因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，同理BC⊂α，AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．【变式5-1】已知四点和直线，且，，，，求证：直线共面.【解析】证明：因为，所以直线与点可以确定平面，如图所示，因为，所以，又，所以.同理可证，，所以，，在同一平面内，即直线，，共面【变式5-2】证明：两两相交且不共点的四条直线必在同一平面内.【证明】如图，直线a，b，c，d两两相交，交点分别为A，B，C，D，E，F，∵直线a∩直线b=∴直线a与直线b确定平面设为α，即a,b⊂α，∵B,C∈a，E,F∈∴B,C,E,F∈α，而B,F∈c，C,E∈∴c,d⊂α，综上，a,b,c,d在同一平面内.【变式5-3】已知一直线与三条平行线都相交，求证：这四条直线在同一个平面内．【解析】设直线l分别与直线a,b,c相交于点A,B,C，因为l与a相交，所以直线l与a共面，又l与b相交，所以直线l与b共面，因为a∥b，所以a,b也共面，所以l与a,b都共面，同理可以证明出l与a,b,c都共面，即四条直线都在同一平面内。题型六三线共点的证明证明三线共点的步骤（1）首先说明两条直线共面且交于一点；（2）说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；（3）得到交线也过此点，从而得到三线共点．【例6】如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线共点．【解析】由题意知：，且，∴直线与必相交，设.∵平面，，∴平面.又平面，，∴平面，即是平面与平面的公共点，又平面平面，∴，∴三线共点．【变式6-1】如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点).【解析】因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰.所以AB，CD必定相交于一点.设AB∩CD＝M.又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β.所以M∈α∩β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共点(相交于一点).【变式6-2】如图，四面体A-BCD中，E，G分别为BC，AB的中点，证明：EF，BD交于一点.【解析】连接GH，EF，∵E,G分别是BC，AB的中点，∴EG∥AC，∵F∈CD，H∈AD，DFFC∴FH∥AC，∴FH∥GE，FH≠GE，则EF，设EF∩GH=O，∵O∈lEF⊂∴O∈平面∵平面BCD∩由基本事实3可知，EF，GH，BD交于一点.题型七三点共线的证明证明三点共线的方法（1）首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．【例7】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．【解析】在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.故P，Q，R三点共线．【变式7-1】如图，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线.【证明】∵AB∥CD，∴AB，CD可确定一个平面，设为平面β，∴AC在平面β内，即E在平面β内.而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，根据