2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题45 直线与直线垂直-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题45直线与直线垂直题型一异面直线的判断【例1】如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________(填序号)．【答案】③【解析】①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．【变式1-1】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为()A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与直线BA1异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条．故选C.【变式1-2】如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论：①直线与是相交直线；②直线与是平行直线；③直线与是异面直线；④直线与是异面直线．其中正确的结论的序号为________．【答案】③④【解析】因为四边不共面，所以直线与是异面直线，所以①错误的；同理，直线与也是异面直线，直线与是异面直线，直线与是异面直线，所以②是错误的；③是正确的，④是正确的，故填③④．【变式1-3】如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段、、和在原正方体中相互异面的有_____对.【答案】3【解析】画出展开图复原的几何体，所以C与G重合，F，B重合，所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：AB与GH，AB与CD，GH与EF，共有3对．故答案为3．【变式1-4】[多选]如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．直线CC1与直线B1E相交B．CC1与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1垂直【答案】ACD【解析】因为CE∥B1C1且CE＝eq\f(1,2)B1C1，所以四边形CEB1C1为梯形．CC1与B1E必相交．A正确．由几何图形可知B错误，C正确．AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，选项D正确.题型二异面直线所成角求解【例2】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．【答案】90°【解析】法一：如右图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.法二：如右图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE∥DB1，HE=eq\f(1,2)DB1，于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．连接HF，设AA1＝1，则EF＝eq\f(\r(2),2)，HE＝eq\f(\r(3),2)，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF，∴HF2＝HI2＋IF2＝eq\f(5,4)，∴HF2＝EF2＋HE2，∴∠HEF＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.法三：如图3，连接A1C1，分别取AA1，CC1的中点M，N，连接MN.∵E，F分别是A1B1，B1C1的中点，∴EF∥A1C1，又MN∥A1C1，∴MN∥EF.连接DM，B1N，MB1，DN，则B1N綊DM，∴四边形DMB1N为平行四边形，∴MN与DB1必相交，设交点为P，则∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k>0)，则MP＝eq\f(\r(2),2)k，DM＝eq\f(\r(5),2)k，DP＝eq\f(\r(3),2)k，∴DM2＝DP2＋MP2，∴∠DPM＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.法四：如图4，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，易得B1Q∥EF，∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k>0)，则B1D＝eq\r(3)k，DQ＝eq\r(5)k，B1Q＝eq\r(2)k，∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.【变式2-1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，取A1D1的中点N，连结MN，B1D1，∵M为棱A1B1的中点，∴MN∥B1D1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD∥B1D1，∴异面直线AM与BD所成角的余弦值为直线AM与MN所成角的余弦值，连结AN，则∠AMN（或其补角）为异面直线AM与BD所成的角，设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2a，则AM=AN=，MN=，在△AMN中，由余弦定理得：cos∠AMN==．【变式2-2】如图所示，点A是△BCD所在平面外一点，AD＝BC，E，F分别是AB，CD的中点，当EF＝eq\f(\r(2),2)AD时，求异面直线AD和BC所成的角．【答案】90°【解析】如图所示，设G为AC的中点，连接EG，FG.∵E，F，G分别为AB，CD，AC的中点．∴EG∥BC，且EG＝eq\f(1,2)BC；FG∥AD，且FG＝eq\f(1,2)AD.又AD＝BC，∴EG＝FG＝eq\f(1,2)AD.∴EG与GF所成的锐角(或直角)即为AD与BC所成的角．在△EFG中，∵EG＝FG＝eq\f(1,2)AD，又EF＝eq\f(\r(2),2)AD，∴EG2＋FG2＝EF2，即EG⊥FG.∴∠EGF＝90°.故AD与BC所成角为90°.【变式2-3】如图正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】连接BC1、A1C1(图略)，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.故异面直线A1B与AD1所成角为60°.题型三直线与直线垂直【例3】如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．【解析】如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH．因为E是AB的中点，且AD=2，所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1．所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角．因为EF=，所以EH2+FH2=EF2，所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°，所以AD⊥BC．【变式3-1】如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD中点．求证：CD1⊥EF.【解析】取CD1的中点G，连接EG，DG，∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC．∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝eq\f(1,2)BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形．且G为CD1的中点，∴DG⊥CD1.∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1，EF所成的角为90°.∴CD1⊥EF.【变式3-2】如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.【解析】如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角，∵GA1=GC1，O为A1C1的中点∴GO⊥A1C1，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，∴DB1⊥EF.【变式3-3】空间四边形ABCD，E