2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题66 点到直线的距离公式-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题66点到直线的距离公式题型一求点到直线的距离1．已知满足，求的最小值__.【答案】.【解析】由于表示点与直线上的点的距离的平方，转化的最小值为点到直线距离的平方，由点到直线的距离公式，可得，所以的最小值为.故答案为：.2．已知点在直线上，则的最小值为______【答案】2【解析】由点在直线上得上，且表示点与原点的距离∴的最小值为原点到直线的距离，即∴的最小值为2故答案为23．已知直线，若成等差数列，则当点到直线的距离最大时，直线的斜率是____.【答案】【解析】根据题意得即，直线的方程为，可化为，所以直线过点，若点到直线的距离最大，则直线，所以，解得.4．在中，已知，，.（1）求边所在的直线方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，边所在的直线方程为，即；（2）设到的距离为，则，，方程为：即：..5．已知中，，，点在函数的图象上运动，问点在何处时，的面积最大，最大面积是多少？【答案】当点点坐标为时，的面积取最大值.【解析】设点横坐标为，当点到直线距离最大时，的面积最大.，，直线方程为：.点到直线距离.，，因此，即，当时，即时，取最大值，的面积取最大值，当点点坐标为时，的面积取最大值.题型二直线围成图形的面积问题6．在x轴上求一点P，使以，和P为顶点的三角形的面积为10．【答案】或.【解析】设，，直线方程是，即，点到直线的距离，，，解得：或，所以点或.7．的四条边所在直线的方程分别是，，，，求的面积．【答案】9【解析】由，，联立求得交点，由，，联立得交点，由，联立得交点，由点到的距离，，故.8．已知直线l过点，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当（O为坐标原点）的面积最小时，求直线l的方程．【答案】．【解析】根据题意，设，则直线l的方程为，由题意，知，因为l过点，所以，解得，因此的面积，化简得，①所以，解得或（舍去），故S的最小值为4，将代入①式，得，所以，所以，此时直线l的方程为．9．已知点、，点在直线上，并且使的面积等于21，求点的坐标.【答案】或【解析】点在直线上，则可设点.直线由两点式可得，得，线段，则点到的距离为.∴三角形面积∴或∴点的坐标为或故答案为或.题型三已知点到直线距离求参数10．已知，和直线：，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为，则点坐标为（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】设点的坐标为，线段的中点的坐标为，，∴的垂直平分线方程为，即，∵点在直线上，∴，又点到直线：的距离为，∴，即，联立可得、或、，∴所求点的坐标为或，故选：BD.11．在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【解析】当直线不存在斜率时，设为，由题意可知：且，没有实数使得两个式子同时成立；当直线存在斜率时，设直线方程为：，点到该直线的距离为2，所以有，点到该直线的距离为3，所以有，由得：或，当时，代入中，得，该方程的判别式，该方程有两个不相等的实数根，当时，代入中，得，该方程的判别式，该方程有两个相等的实数根，所以这样的直线共有三条，故选：C.12．直线通过两直线和的交点，并且点到的距离为，则的方程是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得：，两直线和的交点为．①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即．点到的距离，解得：．直线的方程为．②当直线的斜率不存在时，，不满足题意．综上所述：直线的方程为．故选：C.13．已知，到直线的距离相等，则实数a为________.【答案】1或【解析】两点，到直线的距离相等，，化为．，解得或．故答案为：1或．题型四求到两点距离相等的直线方程14．已知直线过点且与点，等距离，则直线的方程为（）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】解析：设所求直线的方程为，即，由已知及点到直线的距离公式可得，解得或，即所求直线方程为或.故选:D.15．已知点，到经过点的直线l的距离相等，则l的方程为__________．【答案】或．【解析】解：根据题意，当直线l平行于直线AB或过线段AB的中点时，满足题意，若直线l平行于直线AB，则其斜率，此时直线l的方程为，即，若直线l经过AB的中点时，点，，则AB中点的坐标为，当直线l经过线段AB的中点时，l的方程是，综合可得：直线l的方程为：或，故答案为：或．16．过点且与点、距离相等的直线方程是________.【答案】或【解析】分以下两种情况讨论：①所求直线与直线平行，由于直线的斜率为，且所求直线过点，此时，所求直线的方程为，即；②所求直线过线段的中点，由于所求直线过点，此时，所求直线的方程为.综上所述，所求直线方程为或.故答案为：或.17．若过直线与直线的交点作直线，使点，到直线的距离相等，求直线的方程．【答案】，或．【解析】联立两直线方程得直线与直线的交点为．分两种情况：①直线l过线段AB的中点，则直线l的方程为；②直线l与直线AB平行，则故直线l的方程为,综上，直线方程为，或题型五求点关于直线的对称点18．已知，，点为直线上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，点为直线上的动点，设点关于直线的对称点为，则，解得，，，，当，，共线时，的最小值为：．故选：C．19．一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300m和700m，且两村相距500m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？【答案】水电站建在P(90，0)处电线用料最省．【解析】解：如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，则点A(0，300)，B(x，700)．设点B在y轴上的射影为H，则x＝|BH|＝＝300，故点B(300，700)．设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)，则直线A′B的斜率k＝，直线A′B的方程为y＝x－300.令y＝0，得x＝90，得点P(90，0)，故水电站建在P(90，0)处电线用料最省．20．已知点A(4，-1)，B(8，2)和直线l：x-y-1=0，动点P(x，y)在直线l上，求|PA|+|PB|的最小值.【答案】【解析】求关于直线的对称点，则，解得，即，连接交直线于点，则此时取得最小值．21．已知△ABC的内角平分线CD的方程为，两个顶点为A(1，2)，B(﹣1，﹣1)．（1）求点A到直线CD的距离；（2）求点C的坐标．【答案】（1）（2）【解析】（1）点到直线的距离；（2）依题意，点关于直线的对称点在边上，设.则，解得，即.∴直线的方程为.联立直线与的方程，解得点的坐标为.题型六求两点的对称轴22．将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知得折线为点和的垂直平分线，两点和连线段的中点为,斜率为，∴其垂直平分线的斜率为1，垂直平分线方程为y=x+2，设点关于直线的对称点为,则，解得，故选：A.23．原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是A．x+2y=0 B．2x﹣y+5=0 C．2x+y+3=0 D．x﹣2y+4=0【答案】B【解析】由题意可得直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为（﹣2，1），求出OA的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果．解：∵已知O（0，0）关于直线l的对称点为A（﹣4，2），故直线l为线段OA的中垂线．求得OA的中点为（﹣2，1），OA的斜率为=﹣，故直线l的斜率为2，故直线l的方程为y﹣1=2（x+2），化简可得：2x﹣y+5=0．故选B．题型七光的反射问题（2）——直线关于直线的对称问题24．如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】点关于轴的对称点坐标是，设点关于直线的对称点，由，解得，根据光的反射原理，可得、都在直线上，故光线所经过的路程等于.故选：C.25．在等腰直角三角形中，，点P是边上异于A、B的一点，光线从点P出发，经、反射后又回到点P（如图所示），若光线经过的重心，则（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】建立如图所示的直角坐标系：可得，故直线BC的方程为，的重心为，即设，其中，则点P关于直线BC的对称点，满足，解得，即，P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k，故直线QR的方程为，由于直线QR过的重心，代入化简可得，解得，或（舍去），故，故故选：C26．已知，，从点射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为（）A． B．6 C． D．【答案】D【解析