2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题73 双曲线及其标准方程-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题73双曲线及其标准方程题型一利用双曲线定义求方程1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，，；（2）焦点在x轴上，经过点，（3）焦点为，，且经过点．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为，因为，，所以双曲线方程为；（2）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为，因为经过点，，代入可得，令，可得，解得，所以，所以双曲线方程为：；（3）因为焦点为，，所以c=6，且交点在y轴，因为过点且经过点，根据双曲线定义可得，解得，又，所以双曲线方程为：；2．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程．【答案】炮弹爆炸点在双曲线上，方程为.【解析】以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则，设爆炸点为，则，根据双曲线的定义可得，M在双曲线上，且，所以，所以，所以点M的轨迹方程为：.3．一块面积为12公顷的三角形形状的农场，如图所示△PEF，已知，，试建立适当直角坐标系，求出分别以E，F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.【答案】=1.【解析】以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，设以，为焦点且过点的双曲线方程为，焦点为，．由，，，得直线和直线的方程分别为和．将此二方程联立，解得，，即点坐标为，．在中，，上的高为点的纵坐标，由题设条件，，即点坐标为．由两点间的距离公式，．又，故所求双曲线的方程为．题型二双曲线定义的应用4．已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为A． B． C． D．【答案】B【解析】曲线右焦点为，周长要使周长最小，只需最小，如图：当三点共线时取到,故l=2|AF|+2a=故选B5．双曲线16x2-9y2=144的左､右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=64，则∠F1PF2=________.【答案】60°【解析】双曲线方程16x2-9y2=144，可化为，∴F1(-5,0)，F2(5,0).设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义，知|m-n|=2a=6，又m·n=64，在△PF1F2中，由余弦定理知：，∴∠F1PF2=60°.故答案为：60°.

6．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________．【答案】【解析】对于双曲线，则，，，如下图所示：设双曲线的右焦点为，则，由双曲线的定义可得，则，所以，，当且仅当、、三点共线时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为：.7．如图，若是双曲线的两个焦点.（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.【答案】（1）10或22；（2）.【解析】解：（1）是双曲线的两个焦点，则，点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，则由双曲线定义可知，，解得或，即点到另一个焦点的距离为或；（2）P是双曲线左支上的点，则，则，而，所以，即，所以为直角三角形，，所以.8．已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，求的最小值.【答案】9【解析】由题意可知，点在双曲线的两支之间，设双曲线的右焦点为,则，由双曲线定义，得，而，两式相加，得，当且仅当三点共线时等号成立，则的最小值为9.题型三根据方程表示双曲线求参数的范围9．若方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是（）A．(－2，2) B．(0，＋∞)C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【答案】A【解析】由题意，方程＝1表示双曲线，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A.10．方程表示的曲线为，下列正确的命题是（）A．曲线不可能是圆；B．若，则曲线为椭圆；C．若曲线为双曲线，则或；D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则.【答案】CD【解析】①，当时为曲线C为圆,故A错误；②若C为椭圆得：解得：且，故B错误；③若为双曲线，解得；或，故C正确；④表示焦点在轴上的椭圆，得解得，故D正确．故选：.11．已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________.【答案】【解析】根据双曲线标准方程且焦点在y轴上，∴，解得，即m的范围为.故答案为：.题型四双曲线的轨迹问题12．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆【答案】B【解析】连接ON，如图，由题意可得|ON|＝1，且N为线段MF1的中点，∴|MF2|＝2，∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，∴由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，∴由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，故选：B13．已知双曲线与直线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？【答案】答案见解析【解析】联立方程可得，因为有唯一公共点且，则，整理得，可解得点坐标为，即，其中，于是，过点M且与l垂直的直线为，可得，即，则，即，其中，所以点的轨迹方程是（），轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点），如果将此题推广到一般双曲线，直线，其它条件不变，可得点的轨迹方程是，轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为的双曲线（去掉两个顶点）.14．M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程．【答案】.【解析】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域，所以点到直线的距离，到直线的距离，即所以动点M的轨迹方程：.15．已知