2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题83 导数综合题型复习归类-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题83导数综合题型复习归类【题型一】利用导数求极值【例1】已知函数在上不存在极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求导数，根据，即可求得实数的取值范围.【详解】，因为函数在上不存在极值点，所以在上没有变号零点，所以所以，所以实数t的取值范围是．故选：D．【例2】若函数存在极值点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由存在变号零点，结合三角函数的性质得出的取值范围.【详解】令，得，因为函数存在极值点，所以，即选：C【例3】函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】B【分析】由题可得，再用表示出，，进而可得，构造函数，利用导数求最值即得.【详解】因为，（）所以，即有两个正根，∴，即：，又∵，，，，∴，令，，∴在上单调递减，∴，故选：B.【例4】已知的定义域为且满足，为的导函数，，则下列结论正确的是（

）A．有极大值无极小值B．无极值C．既有极大值也有极小值D．有极小值无极大值【答案】B【分析】令，根据题意得到，设，利用导数求得在区间单调递增，得到，由，得到，即函数为单调递增函数，得到函数无极值.【详解】令，可得，因为，可得，设，可得，所以在区间单调递增，又由，所以，所以，所以单调递增，因为且，可得，因为，可得，则，所以函数为单调递增函数，所以函数无极值.故选：B.【题型二】利用导数求最值【例1】已知函数，若函数在区间上有最值，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：，，∴.当时，在上恒成立，即函数在上单调递减，函数在区间上无最值；当时，设，则，在上为减函数，又，若函数在区间上有最值，则函数有极值，即有解，∴，得.故选A.【例2】．已知函数，若函数在区间上恰有一个最值点，则实数a的取值范围是(

)．A． B．C． D．【答案】A【分析】令，结合已知条件可知，数在区间上恰有一个最值点可转化为在区间上存在唯一的变号零点，然后利用零点存在的基本定理求解实数a的取值范围，然后通过a的取值范围检验在区间上最值点的唯一性即可.【详解】令，若函数在区间上恰有一个最值点，则函数在区间上恰有一个极值点，从而在区间上存在唯一一个变号零点，故，即，解得，此时在区间上恒成立，则在区间上单调递减，即在区间上存在唯一一个零点，即在上恰有一个最值点．从而实数a的取值范围是．故选：A.【例3】已知函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围是_____________．【答案】【详解】由题可得，因为函数在区间上存在最值，所以，即，解得，故实数的取值范围是．【例4】若函数在上存在最值，则实数的取值范围为A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求得导函数的解析式，然后分类讨论和两种情况即可确定实数的取值范围.【详解】由题可得，当时，，函数在上单调递减，不存在最值；当时，令，可得，易得函数在上单调递增，在上单调递减，若函数在上存在最值，则，即，所以实数的取值范围为，故选A．【例5】函数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A根据周期性只需考虑函数最值，结合得时函数取得最大值，利用导函数分析单调性，结合隐零点求解最值.【详解】由题，只需考虑函数最值即可，，所以当即时函数取得最大值，，考虑函数，，所以必存在唯一零点，，且递减，递增，记，由正弦函数单调性可得：函数递增，函数递减，所以函数，解得，所以.故选：A【题型三】利用导数求单调性解不等式【例1】已知函数，若的解集为，且中只有两个整数，则（

）A．无最值 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】D【分析】原不等式化为，设，画出函数图象，结合函数图象列不等式求解即可.【详解】由，得，设，，所以在的上单调递增，在单调递减，而的图象是一条恒过点的直线，函数与的图象如图所示，依题意得，，若中只有两个整数，这两个整数只能是1和2，则，即，解得，故的最小值为，故选：D.【例2】已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题目特征构造函数，先根据的对称性得到的图象关于对称且，根据的单调性解不等式得到解集，再根据【详解】根据题意，设，则，则有，，即有，故函数的图象关于对称，则有，当时，，，又由当时，，即当时，，即函数在区间为增函数，由可得，即，，函数的图象关于对称，函数在区间为增函数，且在上恒成立，由可得，即，此时不存在.综上：不等式解集为.故选：A【例3】在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将不等式转化为，分别研究两个函数的性质，确定的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小的取值范围，列出不等式组，求出结果.【详解】由，化简得：，设，，则原不等式即为.若，则当时，，，原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴.∵，，∴.当，即时，设，则.设，则在单调递减，所以，所以在单调递减，∴，∴当时，，∴在上为减函数，即，∴当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于2的整数.要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则，即，解得.则实数的取值范围为.故选：D【例4】若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】C【分析】由题可知，设函数，，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围.【详解】设函数，，因为，所以，或，因为时，，或时，，，其图象如下：当时，至多一个整数根；当时，在内的解集中仅有三个整数，只需，，所以.故选：C.【题型四】利用导数定义求切线倾斜角【例1】曲线在处的切线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的导函数，进而求出时，，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出，利用万能公式求出结果.【详解】，当时，，所以，由万能公式得：所以故选：B【例2】设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是A． B．C． D．【答案】B【详解】试题分析：因，故切线斜率，切线倾斜角的取值范围是．【例3】已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求，结合已知根据导数的几何意义可得，即对任意恒成立，再利用基本不等式求出即可.【详解】因为，所以，因为曲线在处的切线的倾斜角是均不小于的锐角，所以对于任意的恒成立，即对任意恒成立，所以，又，当且仅当，即时，等号成立，故，所以的取值范围是.故选：C【例4】已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据导数的几何意义求得切线斜率的取值范围，再根据倾斜角与斜率之间的关系求得倾斜角的取值范围.【详解】因为，由于，所以，根据导数的几何意义可知：,所以，故选：D.【题型五】利用导数研究函数零点【例1】若函数有零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将零点问题转化为两个函数交点问题，构造函数，考察函数的极值及变化速率的关系可得.【详解】易知，当时，函数恒成立，不满足题意因为所以函数有零点，有零点，则方程有解，即方程有解即函数与的图象在上有交点，易知时，时，故，，当时，易知时，时，故，因为恒成立，所以此时无交点；当时，易知时，时，故，易知，当时，必有，所以当时，两函数图象一定有交点.令，因为，故函数单调递增，且，所以，当时，，即成立.当，时，当时，，此时，故两函数图象在上有交点.综上，b的取值范围为故选：C【例2】已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分类讨论，当时利用函数的单调性可得函数至多有一个零点；当时，分别讨论函数，，，，的零点情况，进而可得，或a=−12ea=−1，或，即求.【详解】当时，在上单调递减，又，所以函数在上没有零点，在上单调递增，所以函数在上至多有一个零点，故当时，函数在R上至多有一个零点，不合题意；当时，，，令，得，∴时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，∴时，函数有最大值，，∴当，即时，函数在上没有零点，当，即时，函数在上有一个零点，当，即时，函数在上有两个零点；对于，，对称轴为，函数在上最小值为，又，∴当，即，函数在上没有零点，当，即，函数在上有一个零点，当，即，函数在上有两个零点；所以要使函数恰有两个零点则，或a=−12ea=−1，或解得或；综上，实数的取值范围是或.故选：C.【例3】已知，若存在唯一的零点，且，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分类讨论：当时，容易判断出不符合题意；当时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值，解出即可．【详解】解：当时，，解得，函数有两个零点，不符合题意，应舍去；当时，令，解得或，列表如下：x000单调递增极大值单调递减极小值单调递增，，而，存在，使得，不符合条件：存在唯一的零点，且，应舍去，当时，，解得或，列表如下：x000单调递减极小值单调递增极大值单调递减而，时，，存在，使得，存在唯一的零点，且，极小值，化为，，，综上可知：a的取值范围是．故选:．【例4】已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先将函数化为，令，进而只需说明在R上有两个零点，然后对函数求导，讨论出函数的单调区间和最值，最后通过放缩法解决问题.【详解】，设，，即函数在上单调递增，易得，于是问题等价于函数在R上有两个零点，，若，则，函数在R上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；若，则时，，单调递减，时，，单调递增.因为函数在R上有两个零点，所以，而，限定，记，，即在上单调递增，于是，则时，，此时，因为，所以，于是时，.综上：当时，有两个交点，a的最小整数值为2.故选：C.【题型六】利用导数求函数切线【例1】已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由两条直线的公切线，表示出切点坐标，构造函数，利用导函数求得极值点；根据极值点，求出两侧的单调性，再根据单调性求得的最大值．【详解】的公共切点为，设切线与的图象相切与点由题意可得，解得所以令则令，解得当时，当时，，函数在上单调递增当时，，函数在上单调递减当t从右侧趋近于0时，趋近于0当t趋近于时，趋近于0所以所以选B【例2】已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足A． B．C． D．【答案】D【详解】函数的导数为，图像在点处的切线的斜率为，切线方程为，即，设切线与相切的切点为，，由的导数为，切线方程为，即，∴，．由，可得，且，解得，消去，可得，令，，在上单调递增，且，，所以有的根，故选D.【例3】已知曲线与直线相切，且满足条件的值有且只有个，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设切点坐标为，求出曲线在处的切线方程，将点的坐标代入切线方程可得出，可知关于的方程有三个解，由参变量分离法可得出，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】设切点坐标为，对函数求导得，所以，曲线在处的切线方程为，因为直线过定点，将点的坐标代入切线方程得，由题意可知，关于的方程有三个解，显然不满足方程，则，令，则，列表如下：增减极小值减所以，函数的极小值为，且，如下图所示：由题意可知，当时，直线与曲线有三个交点，故选：D.【例4】已知过点与曲线相切的直线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，求出切线的斜率，得到切线方程，代入(0,-1),利用方程.由两个不相同的实数解，构造函数通过函数的导数，利用函数的极值转化求解即可.【详解】由曲线，可设切点坐标为，且，即切线的斜率可得切线方程为，又因为切线过点，即，整理得题中相切的直线有且仅有两条等价于方程由两个不相同的正实数解；令，即函数有两个正的零点。因，可解得又，可得所以实数a的取值范围是故选：A【题型七】利用导数研究单调性求参数【例1】定义在上的函数与函数在上具有相同的单调性，则的取值范围是A． B．[ C． D．【答案】B【分析】通过题意可知为减函数，利用导数可以求得的取值范围.【详解】因为，所以为减函数，即在也为减函数；，即在恒成立，所以,故选B.【例2】已知函数，，，当在区间时成立，则称和在区间上单调性一致，若和在区间上的单调性一致，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】需分别对求导，由得，由，可判断只需求，分离参数结合恒成立问题即可求解；【详解】由和在区间上的单调性一致，即在区间上成立，，，，即恒成立，得，解得.故的最小值为故选：C【例3】已知定义在上的函数与函数有相同的奇偶性和单调性，若，则不等式的解集为_______.【答案】.首先利用定义判断出是奇函数，利用导数判断出是减函数，从而得到是定义在上的奇函数且在区间上是减函数，根据，得到，将转化为，进而求得结果.【详解】∵，∴，，∴函数是奇函数，又在区间上是减函数，∴是定义在上的奇函数且在区间上是减函数，∵，∴，又∵，∴，又∵在区间上是减函数，∴，即，∴所求不等式的解集为，故答案为：.【例4】若函数在区间上具有单调性，则a的取值范围是________．【答案