2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题7 基本不等式（1）-2024一轮数学题型细分与精练（解析版）

07基本不等式（1）题型一由基本不等式比较大小1．设，其中，是正实数，且，，则与的大小关系是（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，都是正实数，且，∴，即，又∵，，即，∴，故选B.2．已知，，，，，则，，的大小关系为（）.A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，，故，则，即，结合可得：，两边乘以可得：，即.据此可得：.故选D.3．已知，，且，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】A．因为，所以，所以，取等号时，故正确；B．因为，取等号时，故正确；C．因为，取等号时，故错误；D．因为，所以，取等号时，故正确.故选：ABD.4．设，，下列不等式恒成立的是（）.A． B．C． D．E.若，则【答案】ABC【解析】解：对于选项A，由于，，故A恒成立；对于选项B，由于，，，当且仅当时，等号成立，故B恒成立；对于选项C，由于，，，当且仅当时，等号成立，故C恒成立；对于选项D，当时，，故D不恒成立；对于选项E，，，，当且仅当时，等号成立.故E不恒成立，即不等式恒成立的是ABC，故选ABC.题型二由基本不等式证明不等关系1．若，，，则下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，因为，所以，所以A不正确；对于B，若，设，得，所以当且仅当时，等号成立，所以B正确；对于C，因为，由，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以C不正确；对于D，由上面可知，则，得，所以D不正确；故选：B2．已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证：(-1)(-1)(-1)≥8．【答案】证明见解析【解析】主要考查不等关系与基本不等式．证明：因为a,b,c且a+b+c=1，所以．3．已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.【答案】证明见解析【解析】∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝，＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋，≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时取等号，所以＋＋>9.4．已知，，，求证：.【答案】见解析【解析】，.，，.∴成立，故原不等式成立.5．已知,求证:.【答案】见解析【解析】设,则,且.同理,.所以原不等式的左边.当且仅当,且,即时,等号成立.题型三基本不等式求积的最大值1．如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点在直径上，顶点在圆周上，则矩形面积的最大值为（）（单位：cm2）.A．8 B．10C．16 D．20【答案】C【解析】设BC=x，连结OC，得OB=，所以AB＝2，所以矩形面积S＝2，x∈（0，4），S＝2．即x2＝16﹣x2，即x＝2时取等号，此时故选：C2．已知为正数，，则的最大值为（）A． B． C． D．2【答案】D【解析】，当且仅当时，取得最大值.故选：D3．(1)已知x,,求的最大值;(2)求满足对a,有解的实数k的最大值,并说明理由.【答案】(1)(2).见解析【解析】(1)∵x,,∴,当且仅当时,对等号,∴当时,的最大值为.(2)∵a,,∴设,,,,∴,∵满足对a,有解的实数k的最大值,∴,∴,解得,∴满足对a,有解的实数k的最大值为.4．我们学习了二元基本不等式：设,,,当且仅当时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值.（1）对于三元基本不等式请猜想：设当且仅当时，等号成立（把横线补全）.(2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明：设求证：(3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值：设求的最大值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】（1）通过类比,可以得到当,,时,当且仅当时,等号成立；（2）证明：,,,由（1）可得,（3）解：由（1）可得,,即,由题,已知,,,,,，,当且仅当,即时取等,即的最大值为5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，a＋b＝λ，若△ABC面积的最大值为9，求λ的值．【答案】12【解析】S△ABC＝absinC＝ab，根据基本不等式,当且仅当a=b时，等号成立,∴S△ABC＝ab≤·，令＝9，解得λ＝12.题型四基本不等式求和的最小值1．设x，y均为正数，且xy+x-y-10=0，则x+y的最小值是_______.【答案】【解析】由xy+x-y-10=0，得=，故，当且仅当，即y=2时，等号成立．故答案为：.2．若，则的最小值为________．【答案】【解析】由于，所以，当且仅当且时等号成立，即时等号成立.所以的最小值为.故答案为：3．已知ab＞0，则的最小值为_____.【答案】4.【解析】解：根据题意，ab＞0，故，当且仅当a＝2b时等号成立，则原式，又由ab＞0，则4ab+1＞1，则有4，当且仅当4ab+1＝2，即4ab＝1时等号成立，综合可得：的最小值为4，当且仅当a＝2b时等号成立故答案为：4.4．设，则的最小值为__________.【答案】4【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，此时的最小值为．故答案为：.题型五二次与二次（或一次）的商式的最值问题1．若，则当取最大值时的值为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】变形，可得，，，原式，当且仅当，即时取等号，因此，取最大值时.故选：D.2．（1）若，且，求的最小值；（2）若，求的最大值．【答案】（1）18；（2）-1.【解析】（1）由，得，，当且仅当时取等号故当，取最小值18.（2）若，则当且仅当时取等号.即若，的最大值为．3．（1）求当时，的最小值；（2）求当时，的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当