2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题18 对数函数-2024一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题18对数函数题型一对数函数的定义域和值域1．函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为，又，所以函数是奇函数，故排除A，C；又因为，故排除D.故选：B2．已知函数，给出下述论述，其中正确的是（）A．当时，的定义域为B．一定有最小值C．当时，的定义域为D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是【答案】A【解析】对A，当时，解有，故A正确；对B，当时，，此时，，此时值域为，故B错误；对C，由A，的定义域为，故C错误；对D，若在区间上单调递增，此时在上单调递增，所以对称轴，解得，但当时，在处无定义，故D错误.故选：A.3．已知函数，若它的定义域为，则a_________，若它的值域为，则a__________．【答案】【解析】函数的定义域为，则恒成立，故，即；函数为，则是函数值域的子集，则，即.故答案为：；.4．设，若t在上变化时，y恒取正值，则x的取值范围是________．【答案】【解析】设，，则问题转化为：对恒成立，∴，则，∴，即，得或．故x的取值范围是．故答案为：．5．函数的定义域为____________；单调增区间____________；单调减区间____________；值域是____________．【答案】【解析】由，解得，所以函数的定义域为；因为在上单调递增，在上单调递减，且在上单调递减，所以函数的减区间是，增区间为；因为，所以，以为在上是减函数，且，所以函数的值域为；故答案为：①；②；③；④.6．已知函数的值域为，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】由题意知的值域为，故要使的值域为，则必有为增函数，且，所以，且，解得.故答案为：7．已知函数.（1）当时，求；（2）求解关于的不等式；（3）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，的解集为，当时；（3）.【解析】（1）当时，（2）由得：或当时，解不等式可得：或当时，解不等式可得：或综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为（3）由得：或①当时，，或，解得：②当时，，或，解得：综上所述：的取值范围为题型二对数函数的图像问题1．如果函数的反函数是增函数，那么函数的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数的反函数是增函数，可得函数为增函数，所以，所以函数为减函数，可排除B、D；又由当时，，排除A.故选：C.2．若关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知关于的不等式在恒成立，所以当时，函数的图象不在的图象的上方，由图可知，解得.故选：A3．函数的图象大致为A． B．C． D．【答案】A【解析】解：函数的定义域为，因为，所以为偶函数，所以排除C,D,又因为当时，，当时，，所以排除B故选：A.4．函数的图象为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】按照流程：1.图像向上平移1个单位；2.轴左边的图像不要，在轴左边画与轴右边对称的图像；3.图像向右平移2个单位。故选A．5．函数.（且）的图像恒过定点，若点在直线上（其中，），则的最小值等于__________.【答案】8【解析】由题可知，恒过定点，又点在直线上，故，，当且仅当时取到等号，故的最小值等于8故答案为：86．函数，的图像如图所示.（1）试根据函数的增长差异指出，，分别对应的函数；（2）以两图像交点为分界点，对，的大小进行比较.【答案】（1）对应的函数为；对应的函数为；（2）见解析.【解析】（1）对应的函数为；对应的函数为.（2）当时，；当时时，；当时，；当或时，.题型三对数函数的单调性1．函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，而对数函数在上是减函数，在上是增函数，所以函数单调递增区间为．故选：C2．设是定义在上以为周期的偶函数，已知当时，，则函数在上（）A．是增函数，且 B．是增函数，且C．是减函数，且 D．是减函数，且【答案】D【解析】是定义在上以为周期的偶函数，由时，是增函数且，得函数在上为减函数且，由周期为知函数在上是减函数，且.故选：D.3．函数f(x)＝的单调递增区间为（）A．(－∞，－2) B．(－∞，)C．(－2，) D．(5，＋∞)【答案】A【解析】由题意，得x2－3x－10>0，∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5．令u＝x2－3x－10，函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的单调递减区间，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递减，所以函数f(x)＝的单调递增区间为(－∞，－2).故选：A．4．已知函数，若实数是方程的解，且，则的值()A．恒为正值 B．恒为负值 C．等于0 D．不能确定【答案】A【解析】由于实数是方程的解，则，由于在上递减,在上递增，则在上递减，由于,则，即有，本题选择A选项.5．已知集合，定义在集合A上的函数的最大值比最小值大1，则底数a的值为_______．【答案】或【解析】当时，在区间为减函数，所以，解得.当时，在区间为增函数，所以，解得.综上：或故答案为：或题型四对数函数的最值及参数问题1．已知，，若，，使得，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】若，，使得，则.由于函数在区间上为增函数，则，由于函数在区间上为减函数，则，所以，，解得.故选：D.2．设函数，且．（1）求的值；（2）若令，求实数t的取值范围；（3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值．【答案】（1）6；（2）；（3），此时；，此时．【解析】（1）；（2），又，，，所以t的取值范围为；（3）由，令，，当时，，即，解得，所以

，此时；当时，，即，，此时．3．已知函数.（1）求函数的解析式以及它在区间，上的最小值；（2）求函数在区间，的最大值及相应的的值.【答案】（1），最小值；（2）最大值为，.【解析】解：（1）由，得，函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为，在区间，上单调递增，在，上单调递减，又，，；（2）令，在，上单调递增，故，，而在区间，上是单调递增的，在时有最大值，故函数在区间，的最大值为，此时，即.4．已知函数f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域．（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[1，2]上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（﹣∞，）；（2）不存在，理由见解析.【解析】解：（1）要使得函数f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）有意义，只需要3﹣ax＞0，解得x＜，所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，）．（2）假设存在实数a，使函数f（x）在[1，2]上单调递减，并且最大值为1，令u＝3﹣ax，则u＝3﹣ax在[1，2]上的函数值恒为正，因为a＞0，a≠1，所以u＝3﹣ax在[1，2]上单调递减，所以3﹣2a＞0，解得a＜，所以a∈（0，1）∪（1，），又函数f（x）在[1，2]上单调递减，所以a＞1，所以a∈（1，），因为函数f（x）在[1，2]上的最大值为1，所以f（1）＝1，即loga（3﹣a）＝1，所以a＝，因为a＝与a∈（1，）相矛盾，所以不存在实数a，使得函数f（x）在[1，2]上单调递减，并且最大值为1．5．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．【答案】实数m的取值范围是.【解析】解：