2024年初中升学考试真题模拟卷湖南省邵阳市中考数学试卷

第1页（共1页）2023年湖南省邵阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）1．（3分）2023的倒数是（）A．﹣2023 B．2023 C． D．2．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）党的二十大报告提出，要坚持以文塑旅、以旅彰文，推进文化和旅游深度融合发展．湖南是文化旅游资源大省，深挖红色文化、非遗文化和乡村文化，推进文旅产业赋能乡村振兴．湖南红色旅游区（点）2022年接待游客约165000000人次，则165000000用科学记数法可表示为（）A．0.165×109 B．1.65×108 C．1.65×107 D．16.5×1074．（3分）下列计算正确的是（）A．＝a2 B．（a2）3＝a5 C．＝a+b D．（﹣）0＝15．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1＝50°，则∠2的大小为（）A．40° B．50° C．70° D．130°6．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（）A． B． C． D．7．（3分）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（）A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（）A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C10．（3分）已知P1（x1，y1）P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）11．（3分）的立方根是．12．（3分）因式分解：3a2+6ab+3b2＝．13．（3分）分式方程﹣＝0的解是．14．（3分）下表是小红参加一次“阳光体育”活动比赛的得分情况：项目跑步花样跳绳跳绳得分908070评总分时，按跑步占50%，花样跳绳占30%，跳绳占20%考评，则小红的最终得分为．15．（3分）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为．16．（3分）如图，某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8cm，那么这张扇形纸板的面积为cm2．（结果保留π）17．（3分）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为．18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB'，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为．​三、解答题（本大题有8个小题，第19-25题每题8分，第26题10分，共56分，解答应写出必要的文字说明、验算步骤或证明过程）19．（8分）计算：tan45°+（）﹣1+|﹣2|．20．（8分）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝．21．（8分）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．（1）证明：△ABC∽△DEB．（2）求线段BD的长．22．（8分）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？23．（8分）某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A（优）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．现从中随机抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出了如下频数分布图和如图所示的条形统计图（不完整）．请根据图表中的信息回答下列问题．等级频数频率Aa0.2B1600bC14000.35D2000.05（1）求频数分布表中a，b的值．（2）补全条形统计图．（3）该市九年级学生约80000人，试估计该市有多少名九年级学生可以评为“A”级．24．（8分）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°，求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到1m/s）．（参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42）25．（8分）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平形线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ，PQ交AC于F．（1）证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ＝120°．（2）当为何值时，△AQF是直角三角形？​26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．​

2023年湖南省邵阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）1．（3分）2023的倒数是（）A．﹣2023 B．2023 C． D．【分析】由倒数的意义可得出结论．【解答】解：由倒数的定义可知：2023的倒数是，故选：C．【点评】本题考查了倒数的定义及应用，明确倒数的概念是解题的关键．2．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】由中心对称图形的定义可得出结论．【解答】解：由中心对称图形可知：A、该图形旋转180°可与原图形重合，故本选项正确；B、C、D中图形旋转180°均未与原图形重合；故选：A．【点评】本题考查了旋转的知识，掌握中心对称图形的概念是关键．3．（3分）党的二十大报告提出，要坚持以文塑旅、以旅彰文，推进文化和旅游深度融合发展．湖南是文化旅游资源大省，深挖红色文化、非遗文化和乡村文化，推进文旅产业赋能乡村振兴．湖南红色旅游区（点）2022年接待游客约165000000人次，则165000000用科学记数法可表示为（）A．0.165×109 B．1.65×108 C．1.65×107 D．16.5×107【分析】由科学记数法a×10n（0＜a＜10）可得出结论．【解答】解：165000000＝1.65×108，故选：B．【点评】本题考查了用科学记数法a×10n表示较大的数，注意数a的取值范围是解题的关键．4．（3分）下列计算正确的是（）A．＝a2 B．（a2）3＝a5 C．＝a+b D．（﹣）0＝1【分析】分别根据分式的加减法则、幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂的运算法则对各选项进行逐一计算即可．【解答】解：A、＝a3，原计算错误，不符合题意；B、（a2）3＝a6，原计算错误，不符合题意；C、+＝，原计算错误，不符合题意；D、（﹣）0＝1，正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是分式的加减法，涉及到幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．5．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1＝50°，则∠2的大小为（）A．40° B．50° C．70° D．130°【分析】根据对顶角相等，可得∠1＝∠3，又由平行线的性质，求得∠2的度数．【解答】解：如图所示：∵a∥b，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠3，∠1＝50°，∴∠1＝∠2＝50°．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质与对顶角的性质，注意掌握两直线平行，内错角相等是解此题的关键．6．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（）A． B． C． D．【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得，x＜1，由②得，x≥﹣2，在数轴上表示为：．故选：A．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．（3分）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（）A． B． C． D．【分析】根据题意，画出图形即可，再根据数据进行分析．【解答】解：，三位数有6个，是5的倍数的三位数是：465，645；三位数是5的倍数的概率为：；故选：C．【点评】本题主要考查了概率的相关知识，难度不大，认真分析即可．8．（3分）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（）A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）【分析】由题意，首先根据B的坐标求出k，然后可设E（a，），再由正方形ADEF，建立关于a的方程，进而得解．【解答】解：∵点B的坐标为（2，4）在反比例函数y＝上，∴4＝．∴k＝8．∴反比例函数的解析式为y＝．∵点E在反比例函数上，∴可设（a，）．∴AD＝a﹣2＝ED＝．∴a1＝4，a2＝﹣2．∵a＞0，∴a＝4．∴E（4，2）．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时需要理解并能灵活运用．9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（）A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；C、由AB∥CD，AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．10．（3分）已知P1（x1，y1）P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+3的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∴①正确；当x＝0时，y＝3，则点点（0，3）在抛物线上，∴②正确；当a＞0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；当a＜0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＜y2；∴③错误；当y1＝y2，则x1+x2＝﹣4，∴④错误；故正确的有2个，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）11．（3分）的立方根是2．【分析】先求出的值，再根据立方根的定义解答即可．【解答】解：＝8，＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是立方根及算术平方根，熟知如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根是解题的关键．12．（3分）因式分解：3a2+6ab+3b2＝3（a+b）2．【分析】先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：3a2+6ab+3b2，＝3（a2+2ab+b2），＝3（a+b）2．【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底．13．（3分）分式方程﹣＝0的解是4．【分析】确定最简公分母去分母将分式方程化为一元一次方程即可得出结论．【解答】解：﹣＝0分式两边同乘以x（x﹣2）得：2（x﹣2）﹣x＝0，去括号得：2x﹣4﹣x＝0，合并化系数为1得：x＝4．检验：当x＝4时，x（x﹣2）≠0，∴原分式方程的解为：x＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了解分式方程，能正确找到最简公分母是解题的关键．14．（3分）下表是小红参加一次“阳光体育”活动比赛的得分情况：项目跑步花样跳绳跳绳得分908070评总分时，按跑步占50%，花样跳绳占30%，跳绳占20%考评，则小红的最终得分为83分．【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．【解答】解：小红的最终得分为：90×50%+80×30%+70×20%＝83（分）．故答案为：83分．【点评】本题考查的是加权平均数，熟记加权平均数的计算公式是解决本题的关键．15．（3分）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为50°．【分析】利用圆的切线的性质定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可．【解答】解：∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°．∵∠ABC＝65°，∴∠OBA＝∠OBC﹣∠ABC＝25°．∵OB＝OA，∴∠OAB＝∠OBA＝25°，∴∠BOD＝2∠OAB＝50°．故答案为：50°．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．16．（3分）如图，某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8cm，那么这张扇形纸板的面积为240πcm2．（结果保留π）【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：这张扇形纸板的面积＝•2π•8•30＝240π（cm2）．故答案为：240π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17．（3分）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为1000（1+x）2＝1440．【分析】根据2022年底绿化面积×（1+年平均增长率）2＝2024年底绿化面积，列出一元二次方程即可．【解答】解：根据题意得：1000（1+x）2＝1440，故答案为：1000（1+x）2＝1440．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB'，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为﹣2．​【分析】根据折叠的性质得出B'在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，当点P在DC．上时，当P在AD．上时，即可求解．【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，∴BC＝AD＝，AC＝＝，如图所示，当点P在BC．上时，∵AB'＝AB＝2，.∴B'在A为圆心，2为半径的弧上运动，当A，B'，C三点共线时，CB最短，此时CB'＝AC﹣AB'＝﹣2，当点P在DC．上时，如图所示，此时CB'＞﹣2，当P在AD上时，如图所示，此时CB'＞﹣2，综上所述，CB'的最小值为﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．三、解答题（本大题有8个小题，第19-25题每题8分，第26题10分，共56分，解答应写出必要的文字说明、验算步骤或证明过程）19．（8分）计算：tan45°+（）﹣1+|﹣2|．【分析】分别根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式＝1+2+2＝5．【点评】本题考查的是实数的运算，涉及到特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质，熟知以上知识是解题的关键．20．（8分）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝．【分析】利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解．【解答】解：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2＝a2﹣（3b）2+（a2﹣6ab+9b2）＝a2﹣9b2+a2﹣6ab+9b2＝2a2﹣6ab，当a＝﹣3，时，原式＝＝24．【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＝b2．21．（8分）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．（1）证明：△ABC∽△DEB．（2）求线段BD的长．【分析】（1）利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE，可证明结论；（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．【解答】（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°，∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB；（2）解：∵△ABC∽△DEB，∴＝，∴＝，∴BD＝3．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE是解决问题的关键．22．（8分）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？【分析】（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，根据该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）需要购买甲型自行车m台，则需要购买乙型自行车（20﹣m）台，根据资金不超过13000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，由题意得：，解得：，答：该公司销售一台甲型自行车的利润是150元，一台乙型自行车的利润是100元；（2）需要购买甲型自行车m台，则需要购买乙型自行车（20﹣m）台，由题意得：500m+800（20﹣m）≤13000，解得：m≥10，答：最少需要购买甲型自行车10台．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．23．（8分）某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A（优）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．现从中随机抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出了如下频数分布图和如图所示的条形统计图（不完整）．请根据图表中的信息回答下列问题．等级频数频率Aa0.2B1600bC14000.35D2000.05（1）求频数分布表中a，b的值．（2）补全条形统计图．（3）该市九年级学生约80000人，试估计该市有多少名九年级学生可以评为“A”级．【分析】（1）先根据D等级人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再分别由A、B等级频率和频数即可求出a和b的值；（2）根据a的值即可补全条形统计图；（3）用总人数乘以样本中A等级所占比例即可．【解答】解：（1）∵被调查的人数为200÷0.05＝4000（人），∴a＝4000×0.2＝800，b＝＝0.4；（2）如图：；（3）80000×0.2＝16000（名），答：估计该市有16000名九年级学生可以评为“A”级．【点评】本题考查的是频数（率）分布表，条形统计图和用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．24．（8分）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°，求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到1m/s）．（参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42）【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出PO以及QO的长，再求出PQ的长，即可得出平均速度．【解答】解：由题意可得：∠PAO＝23°，∠QAO＝45°，AP＝5000m，则PO＝APsin23°＝5000×0.39≈1950（m），AO＝APcos23°＝5000×0.92≈4600（m），∴OQ＝AO＝4600m，∴PQ＝OQ﹣OP＝4600﹣1950＝2650（m），则火箭从P处到Q处的平均速度为：2650÷9≈294（m/s），答：火箭从A处到B处的平均速度294m/s．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，得出QO的长是解题关键．25．（8分）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平形线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ，PQ交AC于F．（1）证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ＝120°．（2）当为何值时，△AQF是直角三角形？​【分析】（1）由旋转的性质可得PA＝QA，∠PAQ＝60°，通过证明点A，点P，点E，点Q四点共圆，可得∠PAQ+∠PEQ＝180°，即可得结论；（2）由旋转的性质可得∠PAQ＝60°，AP＝AQ，由角的数量关系可求∠DAP＝30°，∠APD＝90°，即可求解．【解答】（1）证明：∵将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，∴PA＝QA，∠PAQ＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴∠AQP＝60°，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝60°，∴∠AQP＝∠AED，∴点A，点P，点E，点Q四点共圆，∴∠PAQ+∠PEQ＝180°，∴∠PEQ＝120°；（2）解：如图，根据题意：只有当∠AFQ＝90°时，成立，∵△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，∴∠PAQ＝60°，AP＝AQ，∴△APQ是等边三角形，∴∠PAQ＝60°，∵∠AFQ＝90°，∴∠P