《自动控制原理》课件第5章

第一节频率特性的基本概念第二节频率特性的表示方法第三节典型环节的频率特性第四节系统开环频率特性第五节奈奎斯特稳定性判据和波德判据第六节稳定裕度第七节闭环频率特性第八节开环频率特性和系统阶跃响应的关系第九节利用MATLAB绘制奈奎斯特图和波德图第五章频域分析法第一节频率特性的基本概念

一、频率特性

一般线性控制系统在输入正弦信号r(t)时,其稳态输出c(t)随频率变化(ω由0变到∞)的特性,称为该系统的频率特性,如图5-1所示。图5-1一般线性定常系统设系统的传递函数为Φ(s),输入信号r(t)=Asinωt,则有

(5-1)

(5-2)

假定Φ(s)的所有极点都是互异的单极点s1,s2,…,sn,则

式(5-2)用部分分式展开为

(5-3)式中,K1,K2,…,Kn+2为各部分分式的待定系数,可用以下公式求得:

(5-4)式(5-3)的拉氏反变换为

(5-5)

对于稳定的系统,闭环极点(特征根)si具有负实部,

c(t)的第一部分即暂态分量将随时间t的延续而逐渐消失,系统的稳态输出为

(5-6)将式(5-4)中的Kn+1、Kn+2代入上式,考虑到

则有

(5-7)

其中,∠Φ(jω)是Φ(jω)的幅角,｜Φ(jω)｜是Φ(jω)的幅值。二、关于频率特性的讨论

尽管频率特性是一种稳态响应,但动态过程的规律性也全寓于其中,即包含着系统变化过程的动态信息，它也是控制系统或元部件的一种数学模型。频率特性与系统描述之间的关系如图5-2所示。图5-2频率特性与系统描述之间的关系利用频率特性曲线分析研究控制系统性能的方法称为频域分析法。频域分析法主要有傅氏变换法和经典法。

(1)傅氏变换法就是系统在输入信号r(t)的作用下，其输出响应为

即把时间函数变换到频域进行计算并以此分析研究系统的方法。

(2)经典法就是先求出系统的开环频率特性G(jω)并绘成曲线图，再利用频率特性曲线图判断闭环系统的稳定性、

暂态性能和稳态精度。控制理论所采用的方法就是经典法。第二节频率特性的表示方法

1.函数表示

传递函数中用jω代替s,得到复数函数G(jω),它既可用实部和虚部来表示(代数式),也可用幅值(模)和相角来表示(指数式)。

代数式(5-8)

指数式

2.几何表示

为了直观、明确地表示在很宽的频率范围内的频率响应,采用图形曲线表示要比采用函数表示方便得多,并且会把非常复杂的计算变得简单。因此在频域分析中,特别重视频率特性的图形表示方法。一、幅相频率特性图(Nyquist图)

例5-1

试绘出惯性环节的幅相特性图。

解以jω代替s得惯性环节的频率特性

其实频特性和虚频特性分别为其幅频特性和相频特性分别为

取ω为参变量,分别计算出ω由0至∞时相应的U(ω)、V(ω)的数值,即可绘出幅相特性图。对于惯性环节,实频特性和虚频特性有如下关系:

上式为一个圆的方程,我们取正频率,为下半圆,幅相特性图如图5-3所示。图5-3惯性环节幅相特性图二、对数频率特性图(Bode图)

对数幅频特性图中的纵坐标为20lg｜G(jω)｜,简记为L(ω),称为增益,其单位为分贝(dB),采用线性分度,L(ω)的分贝数与|G(jω)|的真值对照表如表5-1所示。横坐标采用对数分度表示角频率ω。ω与对数ω(lgω)的对应关系如表

5-2所示。在对数频率特性中,常用到频率ω倍数的概念。频率变化十倍的区间叫做一个十倍频程,记为decade或简写为dec;ω变化至两倍的区间叫作二倍频程,记为octave,或简写为oct。如图5-4所示。图5-4对数分度

例5-2

试绘出惯性环节的对数频率特性图。

解惯性环节的频率特性为

(1)对数幅频特性曲线。通常用L(ω)简记对数幅频特性,故

ω从0变化到∞时的对数幅频特性曲线如图5-3所示。

(2)相频特性曲线。通常以j(ω)表示相频特性,即

j(ω)=∠G(jω)。对于惯性环节,有

j(ω)=-arctanTω

对不同ω值,逐点求出相角值并绘成曲线即为相频特性曲线,如图5-5所示。图5-5惯性环节的波德图三、对数幅相图(Nichols图)

对数幅相图是以相角(°)为横坐标,以对数幅频L(ω)(dB)为纵坐标绘出的G(jω)曲线。频率ω为参变量。因此它与幅相频率特性一样,在曲线的适当位置上要标出ω的值,并且要用箭头表示ω增加的方向。

用对数幅频特性及相频特性取得数据来绘制对数幅相

图是很方便的。惯性环节的对数幅相图如图5-6所示。图5-6惯性环节的对数幅相图

第三节典型环节的频率特性

一、比例环节

比例环节又称放大环节,其传递函数为

G(s)=K

故

G(jω)=K

则

(5-9)

放大环节的波德图如图5-7所示。图5-7放大环节的波德图二、积分环节

积分环节的传递函数为

频率特性为

(5-10)则

(5-11)

由上式可知,ω每增加10倍,L(ω)下降20dB,所以,积分环节的对数幅频特性是一条斜率为每十倍频程－20dB的直线,此斜率记为－20dB/dec,简记为－1。对数相频特性曲线则与ω无关,恒为－90°,如图5-8所示。图5-8积分环节的波德图三、惯性环节

惯性环节的传递函数为

频率特性为

(5-12)因此,

(5-13)

1.对数幅频特性曲线

我们用简便的近似方法绘制幅频特性,必要时在转折点处进行修正。

由式(5-13)可以看出,当ω<<1/T(即ωT<<1)时,惯性环节的对数幅频特性可近似表示为

(5-14)

当ω>>1/T(即当Tω>>1)时,幅频特性近似表示为

(5-15)因此,惯性环节的对数幅频特性可近似成两段直线,ω=1/T为转折频率,如图5-9所示。ω＜1/T时取0dB水平线,ω

＞1/T为斜率是－20dB/dec的直线。图5-9惯性环节的波德图用折线代替曲线,使作图十分方便,近似线与实际线的最大误差在转折点ω=1/T处,误差值为

用同样方法可计算出其他频率处的误差,现将计算结果列入表5-3,并以曲线方式示于图5-10。图5-10惯性环节幅频特性修正值

2.相频特性曲线

由式(5-13)逐点绘制出的对数相频特性曲线如图5-9所示。由图可知,随着ω的增加,j(ω)由0°逐渐趋向－90°,并且曲线对－45°点(ω=1/T)具有奇对称性质。表5-4给出了一些频率上的相角值。时常数T的变化不影响相频曲线的形状,只改变沿ω轴的位置。四、振荡环节

振荡环节的传递函数为

(5-16)

式中,1/T=ωn＞0,0＜ζ＜1。

式(5-16)与欠阻尼二阶系统的传递函数相同,其频率特征为

(5-17)对数幅频特性和相频特性分别是

(5-18)

1.对数幅频特性曲线

首先介绍振荡环节对数幅频特性曲线的近似画法。

当ω<<1/T时,忽略Tω,则

L(ω)≈－20lg1=0

当ω>>1/T时,忽略1和2ζTω,则

L(ω)≈－20lgT2ω2=－40lgTω

因此,对数幅频特性曲线可近似为一折线,在ω＜1/T频率段,为零分贝线,在ω＞1/T频率段,为斜率是－40dB/dec的斜线,如图5-11所示。精确的幅频特性曲线如图5-12所示。图5-11振荡环节近似波德图图5-12振荡环节的波德图如果阻尼比ζ较小,则近似曲线的误差较大,需要修正。最大误差出现在ω=1/T处,其误差为

(5-19)

不同阻尼比修正曲线如图5-13所示。图5-13振荡环节修正曲线

2.对数相频特性曲线

相频特性曲线需要逐点求值描绘,但它有两个明显的特点:

(1)相频特性曲线对－90°点有奇对称性质;

(2)相频特性曲线形状与阻尼比ζ有关,但对任何ζ值都存在:ω=0时,j=0°;ω=1/T时,j=－90°;

ω=∞时,

j=－180°。

相频特性曲线如图5-12所示。五、理想微分环节

理想微分环节的传递函数为

G(s)=s

其频率特性为

G(jω)=jω=ωej90°

因此

(5-20)由上式可知，ω每增加10倍，L(ω)上升20dB。所以，理想微分环节的对数幅频特性是一条过ω=1的点斜率为每十倍数+20dB的直线。对数相频特性曲线恒为+90°。与积分环节的对数幅频特性和相频特性以ω轴对称。如图5-14所示。图5-14理想微分环节的波德图六、一阶微分环节

一阶微分环节的传递函数为

G(s)=τs+1

其频率特性为

因此

(5-21)用绘制惯性环节波德图的近似方法,绘制出一阶微分环节的对数幅频特性和对数相频特性如图5-15所示。从图可以看出一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性和相频特性以ω轴互为镜像。图5-15一阶微分环节的波德图七、二阶微分环节

二阶微分环节的传递函数为

其频率特性为振荡环节的倒数

所以它的对数频率特性与振荡环节是以ω轴互为镜像,如图5-16所示。图5-16二阶微分环节的波德图八、延迟环节

延迟环节的传递函数为

G(s)=e－τs

其频率特性为

G(jω)=e－jτω

(5-22)

则有

(5-23)

延迟环节的对数频率特性如图5-17所示。其中对数幅频特性恒为零分贝。图5-17延迟环节的波德图九、一阶不稳定环节

设某环节传递函数为

(5-24)

由于特征根s=1/T

＞0,故环节是不稳定的,称为一阶不稳定环节。其频率特性是

(5-25)因此,

(5-26)频率特性的图示方法有三种,本节只详细介绍了各种环节的对数频率特性。已知对数频率特性,就可绘出幅相特性图和对数幅相图。为了清晰和便于比较,将各环节的对数频率特性曲线、幅相特性图和对数幅相图列于表5-5中。第四节系统开环频率特性

一、系统开环对数频率特性图(波德图)的绘制

系统开环传递函数由典型环节组成。掌握了典型环节的频率特性后,再讨论系统开环的频率特性就方便了。

单位反馈系统如图5-18所示,其开环传递函数G(s)为各串联环节传递函数之积,即则开环频率特性开环幅频特性

开环相频特性而开环对数幅频特性图5-18单位反馈系统

例5-3

已知单位反馈系统的开环传递函数为

试绘制开环对数频率特性曲线(波德图)。

解首先将开环传递函数G(s)写成典型环节的标准形式,则［方法一］

(1)将G(s)分解成典型环节的频率特性。系统由五个典型环节串联组成:

①放大环节:G1=10;

②积分环节:

③惯性环节:转换频率

④一阶微分环节:G4=0.5s+1,转换频率

⑤惯性环节:转换频率

(2)根据典型环节的波德图绘制方法,分别绘制出五个典型环节的对数幅频特性及对数幅相特性,如图5-19(a)、(b)所示。

(3)求和。将以上环节的幅频和相频曲线分别相加,即

得到系统的开环对数频率特性曲线，如图5-19所示。图5-19例5-3的对数频率特性曲线［方法二］直接画波德图。

(1)计算转折频率，将ω1=1、ω2=2、ω3=20标于图5-19上。

(2)画低频段渐近线，画ω=1处抬高为20lgK=20dB,

斜率为－20dB/dec的直线，此直线即为低频段渐近线。

(3)低频段确定后，开始向右画。过转折频率ω1=1、ω2=2、ω3=20,斜率各变为一次。二、系统开环幅相特性图(Nyquist图)的绘制

(1)系统开环幅相特性曲线的起点取决于积分环节的个数γ。

γ=0(0型系统),起点(ω=0+)在实轴上;

γ=1(Ⅰ型系统),起点在相角为－90°,幅值为无穷大处;

γ=2(Ⅱ型系统),起点在相角为－180°,幅值为无穷大处。

(2)系统开环幅相特性曲线的终点取决于开环传递函数(n－m)值。

n－m=1,特性曲线的终点(ω→∞)以－90°进入原点;

n－m=2,特性曲线的终点以－180°进入原点;

n－m=3,特性曲线的终点以－270°进入原点,依次类推。如图5-20所示。图5-20幅相特性曲线的终点

(3)系统开环幅相特性曲线与负实轴的交点值,对于

判断系统闭环状态的稳定性是十分重要的。在交点处,G(jω)H(jω)为负实数,因此交点处的频率ωg由式(5-27)

求得,交点值可将交点处的频率ωg代入G(jω)H(jω)而求

出。

Im［G(jω)H(jω)］=0

(5-27)

例5-4

已知系统开环传递函数

试大致绘出开环幅相图并求出与实轴的点频率与交点值。

解系统开环频率特性为

(1)起点:因为开环传递函数有一个积分环节,所以特性曲线起点在相角为－90°,幅值为无穷大处;

(2)终点:又因n－m=3,所以特性曲线终点是以－270°进入原点。

(3)求与实轴交点：令频率特性虚部为零,即将ωg值代入频率特性,得交点值

幅相特性曲线的大致形状如图5-21所示。图5-21例5-4幅相特性图三、根据对数频率特性图确定传递函数

例5-5

某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图

5-22所示。试写出该系统的开环传递函数。图5-22例5-5的L(ω)曲线

解由图5-22可见，低频段直线斜率是－20dB/dec,故系统包含一个积分环节。

根据ω=1，低频段直线的坐标为15dB,可知比例环节

的k=5.6。因ω=2时，L(ω)曲线的斜率从－20dB/dec变为

－40dB/dec,故ω=2是惯性环节的交接频率。类似分析得知，ω=7是一阶比例微分环节的交接频率。于是系统的开

环传递函数为

例5-6

已知最小相位系统的对数幅频渐近曲线如图5-23所示。曲线部分是对谐振峰值附近的修正线，试确定系统的传递函数。

解

(1)根据L(ω)图确定系统积分或微分环节的个数。

因为对数幅频渐近曲线的低频渐近线的斜率为－20vdB/dec,由图5-23可知，低频渐近线的斜率为+20dB/dec,故有v=－1,因此系统会有一个理想微分环节。图5-23例5-6系统对数频率特性曲线

(2)确定系统传递函数结构形式。

由于对数幅频渐近曲线为分段折线，其各转折点对应的频率为所含一阶环节或二阶环节的转折频率，因此每个转折频率处斜率的变化取决于环节的种类。本例中有两个转折频率：

①ω=ω1处，斜率从+20dB/dec变为0dB/dec,斜率变化为－20dB/dec,对应惯性环节。

②ω=ω2处，斜率变化为－40dB/dec,对应振荡环节，并且在ω2附近存在谐振。根据谐振的峰值可以确定对应振荡环节的阻尼比ζ值。由此可知，图5-23所示系统有如下结构的传递函数：

式中，参数T1、T2、ζ、K待定。

(3)由图示条件确定传递函数的参数T1、T2、ζ、K。

根据转折频率可以确定T1=

,

20lgω1－20lg1=12,lgω1=

=0.6,所以ω1=3.98,T2=

,2(20lg100－20lgω2)

=12,lgω2=

=1.7,ω2=50.1。

由Δδmax=－20lg2ζ,得－20lg2ζ=8,所以ζ=0.2。由图5-23可知，当ω=1时,L(ω)=0dB,即

20lgK=0,K=1

故系统的传递函数四、最小相位系统与非最小相位系统

定义开环零点与开环极点全部位于s左半平面的系统称为最小相位系统。否则，称为非最小相位系统。特别强调，只有在最小相位系统中，其对数幅频渐近曲线才和传递函数之间具有一一对应关系。

例5-7

设两个系统的开环传递函数分别为

要求画出两系统的开环波德图。

解由定义知G1(s)对应的系统为最小相位系统，G2(s)对应的系统为非最小相位系统，其对应的频率特性分别为

对数幅频特性有

两者幅频特性是相同的。相频特性分别为

两者相频特性是不同的，且G1(s)比G2(s)有更小的相位角。两系统的波德图如图5-24所示。图5-24系统的波德图第五节奈奎斯特稳定性判据和波德判据

一、系统开环频率特性和闭环特征式的关系

假定一个典型的闭环控制系统,其开环传递函数为

(5-28)

闭环传递函数

(5-29)今取辅助函数F(s),令

(5-30)

将式(5-28)代入式(5-30),得

(5-31)式中,s1,…,sn

为N(s)+M(s)=0的根,即闭环特征根;

p1,p2,…,pn为N(s)=0的根,即开环特征根。以jω代替s,得

(5-32)

上式即为系统开环频率特性和闭环特征式的关系,并且分子分母的阶数相同。二、奈奎斯特稳定性判据

1.幅角原理

在辅助函数中,以某一根si为例,在复平面上,随着频率ω的变化(jω在虚轴上移动),向量(jω－si)的幅角∠(jω－si)也在变化。如果si位于虚轴左侧,如图5-25(a)所示,那么当ω由－∞变到+∞时,向量(jω－si)逆时针转180°,则有

如果si位于虚轴右侧,如图5-25(b)所示,则有图5-25(jω－si)向量由于复数相乘、幅角相加,因此如果系统特征方程的n个根全部在虚轴左侧(系统是稳定的),则有

为了与频率特性对应,可写成

(5-33)如果有P个根在虚轴右侧,其余(n－P)个根在虚轴左侧(系统是不稳定的),则有

(5-34)

2.奈奎斯特稳定性判据

式(5-32)辅助函数的幅角变化关系可写为

(5-35)设开环特征方程的n个根,有P个在虚轴右侧,根据式

(5-34),则有

如果系统闭环后是稳定的,闭环特征方程的n个根应均

在虚轴左侧,根据式(5-33),则有

因此

(5-36)图5-261+G(jω)H(jω)与G(jω)H(jω)的坐标关系图5-27开环幅相频率特性

例5-8

已知系统开环传递函数

试用奈氏判据判断系统闭环状态的稳定性。

解由开环传递函数知,开环有三个特征根:p1=－1,

p2=－2,p3=－3。三个特征根均在虚轴左侧(开环稳定,即

P=0)。要判断闭环状态的稳定性,必须绘制出G(jω)H(jω)的幅相特性图,根据绘制幅相频率特性图的规则,特性曲线的起点

(ω=0)在实轴上,终点(ω→∞)是以－270°进入原点。系统闭环稳定与否,主要取决于特性曲线与负实轴的交点。由ω-11ω=0,得(ω=0是起点)。将ωg代入上式得

G(jω)H(jω)的幅相特性图如图5-28所示。由图知G(jω)H(jω)的幅相特性绕(－1,j0)点的转角不为零,

而是－360°,所以系统闭环状态是不稳定的。图5-28例5-8幅相频率特性三、开环传递函数中含有积分环节时奈氏判据的应用

G(s)H(s)中含有积分环节,开环特征方程出现零根,开环系统临界稳定。这种情况下,应用奈氏判据时,把零根视为稳定根。然后照前所述方法应用奈氏判据。图5-29有积分环节的幅相特性图四、对数频率稳定性判据(波德稳定性判据)

对数频率稳定性判据(即波德稳定性判据)和奈氏稳定性判据本质相同，后者是根据奈奎斯特图判断闭环系统的稳定性，而前者是根据波德图判断闭环系统的稳定性。图5-30正负穿越的概念

例5-9

已知系统开环传递函数

试用对数频率稳定性判据判断该系统是否稳定。

解根据波德图的绘制方法,绘出G(jω)H(jω)的波德图如图5-31所示。图5-31例5-9系统开环对数频率特性

例5-10

设负反馈系统开环传递函数

用波德稳定性判据判断闭环系统的稳定性。

解

(1)由开环传递函数知P=0。

(2)作系统的开环对数频率特性曲线，如图5-32所示。图5-32例5-10的对数频率特性曲线

(3)稳定性判别。G(s)H(s)有两个积分环节，γ=2,故在对数相频曲线ω为0+处，补画了0°到－180°的虚线，作为相频特性曲线的一部分，正穿越N+=0,负穿越N－=1,则正负穿越次数之差为

R=N+－N－=－1≠0

故闭环系统不稳定。

例5-11

已知一反馈控制系统的开环传递函数

试用对数稳定性判据判断系统稳定性。

解

(1)由开环传递函数知P=1。

(2)作系统的开环对数频率特性曲线如图5-33所示。

当j(ω)=－180°时，ωg=(1/T1T2)1/2,

A(ωg)=KT2。图5-33例5-11的对数频率特性曲线

(3)稳定性判别。由于开环传递函数有一原点的开环极点，v=1,故在对数相频曲线ω为0+处，补画了－180°到－270°的虚线，可见:

①当ωg<ωc时，即A(ωg)>1,N+=1,N－=1/2,则正负穿越次数之差为

故闭环系统是稳定的。

②当ωg>ωc时,即A(ωg)<1,N+=0,N－=1/2,则正负穿越次数之差为

故闭环系统是不稳定的。

例5-12

设非最小相位系统的开环传递函数为

试分别从根轨迹图、Nyquist图和Bode图上定性判断闭环系统的稳定性与K的关系。

解该系统开环有一个右根。

(1)该系统的根轨迹图如图5-34(a)所示。从根轨迹图上可判断出，当K值较小时，闭环系统不稳定；当K值较大时，闭环系统稳定。图5-34例5-12图

(2)该系统的幅相频率特性曲线即Nyquist图，如图

5-34(b)所示。由于

故从Nyquist图上可判断出：当K值较小时，闭环系统不稳定；当K值较大时，闭环系统稳定。

(3)该系统的对数频率特性曲线即Bode图，如图5-34(c)所示。从Bode图上可判断闭环系统的稳定性，即当K值很小时，L(ω)全在0dB线以下，j(ω)穿越－180°线的净穿越次数为0，故闭环系统不稳定；当K值大到一定程度后，在L(ω)>0dB区间内，j(ω)穿越－180°线的净穿越次数为1/2次，故闭环系统稳定。

第六节稳定裕度

一、增益裕量h

如图5-35所示,G点为G(jω)H(jω)幅相特性曲线与负实轴的交点,称为相位交界点,ωg是交点处的角频率,称为相位交界频率,简称交界频率。｜G(jωg)H(jωg)｜表示当ω=ωg时G(jω)H(jω)的幅值。于是,具有开环传递函数G(s)H(s)的闭环系统的增益裕量可定义为

(5-37)图5-35增益裕量增益裕量又称做幅值裕量。应该注意到,在图5-36中,如果开环增益增大到使G(jω)H(jω)幅相特性曲线穿过(－1,j0)点,|G(jωg)H(jωg)|=1,则增益裕量为0dB。反之,如果系统的G(jω)H(jω)特性曲线与负实轴不相交,｜G(jωg)H(jωg)｜=0,则增益裕量为无穷大。因此,增益裕量的物理意义:增益裕量是该闭环系统达到不稳定边缘为止时尚可增加的开环增益的分贝数。图5-36相对稳定比较二、相角裕量γ

如图5-37所示,G(jω)H(jω)曲线同以原点为圆心的单位圆的交点C称为增益交界点。增益交界点上的角频率ωc称为增益交界频率,简称截止频率。那么,在增益交界频率上的角频率ωc上,使系统穿过(－1,j0)点(即达到临界稳定状态)尚可增加的迟后相角量,就称为相角裕量,记作γ

。图5-37相角裕量根据上述定义,计算相角裕量的关系式为

因为

所以,相角裕量的计算公式为

(5-38)三、在波德图上确定和计算增益裕量和相角裕量

1.在波德图上确定增益裕量h和相角裕量γ

2.在波德图上计算增益裕度h和相角裕度γ

例5-13

设系统的开环传递函数

试从波德图上求系统的稳定裕量h和γ。

解该系统开环传递函数由放大环节、积分环节和两个惯性环节组成。开环频率特性的波德图的渐近线有两个转折频率,即ω1=1/0.2=5,ω2=1/0.02=50。在低频段(ω＜5),对数幅频特性曲线的值由积分环节和放大环节决定,当ω=1时,

L(ω)=20(dB)。绘制的波德图如图5-38所示。图5-38例5-13系统的开环波德图

(1)在波德图上确定h和γ。

①增益裕量h。由对数相频特性曲线与－180°线的交点确定相位交界频率ωg≈16(rad/s);

由ωg从ω轴的垂线向上与对数幅频特性曲线相交、

L(ω)的幅值为－14dB,因此增益裕量h=14dB。②相角裕度γ。对数幅频特性曲线穿越0dB线的角频率即为增益交界频率,由上图查出ωc≈7(rad/s);

过ωc作ω轴的垂线与对数相频特性曲线相交,交点的纵坐标为j(ωc)=－153°。

代入公式计算相角裕量:

(2)在波德图上计算h和γ。

①计算ωg:

所以ωg=15.81(rad/s)

或令G(jωg)的虚部为零，得ωg=15.81(rad/s)②计算ωc:

所以ωc=7.07(rad/s)

③计算h:④计算γ:

所以γ=180°+j(ωc)=180°-152.5°=27.5°。第七节闭环频率特性

一、频域性能指标

1.开环频域性能指标

用开环对数频率特性设计系统时，一般采用相角稳定裕量γ、增益稳定裕量h和增益交界频率(截止频率)ωc作技术指标。

2.闭环频域性能指标

用闭环频率特性设计系统时,则常用零频振幅比M(0)、谐振峰值Mr、谐振频率ωr、闭环带宽ωb作技术指标。这些频域性能指标能间接地表明系统动态过程(如阶跃响应)的品质。

控制系统闭环的频率特性图如图5-39所示。我们由该图来说明闭环频域指标的定义和它们与时域指标之间的关系。图5-39闭环幅频特性二、二阶系统闭环频域指标与时域暂态指标的关系

1.二阶系统闭环频域指标与系统参数ζ、ωn的关系

典型二阶系统的开环传递函数为

则闭环传递函数为

(5-39)其闭环频率特性是

(5-40)

由此可得出其闭环幅频特性为

(5-41)将ω=0代入式(5-41),得初值

M(0)=1

对式(5-41)求导,并令导数为0,即则谐振频率为

(5-42)将式(5-42)代入式(5-41),可求得幅频特性谐振峰值

(5-43)当ζ＞0.707时,幅频特性单调衰减,不存在谐振峰值,即有无尖峰以为边界。令式(5-41)的M(ω)=0.707,即由闭环带宽的定义知

解出闭环带宽

(5-44)

2.根据二阶系统闭环频域指标确定其时域暂态指标(闭环频域指标与时域暂态指标关系)

(1)上升时间tr。参照理想低通滤波的阶跃响应情况，并考虑一些修正因素，得

(5-45)

即上升时间与闭环带宽成反比。

(2)超调量σ%。由式(5-43)中Mr与ζ的关系，以及第三章时域分析法所讨论过的ζ与σ%的关系，消去中间变量ζ,得

(5-46)

由上式和式(5-43)可知,Mr越大，ζ越小，则σ%越大。

Mr~ζ~σ%的关系如图5-40所示。图5-40Mr~ζ~σ%关系曲线

(3)调整时间ts。由式(5-43)及

可得

由上式可知，当ωn一定时，谐振峰值Mr越大，则调整时间

ts越长。实际运算时，为留有余地，ωn近似取作ωr。除上述tr、σ%、ts以外，由式(5-44)知可得

(5-47)

将式(5-47)与式(5-43)联系起来,可求得ωbts与Mr的关系,

可绘成如图5-41所示的曲线。图5-41二阶系统ωbts与Mr关系三、高阶系统闭环频域指标与开环频域指标及时域动态指标的关系

1.开环频域指标与闭环频域指标的关系

(1)γ与Mr的关系。相角裕度和谐振峰值都可以反映系统调量的大小,表征系统的平稳性。

对于二阶系统,根据γ的定义可推导出

(5-48)由式(5-48)和式(5-43)可求得Mr与γ的关系。对于高阶系统,可用下式近似计算

(5-49)

(2)ωc与ωb的关系。截止频率和带宽都可以反映系统静态噪声滤波特性，同时也可表征系统的快速性，带宽越大,上升时间越快。

对于二阶系统，令M(ωc)=1,可得

(5-50)由式(5-50)和式(5-44),可得

(5-51)

由式(5-51)可知,ωb与ωc的比值是ζ的函数，因此

(5-52)

对于高阶系统，初步设计时,可认为

ωb=1.6ωc

2.根据高阶系统闭环频域指标采用二阶类比法估算其时域动态指标

例5-14

设单位负反馈系统的开环传递函数为

试由系统的闭环频域指标计算系统的时域暂态指标。

解由G(s)→G(jω)→j(jω),得闭环频域指标如下:

谐振峰值:Mr=1.19;

闭环带宽:ωb=7(1/s);

谐振频率:ωr=2(1/s)。

将以上闭环频域指标代入二阶系统时域与频域的关系中，得

超调量：σ%<20%;

上升时间：tr≈0.31s;

调整时间：ts≈3.26s。

3.根据高阶系统频域指标采用经验公式估算其时域动态指标

(1)谐振峰值Mr与超调量的关系：

(5-53)

由于上式可写成

(2)Mr、ωb与ts的关系:

(5-54)

式中,

(5-55)考虑到高阶系统增益交界频率ωc和宽环带宽存在以下关系:

ωb≈1.6ωc

(5-56)

式(5-54)可写成

(5-57)

调整时间ts随Mr的增大而增大，随ωc(或ωb)的增大而减小，

如图5-42所示。图5-42σ、ts与Mr关系四、尼柯尔斯图线

对于单位反馈系统,其开环和闭环频率特性的关系为

(5-58)

以幅值和相角分别表示开环、闭环频率特性,即

(5-59)闭环频率特性的幅值和相角与开环频率特性的幅值和相角有以下关系:

(5-60)

(5-61)

为了查对方便和互相换算,将式(5-60)和式(5-61)的关系绘制成标准图线,这就是尼柯尔斯图线,如图5-43所示。图5-43尼柯尔斯图线

例5-15

设单位反馈系统的开环传递函数

试用尼柯尔斯图求系统的Mr、ωr、ωb、σ%、ts和γ。

解首先将G(s)改写成绘制波德图的标准形式

根据上式绘制对数频率特性图,如图5-44(a)所示。

由波德图不同频率对应的L(ω)、j(ω)值绘制对数幅相特性图,如图5-44(b)所示。在绘制对数幅相图时,纵、横坐标刻度值应与尼柯尔斯图线对应坐标一致。图5-44频率特性图中，虚线表示对数幅相特性曲线。为了清晰起见,将尼柯尔斯图的无关等值线略去,只保留了与G(jω)曲线相切的等M线和－3dB等M线。从图上清楚地查到根据高阶系统近似公式计算性能指标:因为

所以需要说明,尼柯尔斯图线是由单位反馈系统绘出的。当系统不是单位反馈系统时,不能直接应用尼柯尔斯图线,要作附加计算。对于非单位反馈系统

(5-62)上式说明,非单位反馈系统可视为一个开环频率特性为G(jω)H(jω)的单位反馈系统再乘以1/H(jω),即

(5-63)于是,非单位反馈系统的频率特性Φ(jω)可按下述步骤求得:

①按求单位反馈的闭环频率特性的方法,求出

｜Φ′(jω)｜和∠Φ′(jω);

②非单位反馈系统的频率特性由下式求出

(5-64)

(5-65)第八节开环频率特性和系统

阶跃响应的关系

对单位反馈系统来说,其开、闭环传递函数之间的关系为

系统的动态特性唯一地取决于开环传递函数G(s)。那么,能否不经过计算闭环幅频特性M(ω