【数形结合在初高中数学教学的实际应用4500字（论文）】

数形结合在初高中数学教学的实际应用目录TOC\o"1-2"\h\u26336数形结合在初高中数学教学的实际应用 13611数形结合思想方法 1309792数形结合的应用研究 1259873数形结合在初中函数部分的应用 2274613.1一次函数 2267953.2二次函数 313094一：已知BC=1,由抛物线和矩形的对称性知OB=1 4326734数形结合在高中数学的应用 5313884.1集合 5316974.2复合函数图像 6100994.3函数性质 7178564.4方程 8149584.5不等式 951375总结 11114765.1使用数形结合解题时的优缺点 11193155.2使用数形结合解题时应该注意的问题 1126385参考文献 11摘要：数与形结合的思想在初高中数学中一些实际应用进行探讨,文章结合初高中数学的一些题目进行分析,从形的角度去解决复杂的数的问题,从数的角度去解决形的复杂问题。关键词：数形结合；中学数学；解题1数形结合思想方法数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素,数形结合是推动数学发展的动力。数形结合的基本思想是：在研究数学问题的过程中,注意把数与形结合起来考察。或者把几何图形问题转化为数量关系问题,运用代数和三角知识进行讨论；或者把数量关系问题转化为图形问题,借助于几何知识加以解决[6]。2数形结合的应用研究童其林在《数形结合解题例举》中指出：“数形结合具有创新功能,把代数问题几何化,几何问题代数化,这本身就是一种创新。在思考问题时,有意识的注意数形结合这一思想方法的应用,无疑对我们的创新意识,创新能力有极大的帮助”[3]。罗增儒在《数学解题引论》中,一种级富有数学特点的信息转换,数学上总是用数的抽象性质来说明形象的事实,同时又用图形的性质来说明数的事实[4]。汤炳星在“回归双基”重视数学思想方法[1]一文中揭示了学生不能较好的运用数量关系或代数形式来描述形的问题,因此在教学中,教师要有意识的引导学生合理地将数量关系或代数形式用形来描述出来。其次,要掌握数形结合这一数学思想方法,还需要将形所包含的信息用式子表示出来,通常将形的信息用代数式或者方程交点的形式表述出来.3数形结合在初中函数部分的应用数形结合是数学研究的重要方法，是转化的数学思想的重要体现，数形结合包括代数问题几何解和几何问题代数解，前者初中阶段有解析法和构造几何图形法,后者包括方程法和函数法[5]。下面分析几类主要函数在数形结合中的应用。3.1一次函数例1：函数y=kx+t函数y=tx+k的图像大致是：图1下面分四类讨论分析：一、若k>0，t>0那么y=kx+t，y=tx+k函数图像过一二三象限。二、若k>0，t<0那么y=kx+t函数图像过一三四象限。y=tx+k函数图像过一二四象限。三、若k<0，t>0那么y=kx+t函数图像过一二四象限。y=tx+k函数图像过一三四象限。四、若k<0，t<0那么y=kx+t，y=tx+k函数图像过二三四象限。例2：如图2所示，函数y1与函数y2图像交于点A(3,4)且OA=OB，求y1，y2的函数解析式。分析：设y1=kx(k≠0)，y2=k2x+r,(k2≠0)∵y1，y2图像交于点(3,4)∴4=3k1，即k1=，那么y1解析式为y1=x由图2知，OA=+42=5，又∵OA=OB，∴OB=5又B点在x轴下方，∴r=−5，B点坐标为(0,-5)即y2=k2x−51。将A(3，4)代入1。得4=3k2−5，K2=3。∴y2解析式为y2=3x−5图2小结：我们都知道,解函数的题关键就是要懂得看图,接着是读图,然后学会自己画图。看图读图一般是出现在选择题里,而从填空题开始出现的函数题一般就是要自己画个草图来辅助自己整理思绪,理解题目的意思,以便解答问题。所以数形结合思想是贯穿函数的整个学习的。3.2二次函数二次函数是在学习了一元二次方程的基础上进一步对函数和方程的综合应用。二次函数不止是初中的重要知识点，高一必修一的内容也与二次函数有着密切的关系，所以二次函数的学习有着重大的意义。结合二次函数y=ax2+bx+c及其基本图像，数a，b，c的取值变化，对应其基本图像的变化。例1：(2008。广州)抛物线f=x2+(2r−1)x+r2−1且(r)为常数。(1)若该抛物线过坐标原点，且极点在第四象限，求出f的函数关系式。(2)设E是(1)所求的抛物线f上位于x轴下方，在对称轴左侧的一个运动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另外一点D，再做AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C。一：当BC=1，求矩形ABCD周长L；二：矩形ABCD周长最大值，求出这个最大值，并指出这时候A的坐标。图3分析：(1)由图3知抛物线过原点，∴r2−1=0,解得r1=1，r2=−1.3当r=1时,得f=x(2)+x此抛物线的极点不在第四象限，故不符。当r=−1时,得f=x2−3x,此抛物线的极点在第四象限∴函数关系式为f=x2−3x。(2)令y=0，代入f=x2−3x得x2−3x=0解得x1=0，x2=3。∴另一个交点B为(3,0)，顶点为(3/2,−9/4),对称轴x=32，其大概位置如图3所示一：已知BC=1,由抛物线和矩形的对称性知OB=12×(3−1)=1∴B(1,0)，点A的横坐标x=1，又点A在抛物线y=x2−3x上，将x=1代入y=x2−3x中可得点A的纵坐标为y=−2即AB=2矩形ABCD的周长L为：2(AB+BC)=2×(2+1)=6.二：A在抛物线y=x2−3x上，设A(x1，x12−3x1)，B(x1,0)且(0<x1<3)，即BC=3−2x1又A在x轴下方，则y=(x2−3x1)<0，那么AB=x21−3x1=3x1−x21。矩形ABCD的周长为L=2(AB+BC)=2[(3x1−x2)+(3−2x1)]=−2(x1−12)2+13当x1=1/2时，所求矩形ABCD的周长L的最大值为13。即A坐标为(1/2,−5/4)。结合图3，可以直观的看到A,B点x值是相同的，以数助形，求出图像A点的坐标，再依形求数,解出矩形ABCD的周长L。结合图形巧妙构建方程组求解周长L的最值问题。小结：通过例1的图形可直观看到所求问题求周长L，借助数的准确性通过关系式f=x2−3x确定ABCD的对应坐标，即L=AB+BC+CD+DA数学问题解决。4数形结合在高中数学的应用高中数学不同于初中数学,学习了更为复杂的复合函数,三角函数,方程,不等式等知识,数与形的连系会更为慎密和繁杂,新课程标准要求学生要把握数形结合的思想方法.这里着重分析数形结合在集合,函数,方程,不等式这四部份在高中数学中的一些运用。4.1集合借助数轴和venn图,解集合的交、并、补问题更加直观清晰。例1若集合A={t|−2<t<4},B={n|n≤m}，且A⋂B=A，求出m的取值区间。图4分析：如图4所示，表示A在数轴上，∵m是一个未知的数，由A⋂︀B=A即集合B所包含的元素要大于集合A，∴m≥4,借助坐标轴的直观性，让学生理清思路。例2：(09海南文科)已知全集U=R，则可以表示集合M={1,-1,0}和N={x|x2+x=0}的venn图是(B)。图5分析：例2考查的是全集U和补集的知识，对于集合M={1,-1,0}和集合N={0,1}有N⊆M。知道两个集合间的关系求参数t时。要点是将两集合间的关系转化为元素间的关系，紧接着转化为满足参数的关系，因此要善于利用venn图帮助求解。小结：在进行集合运算时，要尽可能用数轴和韦恩图来使抽象问题直观化。一般的，集合元素离散时用venn图表示,集合元素连续时要用数轴来表示，特别要注意用数轴表示时端点值的取跟舍。4.2复合函数图像复合函数由基本的函数所组合成。基本函数图像和基本函数性质的结合，也就是“形”“数”结合。例1：当t不等于零时y=tx+j和y=j^(tx)的图像可能是（BCD）图6分析：例2：已知t>0且t不等于1，y=t^x与y=logt^(-x)的图像只能是(D)图7分析：小结：复合函数是由基本的函数组合而成的,因此要理解复合函数图像,要熟练掌握二次函数、对数函数等基本函数图像。4.3函数性质例1：我们对定义在R上的函数t(x),对∀两个不相等的实数x1,x2，有x1t(x1)+x2t(x2)>x1t(x2)+x1t(x2),那么称函数t(x)为“t函数”。下列函数：1,f(x)=ex+x.2,f(x)=x2.3,f(x)=3x−sinx.4,y=ln|x|x̸=0,f(x)=0,x=0。是t函数的序号是(1,3)。分析：本题的重难点是认识和理解t函数，即如何理解和转化不等式：x1t(x1)+x2t(x2)>x1t(x2)+x2t(x1)x1t(x1)+x2t(x2)>x1t(x2)+x2t(x1)x1t(x1)+x2t(x2)−x1t(x2)+x2t(x1)>0x1t(x1)+x2t(x2)−x1t(x2)+x2t(x1)>0(x1−x2)[t(x1)+t(x2)]>0由函数单调性的性质，可以得出t函数实质上就是一个在R上单增的函数。对于1，由于f(x)=ex与f(x)=x均为R上的增函数，则复合函数f(x)=ex+x在R上为增函数；对于2，显然先减后增，不符合；对于3，∵f(x)=3x−cosx其中3x−cosx>0在R上恒成立，则f(x)=3x−sinx在R上为增函数；对于4有y=ln|x|x̸=0,f(x)=0，x=0的图像如图8所示，可知函数在(0,+∝)上单增，在(−∝,0)上单减，不符合；图8小结：许多高一学生处理函数性质的题，常常不知道怎么做。其实，根据题目信息,画出函数的图象,借“形”助“数”。4.4方程从学习了二次函数y=tx^2+rx+c后就开始有了解方程，解方程常常结合函数f(x)的图形去判断与x轴交点的个数。例1：函数f(x)=log2(x+2)+x的零点所在的集合区间是(D)A(-4,-3)B(-1,0)C(0,1)D(1,3)分析；这是典型的函数与方程零点个数问题图9法1：∵f(1)=log2(3−1)>log22−1=0f(3)=log25−3<log28−3=0。∴f(1)f(3)<0。故f(x)=log2(x+2)−x,x∈[1,3]存在零点。法2:设y=log2(x+2)，y=x在同一坐标系下作y=log2(x+2)，y=x的图像如图9所示,观察图可得到1≤x≤3时，两图像有交点。∴f(x)=log2(x+2)+x,在x∈[1,3]时有零点。比较法一和法二，法一复杂且容易出错，法二作出了函数图像，直观清晰。用数形结合思想，以形助数，可以把某些复杂的数学问题简单化,得出数学问题的本质。例2：已知函数f(x)x∈[−2,2],g(x)x∈[−2,2]的图像如图10所示,给出下列选项,不正确的是(B)。图10A函数f[g(x)]的零点有6个B函数f[g(x)]的零点有3个C函数f[g(x)]的零点有5个D函数f[g(x)]的零点有4个分析：如图10所示函数f(x)在[-2,2]上有3个交点，函数g(x)的值域为[-2,2]。那么复合函数f[g(x)]是定义在x∈[−2,2]上的函数∴f[g(x)]在[-2,2]上有3个零点。小结：高中的方程题，也就是零点的问题；学习了函数的一般性质，可以知道有时一个函数f(x)不仅仅只有一个根,即不止一个零点，但是用来解方程又很复杂，这时候学生就应该转变思想，不应该用方程这样复杂的方法，而要试试用数形结合的方法。4.5不等式不等式t(x)−t1(x)>0,常常要转化为t(x)>t1(x),即转化为比较t(x),t1(x)函数值的大小问题。例1：若不等式x^2<logbx，对x∈(0,1/2)恒成立，则实数b的取值范围是（b∈[1/16,1]）分析：此题直接求解难以下手,若做出y=x2和y=logbx在(0,12)上的图像，如图11所示，观察图形可知b只需满足:0<b<1且logb1/2>1/4即可。∴b∈[1/16,1]图11例2：若不等式−2≤x2−2ax+6≤2有一解,求实数a的值分析：若求解不等式组,计算非常繁杂；若结合二次函数图像就会容易得多了依题可设y=x2−2ax+6在−2≤y≤−2上只有一解，即ymin=2y=x2−2ax+6的对称轴为−−2a/2=a,若x=a时y=x2−2ax+6可取得最小值.将x=a代入y=x2−2ax+