2024年中考数学复习（全国版）第四章 三角形真题测试（基础卷）（解析版）

第三章三角形章节测试(时间：90分钟满分：120分)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，直线，于点E．若，则的度数是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】延长，与交于点，根据平行线的性质，求出的度数，再直角三角形的两锐角互余即可求出．【详解】解：延长，与交于点，

∵，，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键．2．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（

）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短【答案】A【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解．【详解】解：O为、的中点，，，（对顶角相等），在与中，，，，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．3．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根据题意易得，然后根据题意可进行求解．【详解】解：∵，∴，∵点D为的中点，∴，∵，∴，①当点E为的中点时，如图，

∴，②当点E为的四等分点时，如图所示：

∴，综上所述：或2；故选D．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．4．（2023·重庆·统考中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（

）

A．4 B．9 C．12 D．【答案】B【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，故选：B.【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.5．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形的外角的性质求得，根据平行线的性质即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．6．（2023·云南·统考中考真题）如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（

）

A．4米 B．6米 C．8米 D．10米【答案】B【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解∶∵的中点分别为，∴是的中位线，∴米，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．7．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（

）

A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】先根据等腰三角形的性质可得，，，再判断出点四点共圆，在以为直径的圆上，连接，根据圆周角定理可得，，然后根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：是以为腰的等腰直角三角形，，，，，，，点四点共圆，在以为直径的圆上，如图，连接，

由圆周角定理得：，，，，，在和中，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确判断出点四点共圆，在以为直径的圆上是解题关键．8．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，

由图可知，，，.根据镜面的反射性质，∴，∴，，，.小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，，，...故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.9．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（）

A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则．【详解】解：、为边的三等分点，，，，，，是的中位线，，，，，即，解得：，，故选：C．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2023·福建·统考中考真题）阅读以下作图步骤：①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（

）

A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．【详解】解：由作图过程可得：，∵，∴．∴．∴A选项符合题意；不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；不能确定,故C选项不符合题意，不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11．（2023·江苏连云港·统考中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是__________．（只填一个即可）【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可．【详解】解：设第三边长为x，由题意得：，则，故答案可为：4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．12．（2023·全国·统考中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为__________度．

【答案】55【分析】首先根据题意得到是的角平分线，进而得到．【详解】∵由作图可得，是的角平分线∴．故答案为：55．【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．13．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________．

【答案】【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得的长，即可求解．【详解】解：如图所示，

依题意，，∴图中阴影部分的面积为故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．14．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________．

【答案】【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设∵与位似，原点是位似中心，且．若，∴位似比为，∴，解得，，∴故答案为：.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．15．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________．

【答案】【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴,∵，∴，∴．故答案为：【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．16．（2023·浙江台州·统考中考真题）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为________．

【答案】【分析】如图，先标注点与角，由对折可得：，求解，利用，从而可得答案．【详解】解：如图，先标注点与角，

由对折可得：，∴，∵，∴；故答案为：【点睛】本题考查的是折叠的性质，平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解本题的关键．17．（2023·河南·统考中考真题）矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______．【答案】2或【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当时，

∵四边形矩形，∴，则，由平行线分线段成比例可得：，又∵M为对角线的中点，∴，∴，即：，∴，当时，

∵M为对角线的中点，∴为的垂直平分线，∴，∵四边形矩形，∴，则，∴∴，综上，的长为2或，故答案为：2或．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．18．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在正方形中，，延长至，使，连接，平分交于，连接，则的长为_______________．【答案】【分析】如图，过作于，于，由平分，可知，可得四边形是正方形，，设，则，证明，则，即，解得，，由勾股定理得，计算求解即可．【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是矩形，，∵平分，∴，∴，∴四边形是正方形，设，则，∵，∴，∴，即，解得，∴，由勾股定理得，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．19．（2023·山东·统考中考真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则_________．

【答案】【分析】过点A作于H，根据等边三角形的性质可得，再由，可得，再根据，可得，从而可得，利用锐角三角函数求得，再由，求得，即可求得结果．【详解】解：过点A作于H，∵是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴，故答案为：．

【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明是解题的关键．20．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是__________．

【答案】4【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得．【详解】解：∵，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（2023·江西·统考中考真题）如图，，平分．求证：．

【答案】见解析【分析】先由角平分线的定义得到，再利用证明即可．【详解】解∵平分，∴，在和中，，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．22．（2023·四川宜宾·统考中考真题）已知：如图，，，．求证：．

【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出，然后证明，证明，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：∵，∴，∵，∴即在与中，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．23．（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高．

(1)证明：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．∴，∴，∴又∵∴，（2）∵∴，又∴．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．24．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．

(1)求证：；(2)点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答；（2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，是的中点，，，，∴，；（2）解：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，设,则，可得方程，解得，即的长为．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．25．（2023·河南·统考中考真题）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H．经测量，点A距地面，到树的距离，．求树的高度（结果精确到）．【答案】树的高度为【分析】由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解．【详解】解：由题意可知，，，则，∴，∵，，则，∴，∵，则，∴，∴，答：树的高度为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键．26．（2023·辽宁·统考中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）

(1)求登山缆车上升的高度；(2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：）【答案】(1)登山缆车上升的高度(2)从山底A处到达山顶处大约需要【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可；（2）在中，求得的长，再计算得出答案．【详解】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，，，∴，∴，答：登山缆车上升的高度；（2）解：在中，，，∴，∴从山底A处到达山顶处大约需要：，答：从山底A处到达山顶处大约需要.【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．27．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航