2024年中考数学复习（全国版）第六讲 尺规作图（考点精析+真题精讲）（解析版）

备战2024中考数学一轮复习备战2024中考数学一轮复习第6讲尺规作图第6讲尺规作图№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌题型突破➍专题精练第四章三角形第6讲尺规作图→➊考点精析←→➋真题精讲←考向一尺规作平行线考向二尺规作角平分线考向三尺规作垂直平分线考向四尺规作全等三角形考向五尺规作相似三角形第6讲尺规作图→➊考点精析←一、尺规作图1．尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．2．五种基本作图1）作一条线段等于已知线段；2）作一个角等于已知角；3）作一个角的平分线；4）作一条线段的垂直平分线；5）过一点作已知直线的垂线．3．根据基本作图作三角形1）已知三角形的三边，求作三角形；2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．4．与圆有关的尺规作图1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；2）作三角形的内切圆．5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．6．作图题的一般步骤（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.二、尺规作图的方法1．尺规作图的关键1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．

2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。尺规作图可以作出许多基本图形，如线段、角、等腰三角形、矩形、正方形、正五边形、正六边形等。

一、平行线的尺规作法：

已知直线

a

和直线外一点

A，过点

A

作已知直线的平行线

b。

1.用直尺以点

A

为圆心，适当长为半径画弧，交直线

a

于点

C

和点

D。

2.分别以点

C、D

为圆心，大于二分之一

CD

的长为半径画弧，两弧相交于点

E。

3.连接

AE，并延长

AE

交直线

b

于点

B。

4.直线

AB

就是所求作的平行线。

已知直线

a

和直线外一点

A，过点

A

作已知直线的平行线

b。

1.用直尺以点

A

为圆心，适当长为半径画弧，交直线

a

于点

C

和点

D。

2.分别以点

C、D

为圆心，大于二分之一

CD

的长为半径画弧，两弧相交于点

E。

3.连接

AE，并延长

AE

交直线

b

于点

B。

4.直线

AB

就是所求作的平行线。

原理：以上两种方法都是利用了同位角相等，两直线平行的原理。二、角平分线的尺规作法：

以已知角顶点为圆心，以适当长为半径画弧，交角的两边于点

M，N。

分别以点

M，N

为圆心，大于二分之一

MN

的长为半径画弧，两弧相交于点

P。

连接

AP，交角的另一边于点

B。

射线

BP

就是所求作的角平分线。

原理：角平分线上的点到角两边的距离相等。三、垂直平分线的尺规作法：

已知线段

AB，作线段

AB

的垂直平分线。

1.分别以点

A，B

为圆心，大于二分之一

AB

的长为半径画弧，两弧相交于点

C，D。

2.连接

CD，则

CD

就是线段

AB

的垂直平分线。

原理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。四、全等三角形的尺规作法：

已知线段

a，b，求作线段

AB，使线段

AB

等于线段

a

加线段

b。

1.作射线

AM。

2.在射线

AM

上截取线段

AC

等于线段

a。

3.在射线

CM

上截取线段

CB

等于线段

b。

4.连接线段

AB。

则线段

AB

就是所求作的线段，且线段

AB

等于线段

a

加线段

b。

原理：两点之间线段最短。五、相似三角形的尺规作法：

已知线段

a，b，求作线段

AB，使线段

AB

等于线段

a

乘线段

b。

1.作射线

AM。

2.在射线

AM

上截取线段

AC

等于线段

a。

3.在射线

CM

上截取线段

CB

等于线段

b。

4.连接线段

AB。

则线段

AB

就是所求作的线段，且线段

AB

等于线段

a

乘线段

b。

原理：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。→➋真题精讲←题型一尺规作平行线1．（2022•东海县二模）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A．B．C．D．【考点】作图—复杂作图；平行线的判定．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．【答案】D【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意．B、本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，能判断是过点P且与直线l的平行直线，本选项不符合题意．C、由作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意．D、作图只截取了两条线段相等，而无法保证两直线平行的位置关系，本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．2．（2022•湖北）已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．【考点】作图—应用与设计作图．版权所有【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）（2）作图见解析部分．【分析】（1）如图1中，连接AC，BD交于点O，作直线OE即可；（2）如图2中，同法作出点O，连接BE交AC于点T，连接DT，延长TD交AB于点R，作直线OR即可．【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；（2）如图2中，直线n即为所求；【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．题型二尺规作角平分线3．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BDA．35 B．34 C．43【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；勾股定理．版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】由角平分线的性质定理推出CD＝MD，由勾股定理求出AC的长，由△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，得到12AC•BC=12AC•CD+12AB•MD，因此4×3＝4CD+5CD【解答】解：作DM⊥AB于M，由题意知AD平分∠BAC，∵DC⊥AC，∴CD＝DM，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC=AB∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，∴12AC•BC=12AC•CD+1∴4×3＝4CD+5CD，∴CD=4∴BD＝BC﹣CD＝3-4故选：D．【点评】本题考查勾股定理，角平分线的性质，作图—基本作图，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到CD＝MD，由三角形面积公式得到12AC•BC=12AC•CD+14．（2022•辽宁）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPBA．35° B．45° C．55° D．65°【考点】作图—基本作图．版权所有【专题】作图题；几何直观；推理能力．【答案】B【分析】利用基本作图得到BP平分∠ABN，则可计算出∠PBN＝70°，再利用OG平分∠MON得到∠BOP＝25°，然后根据三角形外角性质计算∠OPB的度数．【解答】解：由作法得BP平分∠ABN，∴∠PBN=12∠ABN=12∵OG平分∠MON，∴∠BOP=12∠MON=12∵∠PBN＝∠POB+∠OPB，∴∠OPB＝70°﹣25°＝45°．故选：B．【点评】解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．5．（2023•沈阳）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，小明同学利用尺规按以下步骤作图：（1）以点E为圆心，以任意长为半径作弧交射线EB于点M，交射线EF于点N；（2）分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BEF内交于点P（3）作射线EP交直线CD于点G；若∠EGF＝29°，则∠BEF＝度．【考点】作图—基本作图；平行线的性质．版权所有【专题】作图题；推理能力．【答案】58．【分析】根据角平分线的性质及平行线的性质求解．【解答】解：由作图得：EG平分∠BEF，∴∠BEF＝2∠BEG，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝29°，∴∠BEF＝2∠BEG＝58°，故答案为：58．【点评】本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质及平行线的性质是解题的关键．6．（2022•营口）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（）A．BD＝BC B．AD＝BD C．∠ADB＝108° D．CD=1【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】根据已知条件AB＝AC，∠A＝36°，可得△ABC是底角为72°的等腰三角形，再根据尺规作图可得BD平分∠ABC，再根据等腰三角形的性质对各选项进行判断即可．【解答】解：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣36°）＝∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°．∴∠ABD＝∠A．∴AD＝BD．故选项B正确；∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°．∴∠C＝∠BDC．∴BD＝BC．故选项A正确；∵∠BDC＝72°，∴∠ADB＝108°．故选项C正确；在△BCD与△ACB中，∵∠CBD＝∠A＝36°，∠C为公共角．∴△BCD∽△ACB．∴BCAC∴BC2＝AC•CD．∵BC＝BD＝AD，AC＝AD+CD．∴AD2＝（AD+CD）•CD．整理得，CD2﹣AD•CD﹣AD2＝0．解得，CD=5-∴CD≠12AD．故选项故选：D．【点评】本题考查了顶角为36°的等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．7．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为__________．【答案】【分析】根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，依题意，根据作图可知为的角平分线，∵∴，故答案为：．【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．8．（2021•无锡模拟）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．版权所有【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；尺规作图．【答案】见试题解答内容【分析】作∠AOB的角平分线，作MN的垂直平分线，以角平分线与垂直平分线的交点为圆心，以圆心到M点（或N点）的距离为半径作圆．【解答】解：如图所示．圆P即为所作的圆．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，主要利用了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质与角平分线的作法，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质和线段垂直平分线的作法，熟练掌握各性质与基本作图是解题的关键．9．（2023•鄂州）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE＝AD．（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．【考点】作图—基本作图；矩形的性质．版权所有【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）作图见解答．（2）证明见解答．【分析】（1）按作角的平分线步骤作图即可；（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判断即可．【解答】解：（1）如图所示；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BF，∴∠DAF＝∠AFC，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠FAE，∴∠FAE＝∠AFC，∴EA＝EF，∵AE＝AD，∴AD＝EF，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AE＝AD，∴四边形AEFD是菱形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．10．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．【详解】（1）证明：∵为的角平分线，∴，由作图可得，在和中，，∴；（2）∵，为的角平分线，∴由作图可得，∴，∵，为的角平分线，∴，∴【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．题型三尺规作垂直平分线11．（2023•辽宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝30°，BC＝32，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF交AB于点M，交AC于点N，连接BN，则ANA．2+3 B．3+3 C．23 D．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．版权所有【专题】作图题；几何直观；推理能力．【答案】B【分析】利用基本作图的MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到NA＝NB，则∠NBA＝∠CAB＝30°，所以∠CNB＝60°，再计算出∠CBN＝45°，过C点作CH⊥BN于H点，如图，利用等腰直角三角形的性质得到BH＝CH＝3，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到NH=3，然后计算BH+NH【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，∴NA＝NB，∴∠NBA＝∠CAB＝30°，∴∠CNB＝∠A+∠NBA＝60°，∵AB＝AC，∠CAB＝30°，∴∠ABC=12×（180°﹣30∴∠CBN＝∠ABC﹣∠NBA＝75°﹣30°＝45°，过C点作CH⊥BN于H点，如图，∴BH＝CH=22BC=22∴NH=33CH∴BN＝BH+NH＝3+3又∵AN＝BN，∴AN＝3+3故选：B．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形三边的关系．12．（2022•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分别以点A和C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则A．74 B．94 C．154【考点】作图—基本作图；锐角三角函数的定义；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．版权所有【专题】作图题；矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．【答案】D【分析】根据矩形ABCD可知△ADC为直角三角形，根据勾股定理可得AC的长度，在Rt△ADC中得到cos∠CAD=ADAC，又由题知MN为AC的垂直平分线，于是∠MOA＝90°，AO=12AC，于是在Rt【解答】解：设MN与AC的交点为O，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，AB＝DC＝6，BC＝AD＝8，∴△ADC为直角三角形，∵CD＝6，AD＝8，∴AC=AD2又由作图知MN为AC的垂直平分线，∴∠MOA＝90°，AO=1在Rt△AOE中，cos∠EAO=AO∵cos∠CAD＝cos∠EAO，∴5AE∴AE=25故选：D．【点评】本题主要考查矩形的性质，锐角三角函数，垂直平分线，勾股定理，掌握定理以及性质是解题的关键．13．（2022•黄石）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝2cm，△ABD的周长为11cm，则△ABCA．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．版权所有【专题】作图题；几何直观；推理能力．【答案】C【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AC，则根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝CE＝2cm，再利用等线段代换得到AB+BC＝11cm，然后计算△ABC的周长．【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，∴DA＝DC，AE＝CE＝2cm，∵△ABD的周长为11cm，∴AB+BD+AD＝11cm，∴AB+BD+DC＝11cm，即AB+BC＝11cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝11+2×2＝15（cm）．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．14．（2023•随州）如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，FA．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．版权所有【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．【答案】D【分析】根据作图可知：EF垂直平分BD，根据线段垂直平分线的性质得到BO＝DO，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到BF＝DE，OE＝OF，故B，C正确；无法证明DE＝CD，故D错误．【解答】解：根据作图可知：EF垂直平分BD，∴BO＝DO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF＝DE，OE＝OF，故B，C正确；无法证明DE＝CD，故D错误；故选：D．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，垂直平分线的性质，尺规作图，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．15．（2022•恩施州）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AD＝4，AB＝2．则四边形MBNDA．52 B．5 C．10 D．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．版权所有【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】利用作图过程可得PQ为BD的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质证明四边形MBND为菱形，利用勾股定理求得BM，则结论可得．【解答】解：由作图过程可得：PQ为BD的垂直平分线，∴BM＝MD，BN＝ND．设PQ与BD交于点O，如图，则BO＝DO．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，在△MDO和△NBO中，∠MDO=∠NBO∠DMO=∠BNO∴△MDO≌△NBO（AAS），∴DM＝BN，∴四边形BNDM为平行四边形，∵BM＝MD，∴四边形MBND为菱形，∴四边形MBND的周长＝4BM．设MB＝x，则MD＝BM＝x，∴AM＝AD﹣DM＝4﹣x，在Rt△ABM中，∵AB2+AM2＝BM2，∴22+（4﹣x）2＝x2，解得：x=5∴四边形MBND的周长＝4BM＝10．故选：C．【点评】本题主要考查了基本作图，作线段的垂直平分线，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，判定四边形MBND为菱形是解题的关键．16．（2022•盘锦）如图，线段AB是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于12AO的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝1，则A．23 B．4 C．6 D．【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．版权所有【专题】与圆有关的计算；尺规作图；推理能力．【答案】A【分析】根据作图知CE垂直平分AO，即可得AC＝OC，AE＝OE＝1，根据圆的半径得AC＝2，AB＝4，根据圆周角定理的推论得∠ACB＝90°，根据勾股定理即可得BC=A【解答】解：如图，连接OC．根据作图知CE垂直平分AO，∴AC＝OC，AE＝OE＝1，∴OC＝OB＝AO＝AE+EO＝2，∴AC＝OC＝AO＝AE+EO＝2，即AB＝AO+BO＝4，∵线段AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，根据勾股定理得，BC=A故选A．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，圆，勾股定理，圆周角定理的推论，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．17．（2023·重庆·统考中考真题）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）

已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．求证：．证明：∵四边形是平行四边形，∴．∴①．∵垂直平分，∴②．又___________③．∴．∴．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线④．【答案】作图：见解析；；；；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求；

证明：∵四边形是平行四边形，∴．∴．∵垂直平分，∴．又．∴．∴．故答案为：；；；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平