2024年中考数学复习（全国版）重难点16 尺规作图在压轴题中的应用（7种题型归类）（解析版）

重难点突破16尺规作图在压轴题中的应用7种题型归类目录原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1/14TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01作线段题型02作角题型03作角平分线题型04作垂线题型05画圆题型06格点作图题型07与尺规作图有关的计算题69/69题型01作线段1．（2022·江苏常州·统考中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC(1)沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；(2)分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm【答案】(1)直角(2)见详解(3)小明的猜想正确，理由见详解【分析】（1）AB是圆的直径，根据圆周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；（2）以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可；（3）当点C靠近点A时，设CM=13CA，CN=13CB，可证MN∥AB,推出MN=13AB=4cm，分别以M，N为圆心，MN为半径作弧交【详解】（1）解：如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB是直角，即△ABC是直角三角形，故答案为：直角；（2）解：以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可，作图如下：由作图可知AE=EF=FH=HG=OA=12AB即四边形EFHG是边长为6cm的菱形；（3）解：小明的猜想正确，理由如下：如图，当点C靠近点A时，设CM=13∴CMCA∴MN∥∴MNAB∴MN=1分别以M，N为圆心，MN为半径作弧交AB于点P，Q，作MD⊥AB于点D，NE⊥AB于点E，∴MN=MP=NQ=4cm∵MN∥AB,MD⊥AB，∴MD=NE，在RtΔMDP和MP=NQMD=NE∴RtΔMDP∴∠MPD=∠NQE，∴MP//又∵MP=NQ，∴四边形MNQP是平行四边形，又∵MN=MP，∴四边形MNQP是菱形；同理，如图，当点C靠近点B时，采样相同方法可以得到四边形MNQP是菱形，故小明的猜想正确．【点睛】本题考查了圆周角定理、尺规作图、菱形的性质与判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用上述知识解决问题．2．（2020·江苏镇江·统考中考真题）【算一算】如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为，AC长等于；【找一找】如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数22﹣1、22+1，Q是AB的中点，则点【画一画】如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；【用一用】学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；②写出a、m的数量关系：．

【答案】（1）5，8；（2）N；（3）图见解析；（4）①+(m+2b)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数，图见解析；②m＝4a．【分析】（1）根据数轴上点A对应﹣3，点B对应1，求得AB的长，进而根据AB＝BC可求得AC的长以及点C表示的数；（2）可设原点为O，根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点；（3）设AB的中点为M，先求得AB的长度，得到AM＝BM＝n，根据线段垂直平分线的作法作图即可；（4）①根据每分钟进校人数为b，每个通道每分钟进入人数为a，列方程组m+4b=12am+2b=8a，根据m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可画出F，G点，其中m+2b②解①中的方程组，即可得到m＝4a．【详解】解：（1）【算一算】：记原点为O，∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，∴AB＝BC＝4，∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．所以点C表示的数为5，AC长等于8．故答案为：5，8；（2）【找一找】：记原点为O，∵AB＝22+1﹣（2∴AQ＝BQ＝1，∴OQ＝OB﹣BQ＝22+1﹣1＝2∴N为原点．故答案为：N．（3）【画一画】：记原点为O，由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，作AB的中点M，得AM＝BM＝n，以点O为圆心，AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，则点E即为所求；

（4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m＝4a．∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，则点G即为所求．

+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．故答案为：m＝4a．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图．解决本题的关键是根据题意找到等量关系．3．（2021·浙江金华·校联考二模）如图，在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，试按要求作图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)如图1，在BC作一点D，使得BD=1(2)如图2，E为△ABC内一格点，M，N为AB，BC边上的点，使四边形EMBN为平行四边形；(3)如图3，BC交网格线于点F，过点F作AB的平行线交AC于P．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)在点B右侧第一条竖格线画线，即可得到；(2)过点E，在格点上画出与线段AB、BC相等的线，即可得到；(3)点F是BC的三等分点，在AC上画出AC的三等分点，即可得到．【详解】（1）解：如图：在点B右侧第一条竖格线画线，与BC的交点D即为所求的点（2）解：四边形EMBN即为所求的平行四边形，（3）解：过点F作AB的平行线交AC于点P【点睛】本题考查了利用无刻度的直尺作图，找到关键点是解决本题的关键．4．（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c．

(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．【答案】(1)作图见解析(2)4.5【分析】（1）作射线AM，在射线AM上顺次截取AE=a,EF=c，在线段FA上截取FB=b，则线段AB即为所求；（2）由（1）中结论及已知条件，求得AB的长，再利用线段中点的性质即可解得AC的长．【详解】（1）解：如图，线段AB即为所求：

（2）如图，

∵a=6，b=4，c=7，∴AB=a+c−b=6+7−4=9∵点C是线段AB的中点，∴AC=即AC的长4.5．【点睛】本题考查基本作图、线段的和差、线段的中点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．题型02作角5．（2022·江苏镇江·统考中考真题）操作探究题(1)已知AC是半圆O的直径，∠AOB=180n°（n是正整数，且n操作：如图1，分别将半圆O的圆心角∠AOB=180n°交流：当n=11时，可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=180探究：你认为当n满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=180(2)如图2，⊙o的圆周角∠PMQ=2707°．为了将这个圆的圆周【答案】(1)作图见解析；交流：60°−9×18028°=探究：正整数n（n不是3的倍数），理由见解析(2)作图见解析【分析】（1）由操作可知，如果(60n)°可以用60°（2）将圆周14等分就是把∠PMQ=2707°所对的圆周角【详解】（1）操作：交流：60°−9×18028°=探究：设60°−k180n°=60n或设k180n°−60°=60n所以对于正整数n（n不是3的倍数），都可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=180（2）【点睛】本题考查了用圆规作图的基本技能，需要准确理解题意，对于复杂图形的作图要学会将其转化成基本图形去作，本题第二问利用转化思想，转化为第一问的思路从而得以解决，这也是本题求解的关键．6．（2023·广东广州·统考一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，AD是⊙O的切线．(1)尺规作图：过点B作AC的平行线交AD于点E，交⊙O于点F，连接AF（保留作图痕迹，不写作法）；(2)证明：AF=BC；(3)若⊙O的半径长为52，BC=4，求EF和BF【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)EF=855【分析】（1）根据题意进行尺规作图即可；（2）由BE∥AC可得∠ABF=∠BAC，从而得出AF=（3）连接AO并延长交BC于点M，连接OC，先通过勾股定理求得CM及AC的长，再证四边形AEBC是平行四边形，再证△AEF∽△BEA，然后列比例式即可求得结果．【详解】（1）作图如下图所示：（2）∵BE∥AC∴∠ABF=∠BAC，∴AF=∴AF=BC；（3）如图，连接AO并延长交BC于点M，连接OC，∵AB=AC，AM过圆心∴AM⊥BC，∴BM=MC=1∵在Rt△OMC中，∴OM=O∴AM=OA+OM=5∴AB=AC=A∵AD是⊙O的切线，∴AM⊥AD，∴AD∥∵BE∥AC∴四边形AEBC是平行四边形，∴BE=AC=25，AE=BC=4，∠AEB=∠ACB∴AB=BE，∴∠BAE=∠BEA，∵四边形AFBC是圆内接四边形，∴∠AFE=∠AEB，∴∠AFE=∠BAE，∴△AEF∽△BEA，∴EFAE∴EF4∴EF=8∴BF=25【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质、圆内接四边形性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出△AEF∽△BEA是解本题的关键．7．（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考一模）如图1，△ABC中，∠ACB=90°，∠A的大小保持不变，点D在斜边AB上，DE⊥AC，垂足为点E．如图2，把△ADE绕着点A顺时针旋转，旋转角为α0°<α<90°，点E的对应点为点P(1)求作点D的对应点Q（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)连接PQ，CP，BQ，直线CP，BQ相交于点F，试探究在整个旋转过程中，直线CP，BQ所相交成的锐角是否保持不变？若不变，请证明：若有变化，说明理由．【答案】(1)见解析(2)不变，理由见解析【分析】（1）作∠PAQ=∠BAC，AQ=AD，则点Q即为所求；（2）根据题意得出DE∥BC，则ADAB=AEAC，进而根据旋转的性质得出AP=AE,AQ=AD，证明【详解】（1）解：如图所示，点Q即为所求；（2）解：如图所示，设CF,AB交于点G，∵DE⊥AC，∠ACB=90°，∴DE∥∴ADAB∵把△ADE绕着点A顺时针旋转，旋转角为α0°<α<90°，点E的对应点为点P，点D的对应点Q∴AP=AE,AQ=AD，∴APAC又∠CAP=∠DAQ=α，∴△CAP∽△BAQ，∴∠ABQ=∠ACP=∠ACF，∵∠BGC=∠ABF+∠BFC=∠ACF+∠BAC，∴∠BFC=∠BAC，∵∠BAC的大小保持不变，∴∠BFC是定值．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．题型03作角平分线8．（2022·江苏扬州·统考中考真题）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线所在直线即为所求；【问题联想】如图2，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆,与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形OAB所交的圆弧即为所求．【详解】【初步尝试】如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求；【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆,与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形OAB所交的圆弧CD即为所求．【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法．9．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC=OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．

请写出OE平分∠AOB的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）SSS；（2）证明见解析；（3）作图见解析；【分析】（1）先证明△OCE≌△ODESSS，可得∠AOE=∠BOE（2）先证明△OCM≌△OCNSSS，可得∠AOC=∠BOC，可得OC是∠AOB（3）先作∠BAC的角平分线，再在角平分线上截取AE=AD即可．【详解】解：（1）∵OC=OD，CE=DE，DE=DE，∴△OCE≌△ODESSS∴∠AOE=∠BOE，∴OE是∠AOB的角平分线；故答案为：SSS（2）∵OM=ON，CM=CN，OC=OC，∴△OCM≌△OCNSSS∴∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的角平分线；（3）如图，点E即为所求作的点；

．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．10．（2021·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知锐角△ABC中，AC=BC．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB=485，⊙O的半径为5，则【答案】（1）见详解；（2）4【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤，即可作∠ACB的平分线CD，作出AC的中垂线交CD于点O，再以点O为圆心，OC为半径，画圆，即可；（2）连接OA，根据等腰三角形的性质得AD=BD=245，CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC【详解】解：（1）如图所示：（2）连接OA，∵AC=BC，∠ACB的平分线CD，∴AD=BD=12AB=12×∵⊙O的半径为5，∴OD=OA∴CD=CO+OD=5+75=32∴BC=BD∴sinB=CD故答案是：45【点睛】本题主要考查尺规基本作图，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，理解三角形外接圆的圆心是三角形各条边中垂线的交点，是解题的关键．11．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格．在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题：

（答题卷用）作法（如图）结论

①在CB上取点P1，使C∠P1OA=45°，点P②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2∠P2OA=30°，点P③分别以O,P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E,F，连结EF与…④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB…(1)分别求点P3(2)用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°【答案】(1)点P3表示60°；点P4(2)见解析【分析】（1）根据矩形的性质可求出∠OP2C度数，根据线段垂直平分线的性质∠P2OP3度数，即可求出∠P（2）利用角平分线的性质作图即可求出答案．【详解】（1）解：①∵四边形OABC是矩形，∴BC∥∴∠O由作图可知，EF是OP

∴OP∴∠P∴∠P∴点P3表示60°②由作图可知，P2∴∠P又∵CB∥OA，∴∠P∴∠P∴点P4表示15°故答案为：点P3表示60°，点P4表示（2）解：如图所示，作∠P3O

∵点P3表示60°，点P4表示∠P5OA=∴P5表示37.5°【点睛】本题考查的是尺规作图的应用，涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性质、圆的相关性质，解题的关键需要正确理解题意，清楚知道用到的相关知识点．12．（2023·广东广州·统考一模）已知⊙O为△ABC的外接圆，⊙O的半径为6．(1)如图，AB是⊙O的直径，点C是AB的中点．①尺规作图：作∠ACB的角平分线CD，交⊙O于点D，连接BD（保留作图痕迹，不写作法）：②求BD的长度．(2)如图，AB是⊙O的非直径弦，点C在AB上运动，∠ACD=∠BCD=60°，点C在运动的过程中，四边形ADBC的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)①见解析；②6(2)存在，最大值为36【分析】（1）①根据角平分线的作图方法画出CD，在连接BD即可；②由点C是AB的中点，得出AC=BC．根据等腰三角形的性质得出CD⊥AB．结合AB是⊙O的直径，即得出CD经过圆心O，即∠BOD=90°，最后根据勾股定理求解即可．（2）连接AB，过点D作DC'⊥AB于点E，交⊙O于点C'，过点C作CF⊥AB．由题意易证△ADB为等边三角形．根据DC'⊥AB，即得出DC'为⊙O直径，C'是AB的中点．根据△ADB为等边三角形，可得出AB和AB边上的高都为定值，再根据根据S四边形ADBC=12AB⋅DE+CF，即得出当CF最大时，S四边形ABCD最大，此时点C与点C'重合，即当点C为AB中点时，S四边形ADBC最大，此时DC为⊙O直径，得出此时【详解】（1）解：①如图1，即为所作图形；②∵点C是AB的中点，∴AC=BC．∵CD是∠ACB的平分线，∴CD⊥AB．∵AB是⊙O的直径，∴CD经过圆心O，∴∠BOD=90°．∵⊙O的半径为6，∴OB=OD=6，∴BD=O（2）点C在运动过程中，四边形ADBC的面积存在最大值．理由：如图，连接AB，过点D作DC'⊥AB于点E，交⊙O于点C'，过点∵∠ACD=∠BCD=60°，∴AD=BD，∴AD=BD．∵四边形ADBC为⊙O内接四边形，∴∠ADB=180°−∠ACB=60°，∴△ADB为等边三角形．∵DC∴DC'为⊙O直径，C'∵S四边形∴S四边形∵△ADB为等边三角形，∴AB和AB边上的高都为定值，∴当CF最大时，S四边形ADBC最大，此时点C与点∴当点C为AB中点时，S四边形ADBC最大，此时DC为∴∠A=∠B=90°，如图3．∵⊙O的半径为6，∴CD=12．∵∠ADC=90°−∠ACD=30°，∴AC=1∴AD=C∴S△ACD∵BD=AD，∴△BCD≌△ACD(SSS∴S△BCD∴S四边形∴点C在运动过程中，四边形ADBC的面积存在最大值，最大值为363【点睛】本题考查作图—角平分线，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，综合性强．正确作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键．13．（2022·山西晋中·统考一模）综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．操作发现：某数学小组对图1的矩形纸片ABCD进行如下折叠操作∶第一步∶如图2，把矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，然后把纸片展开；第二步∶如图3，将图2中的矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得点A落在MN上的点A'处，折痕与AD交于点E，然后展开纸片，连接AA'，B问题解决：(1)请在图2中利用尺规作图，作出折痕BE；（保留作图痕迹）(2)请你判断图3中△ABA'的形状，并说明理由；(3)如图4，折痕BE与MN交于点F，BA'的延长线交直线CD于点P，若MF＝1，BC＝7，请你直接写出PD的长．【答案】(1)见解析(2)△ABA(3)3【分析】（1）以点B为圆心，BA的长为半径作弧交MN于点A’，连接BA’，作∠ABA'的角平分线交AD于点E；（2）由折叠可知MN∥BC，MN⊥AB，BM=1可得BM=12A'B（3）由等边三角形的性质可求得MF为△ABE的中位线，得到AE=2MF=2，进而求得AB=23.，【详解】（1）如图，线段BE即为所求．（2）△ABA证明：由折叠可知MN∥BC，MN⊥AB，BM=1∴BM=1∴sin∠B∴∠BA在Rt△BA'∵∠A'BM=60°∴ΔAB（3）∵△ABA∴A∵MN//AD//BC，MN⊥AB∴M为AB的中点，MF=1，∴MF为△ABE∴AE=2MF=2∵矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得点A落在MN上的点A'∴∠ABE=∠ABBE=Rt∴AB=2∵四边形ABCD为矩形，BC=7，∴∠ADC=∠ABC=∴AD=BC=7,AD//BC，∴∠HDP=∴∠PBC=∵AD//BC，∴∠EHB=∠PBC=∴∠EB∴EB=EH=4,∴DH=7−4−2=1,∵∠PHD=∠EHB=∴在Rt△HDP中，DH=1,PD:DH=1:∴PD=3【点睛】本题考查四边形的综合问题、动点问题及锐角三角函数的定义．解题的关键在与分析动点的运动状态，特别是要准确地判断零界点发生的条件，并计算位置．题型04作垂线14．（2022·重庆·统考中考真题）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为S=12aℎ．想法是：以BC为边作矩形BCFE，点A在边FE上，再过点A作BC的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作BC的垂线AD交BC在△ADC和△CFA中，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°．∵∠F=90°，∴______①____．∵EF∥BC，∴______②_____．又∵____③______．∴△ADC≌△CFA（AAS）．同理可得：_____④______．S△ABC【答案】图见解析，∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE【分析】根据垂线的作图方法作图即可，利用垂直的定义得到∠ADC=∠F，根据平行线的性质得到∠1=∠2，即可证明△ADC≌△CAF，同理可得△ABD≌△BAE，由此得到结论．【详解】解：如图，AD即为所求，在△ADC和△CFA中，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°．∵∠F=90°，∴∠ADC=∠F．∵EF∥BC，∴∠1=∠2．又∵AC=AC．∴△ADC≌△CFA（AAS）．同理可得：△ABD≌△BAE．S△ABC故答案为：∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，垂线的作图方法，矩形的性质，熟练掌握三角形的判定定理是解题的关键．15．（2022·河南·统考中考真题）如图，反比例函数y=kxx>0的图像经过点A2,4和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交(1)求反比例函数的表达式．(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）(3)线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．【答案】(1)y=(2)图见解析部分(3)证明见解析【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案；（2）利用基本作图作线段AC的垂直平分线即可；（3）根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到∠BAC=∠DCA，然后利用平行线的判定即可得证.【详解】（1）解：∵反比例函数y=kxx>0∴当x=2时，k2∴k=8，∴反比例函数的表达式为：y=8（2）如图，直线EF即为所作；（3）证明：如图，∵直线EF是线段AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵AC平分∠OAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BAC=∠DCA，∴CD∥AB．【点睛】本题考查了作图—基本作图，用待定系数法求反比例函数的解析式，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义等知识．解题的关键是熟练掌握五种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．16．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB=AC，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．(1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB=AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）(2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）(3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是⊙O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）作∠ABD=90°，BD与圆相交于D，连接BC、AD相交于点O，即可；（2）作∠ABD=90°，BD与圆相交于D，连接BC、AD相交于点O，即可；（3）作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，即可，则垂径定理得出确定圆心的理由即可．【详解】（1）解：如图所示，点O就是圆的圆心．作∠ABD=90°，BD与圆相交于D，连接BC、AD相交于点O，∵∠CAB=∠ABD=90°，∴BC、AD是圆的直径，∴点O是圆的圆心．（2）解：如图所示，点O就是圆的圆心．作∠ABD=90°，BD与圆相交于D，连接BC、AD相交于点O，∵∠CAB=∠ABC=90°，∴BC、AD是圆的直径，∴点O是圆的圆心．（3）解：如图所示，点O就是圆的圆心．作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，∵DE垂直平分AB，∴DE经过圆心，即圆心必在直线DE上，∵MN垂直平分AC，∴MN经过圆心，即圆心必在直线MN上，∴DE与MN的交点O是圆心．确定圆心的理由：弦的垂直平分线经过圆心．【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理的推论，尺规作线段垂直平分线，熟练掌握直角的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．17．（2021·北京·统考中考真题）《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B,A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C,B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A,B,C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在△ABC中，BA=______________，D是CA的中点，∴CA⊥DB（______________）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．【答案】（1）图见详解；（2）BC，等腰三角形的三线合一【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．【详解】解：（1）如图所示：（2）证明：在△ABC中，BA=BC，D是CA的中点，∴CA⊥DB（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向；故答案为BC，等腰三角形的三线合一．【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键．18．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD=AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH>BH，

(1)在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）．(2)连结AD，猜想，当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出AD的长度；(3)如图2，延长AH至点F，使得HF=AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM，若PD=12AD【答案】(1)作图见解析(2)线段AD是定长，长度不发生变化，值为2(3)证明见解析【分析】（1）以A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，交点为G，连接OG，与⊙O交点为E，F，与AB交点为M，则OG⊥AB，分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧，交点为N，连接ON，则ON∥AB，以O为圆心，OM长为半径画弧与ON交点为P，则OP=OM，以P为圆心，OP长为半径画弧，交直线ON于Q，以O，Q为圆心，大于12OQ长为半径画弧，交点为R，连接PR，则PR⊥AB，（2）如图2，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，证明四边形OFHN是正方形，则可证△ACH是等腰直角三角形，则∠C=45°，由AD=AD，可知∠E=∠C=45°，由DE是⊙O的直径，可得∠EAD=90°，则△ADE是等腰直角三角形，（3）如图3，延长CD、FP，交点为G，由题意知MH是△APF的中位线，则MH∥PF，MH=12PF，由PD=12AD，可得MD=12PD，证明△MDH∽△PDG，则MHGP=MDPD=12，即GP=2MH=PF，如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，由CP是【详解】（1）解：如图1，CD、点H即为所求；

（2）当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度不变；如图2，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，则四边形OFHN是矩形，

∵AB=CD，AB⊥CD，∴OF=ON，∴四边形OFHN是正方形，∴FH=NH，∴AF+FH=CN+NH，即AH=CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∴∠C=45°，∵AD=∴∠E=∠C=45°，∵DE是⊙O的直径，∴∠EAD=90°，∴∠ADE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=AD，∴AD=DE⋅sin∴线段AD是定长，长度不发生变化，值为2；（3）证明：如图3，延长CD、FP，交点为G，

∵HF=AH，∴点H为AF的中点，又∵点M为AP的中点，∴MH是△APF的中位线，∴MH∥PF，MH=1又∵PD=12AD∴MD=1∵MH∥GP，∴∠MHD=∠PGD，又∵∠MDH=∠PDG，∴△MDH∽△PDG，∴MHGP=MD如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，∵CP是∠HCF的平分线，∴∠GCP=∠FCP，∴GN=NF，∵GP=PF，GN=NF，PN=PN，∴△GPN≌△FPNSSS∴∠GPN=∠FPN=90°，∴PF⊥CP，∵MH∥PF，∴MH⊥CP．【点睛】本题考查了作垂线，同弧或等弧所对的圆周角相等，正弦，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．19．（2023·山东烟台·统考中考真题）【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B,C为圆心，以大于12BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点

【问题提出】在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求线段【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．请你任选其中一种方案求线段CQ的长．【答案】线段CQ的长为2512【分析】方案一：连接OQ，由翻折的不变性，知AP=AB=3，OP=OB=2.5，证明△QPO≌△QCOHL，推出PQ=CQ，设PQ=CQ=x，在Rt方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，证明∠OAQ=∠R，推出QA=QR，设CQ=x，同方案一即可求解．【详解】解：方案一：连接OQ，如图2．

∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=5，由作图知BO=OC=1由翻折的不变性，知AP=AB=3，OP=OB=2.5，∠APO=∠B=90°，∴OP=OC=2.5，∠QPO=∠C=90°，又OQ=OQ，∴△QPO≌△QCOHL∴PQ=CQ，设PQ=CQ=x，则AQ=3+x，DQ=3−x，在Rt△ADQ中，AD2解得x=25∴线段CQ的长为2512方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．

∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=5，由作图知BO=OC=1由旋转的不变性，知CR=AB=3，∠BAO=∠R，∠B=∠OCR=90°，则∠OCR+∠OCD=90°+90°=180°，∴D、C、R共线，由翻折的不变性，知∠BAO=∠OAQ，∴∠OAQ=∠R，∴QA=QR，设CQ=x，则QA=QR=3+x，DQ=3−x，在Rt△ADQ中，AD2解得x=25∴线段CQ的长为2512【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．20．（2023·江苏徐州·统考中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．【答案】(1)32:27(2)①符合，图见详解；②图见详解【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为π×32−∴它们的面积之比为8π:6.75π=32:27；故答案为32:27；（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，线段AB,AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以

由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作BE的平行线，交AB于点F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解；如图所示：

【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．题型05画圆21．（2019·江苏宿迁·统考中考真题）在RtΔABC中，∠C=90°．（1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F．求证：∠1=∠2；（2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）连接OF，可证得OF∥BC，结合平行线的性质和圆的特性可求得∠1=∠OFB=∠2，可得出结论；（2）由（1）可知切点是∠ABC的角平分线和AC的交点，圆心在BF的垂直平分线上，由此即可作出⊙M．【详解】（1）证明：如图①，连接OF，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∵∠C=90°，∴OE∥BC，∴∠1=∠OFB，∵OF=OB，∴∠OFB=∠2，∴∠1=∠2.（2）如图②所示⊙M为所求．①①作∠ABC平分线交AC于F点，②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆，即⊙M为所求．证明：∵M在BF的垂直平分线上，∴MF=MB，∴∠MBF=∠MFB，又∵BF平分∠ABC，∴∠MBF=∠CBF，∴∠CBF=∠MFB，∴MF∥BC，∵∠C=90°，∴FM⊥AC，∴⊙M与边AC相切．【点睛】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键，22．（2020·青海·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）尺规作图：作Rt△ABC的外接圆⊙O；作∠ACB的角平分线交⊙O于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）（2）若AC=6，BC=8，求AD的长．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据外接圆，角平分线的作法作图即可；（2）连接AD，OD，根据CD平分∠ACB，得∠ACD=45°，根据圆周角与圆心角的关系得到∠AOD=90°，在Rt△ACB中计算AB，在Rt△AOD中，计算AD．【详解】（1）作图如下：（2）连接AD，OD，如图所示由（1）知：CD平分∠ACB，且∠ACB=90°∴∠ACD=1∴∠AOD=2∠ACB=90°在Rt△ACB中，AC=6,BC=8，∴AB=10，即AO=5=OD在Rt△AOD中，AD=【点睛】本题考查了三角形的外接圆，角平分线，以及利用圆周角与圆心角的关系，及勾股定理计算线段长度的方法，熟知以上方法是解题的关键．23．（2023·江苏无锡·统考一模）数学实验室：有一个直角三角形纸板，∠C=90°，AC=40cm，BC=30(1)请你在图2中，任选一条直角边为直径所在的边，帮小明画出一个最大的半圆（请使用无刻度的直尺和圆规完成作图）；(2)如果小明按照你选的直角边继续往下操作，他能否顺利得到这个圆锥的底面圆？如果能，请说明理由；如果不能，那么换另一条直角边能否实现？同样请说明理由．（友情提醒：请利用图3完成题（2）的解答）【答案】(1)作图见解析(2)选择AC直角边为直径所在的边不能实现，理由见解析；选择BC直角边为直径所在的边能实现，理由见解析【分析】（1）如图，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D；连接CD，分别以C、D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，连接两个交点，交AC于点O，点（2）分两种情况：选择AC直角边为直径所在的边，连接OD，利用△ADO∽△ACB，求出⊙O的半径长，继而求得底面圆的半径长，在剩下的纸板上再剪出一个最大的圆，利用相似三角形的相关性质，可以求出该圆的半径，若该半径大于底面圆的半径长，则可以实现，反之，则不能；按同样的方法说明选择BC直角边为直径所在的边的情况．【详解】（1）解：选择AC直角边为直径所在的边，如图，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D；连接CD，分别以C、D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，连接两个交点，交AC于点O，点（2）如图，连接OD，设半圆的半径为r，∵∠C=90°，AC=40，BC=30，∴AB=A由作图可知，⊙O与BC、AB相切于点C、D，∴∠ODB=∠ODA=90°，BD=BC=30，∴AD=AB−BD=50−30=20，∵∠ODA=∠BCA=90°，∠A=∠A，∴△ADO∽△ACB，∴ODBC∴OD30∴OD=15，∴r=15，∴这个半圆的弧长为：180πr180∵圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的扇形的弧长，∴圆锥底面圆的周长为15π，∴底面圆的半径为152在Rt△OBC中，OB=记半圆与OB交于点E，剩下部分切出底面圆⊙O'，分别与AB、BC相切于点F、G，设⊙O∴O'E=O∴∠O∵∠O∴△BGO∴O'∴r'∴BO∴BO=BO∴r'∴不能实现；选择BC直角边为直径所在的边，设半圆的半径为r，∴如图，⊙O与AB、AC相切于点D、C，∴∠ODB=∠ODA=90°，AD=AC=40，∵AB=50，∴BD=AB−AD=50−40=10，∵∠ODB=∠ACB=90°，∠B=∠B，∴△BDO∽△BCA，∴ODAC∴OD40∴OD=40∴r=40∴这个半圆的弧长为：180πr180∵圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的扇形的弧长，∴圆锥底面圆的周长为403∴底面圆的半径为203在Rt△ACO中，AO=记半圆与OB交于点E，剩下部分切出底面圆⊙O'，分别与AB、BC相切于点F、G，设⊙O∴O'E=O∴∠O∵∠∴△AGO∴O'∴r'∴AO∴AO=AO∴r'∴可以实现．【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了尺规作图，切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握切线的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．题型06格点作图24．（2023·吉林长春·统考中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，点C在格点上．

(1)在图①中，△ABC的面积为92(2)在图②中，△ABC的面积为5(3)在图③中，△ABC是面积为52【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）以AB=3为底，设AB边上的高为ℎ，依题意得S△ABC=12AB·ℎ=92，解得ℎ=3，即点C（2）由网格可知，AB=32+12=10，以AB=10为底，设AB边上的高为ℎ，依题意得S△ABC=12AB·ℎ=5，解得ℎ=（3）作BD=AB=5，过点D作CD∥AB，交于格点C，连接A、B【详解】（1）解：如图所示，以AB=3为底，设AB边上的高为ℎ，依题意得：S解得：ℎ=3即点C在AB上方且到AB距离为3个单位的线段上的格点即可，答案不唯一；（2）由网格可知，AB=以AB=10为底，设AB边上的高为ℎ依题意得：S解得：ℎ=将AB绕A或B旋转90°，过线段的另一个端点作AB的平行线，与网格格点的交点即为点C，答案不唯一，（3）如图所示，作BD=AB=5，过点D作CD∥AB

由网格可知，BD=AB=22+∴△ABD是直角三角形，且AB⊥BD∵CD∴S△ABC【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直．25．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．(1)利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，(3)建立平面直角坐标系，设M0,2，N2,0，停车位Px,y，请写出y与x【答案】(1)见解析(2)见解析(3)y=−14x【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得；（2）根据网格特点，找出三个点使得它们到水城河与到凉都宫点F的距离相等即可；（3）先求出点P到水城河的距离，再求出点F的坐标，利用两点之间的距离公式可得PF的长，然后根据点P到水城河与到凉都宫点F的距离相等即可得函数关系式，最后画出函数图象即为停车带，由此即可得出结论．【详解】（1）解：如图，线段FQ的长即为所求．（2）解：如图，点P1，P2，（3）解：如图，建立平面直角坐标系．则F(0,−1)，水城河所在的直线为y=1，南环路所在的直线为y=−1，∴停车位Px,y到水城河的距离为y−1PF=(x−0)∵每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，∴x整理得：y=−1当y=−1时，−14x又∵要在水城河与南环路之间设计一条停车带，∴−2≤x≤2，∴y与x之间的关系式为y=−1画出停车带如下：因为4>2，所以点P4,−4【点睛】本题考查了作垂线、二次函数的应用、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（3），正确求出函数关系式是解题关键．26．（2021·湖北荆州·统考中考真题）如图，在5×5的正方形网格图形中小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：(1)以线段AD为一边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD外；(2)在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是了解如何根据题意构造直角三角形并利用勾股定理．（1）根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质和网格的特点画出图形即可；（2）先计算出新正方形的面积，从而得出边长，根据勾股定理和网格的特点画出图形即可．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：∵新正方形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上．∴新正方形的面积为：9+1=10，∴新正方形的边长为：10，如图：正方形KBGF的边长为：32∴正方形KBGF即为所求．27．（2023下·吉林长春·九年级校联考阶段练习）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．(1)在图①中，画等腰三角形ABC，使其面积为3．(2)在图②中，画等腰直角三角形ABD，使其面积为5．(3)在图③中，画平行四边形ABEF，使∠ABE=135°．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）取格点C，连接AC，BC，得到（2）取格点D，连接AD，BD，得到（3）取格点E，F，连接AF，EF，【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求；理由：由图可知AB=3∴AB=AC，S△ABC（2）解：如图，△ABD即为所求；理由：由图可知AB=3∴AB=AD，且AB∴△ABD为等腰直角三角形，S△ABD（3）解：如图，平行四边形ABEF即为所求；理由：连接BF，由图可知AB=EF=32∴四边形ABEF是平行四边形，AF∴△ABF为等腰直角三角形，∴∠ABF=45°，∠AFB=∠EBF=90°，∴∠ABE=135°．【点睛】本题主要考查了作图—应用与设计，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．利用数形结合的思想是解题关键．28．（2023·安徽合肥·统考三模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．

(1)画出将△ABC向右平移3个单位，再向上平移5个单位后的△A1B1C1（点A1，B1，(2)将（1）中的△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2（点(3)仅用无刻度的直尺作∠ABC的平分线交AC于点D．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）分别作出将点A、B、C向右平移3个单位，再向上平移5个单位后的对应点，再依次连接即可；（2）分别作出将点A1，B1，C1（3）连接BE，交AC于点D，AE即为所求．【详解】（1）解：如图所示：△A（2）解：如图所示：△A（3）解：如图所示：AE即为所求．根据勾股定理可得：AB=A∵AE=AB=5，∴∠AEB=∠ABE，∵AE∥∴∠AEB=∠EBC，∴∠ABE=∠EBC，∴AE平分∠ABC．

【点睛】本题主要考查案例平移和旋转的作图，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平移和旋转的性质，以及平移和旋转的作图方法．题型07与尺规作图有关的计算题29．（2023·山西·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，∠D=60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A,E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则OFOE

【答案】3【分析】证明BO⊥AE，AO=OE，∠BAO=∠FAO=60°，再利用正切函数的定义求解即可．【详解】解：∵在▱ABCD中，∠D=60°，∴∠ABC=60°，AD∥由作图知BP平分∠ABC，BA=BE，∴△ABE是等边三角形，∠ABF=∠EBF=1∴BO⊥AE，AO=OE，∵AD∥∴∠AFB=∠EBF=30°，∴∠AFB=∠ABF=30°，∴AB=AF，∵BO⊥AE，∴∠BAO=∠FAO=1∴OFOE故答案为：3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得∠BAO=∠FAO=60°是解题的关键．30．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC,AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则CD【答案】1【分析】根据作图可得AD为∠CAB的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，依题意DE=1，根据作图可知AD为∠CAB的角平分线，∵DC⊥AC,DE⊥AB∴CD=DE=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．31．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC=110°，则∠BAE的大小为

【答案】55【分析】首先根据题意得到AD是∠BAC的角平分线，进而得到∠BAE=∠CAE=1【详解】∵由作图可得，AD是∠BAC的角平分线∴∠BAE=∠CAE=1故答案为：55．【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，▱ABCD中，BD为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AD于点E，交AB于点F，若AD⊥BD，BD=4，BC=8，则AE的长为

【答案】5【分析】连接BE，根据基本作图，得到BE=AE=x，利用平行四边形的性质，得ED=AD−AE=AD−BE=8−x，在Rt△BDE【详解】解：如图所示，连接BE，根据基本作图，可设BE=AE=x，

∵▱ABCD，AD⊥BD，BC=8，∴AD=BC=8，∠BDE=90°，在Rt△BDE中，BD=4，由勾股定理得B∴x2解得x=5，即AE=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的基本作图，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键．33．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，△ABC中，AD是中线，分别以点A，点B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线MN交AB于点E．连接CE交AD于点F．过点D作DG∥CE，交AB于点G．若DG=2，则

【答案】8【